Система выражение через характеристические функции

Отсюда следует, что для определения химического потенциала составляющей сложной системы необходимо иметь аналитическое выражение для характеристической функции (F или Z). Это выражение может быть найдено, если известны свойства всех веществ, из которых состоит система, в виде уравнения состояния f р, V, Т) = О и калорического уравнения состояния f (Су, Т, V) = О или f (Ср, Т, р) = 0. Условия химического равновесия могут быть выражены через величины, которые могут быть измерены, если принять, что уравнение идеального газа справедливо для всех газообразных веществ, участвующих в реакции. Для реальных веществ уравнения состояния неизвестны и поэтому определить химический потенциал через характеристическую функцию практически невозможно. [c.140]

Таким образом, производная внутренней энергии по энтропии при постоянном объеме равна температуре, а производная и по объему при постоянной энтропии — давлению со знаком минус. При других переменных нельзя получить столь простого выражения свойств системы через производные (У. Для нее, следовательно, объем и энтропия — естественные переменные, при которых она является характеристической функцией. Если производные (IV.30) продифференцировать еще раз, но каждую по другой переменной, получаются смешанные вторые производные [c.91]

Поскольку Р У, Т)—характеристическая функция, из (УП.27) можно найти любые термодинамические величины, выражая их через 1п 2 и соответствующие производные от 1п2. Этим определяется особая роль суммы по состояниям 2 в статистической термодинамике. Хорошая модель системы в статистической термодинамике отличается от плохой в первую очередь возможностью или невозможностью вычислить сумму по состояниям 2. При этом пе всегда нужно искать полное выражение для 2. Для нахождения энергии и теплоемкости достаточно найти зависимость 1п2 от температуры расчет давления при заданной температуре связан только с определением зависимости 1п2 от объема системы и т. п. Это позволяет при решении отдельных задач использовать даже такие модели системы, для которых не удается полностью определить сумму по состояниям 2, но можно установить ее зависимость от Т или V. Однако вычисление энтропии, энергии Гельмгольца или химического потенциала связано с нахождением абсолютной величины 2. [c.208]

Выражение (111.120), где Z дается формулой (111.111), определяет свободную энергию Гельмгольца как функцию параметров Т, V, / /з,. .., Nie (в общем случае Т, а ,. .., as, N ,. .., N ). Свободная энергия F есть характеристическая функция этих переменных все термодинамические параметры системы могут быть выражены через F, переменные Т, V, Ni,. .., и производные от F по этим переменным при этом не требуется прибегать к интегрированию. Если зависимость F Т, V, Ni,. .., Nk) определена, нахождение термодинамических функций не составляет труда. [c.85]

Для большинства реальных систем явный вид уравнения состояния неизвестен. В связи с этим для термодинамического описания систем пользуются так называемыми функциями состояния, которые могут быть однозначно определены через параметры состояния. Исключительно важную роль в учении о фазовых равновесиях и геометрической интерпретации фазовых равновесий имеет одна из характеристических функций состояния—О, называемая изобарно-изотермическим потенциалом или энергией Г иббса (характеристическими называются функции состояния, с помощью которых или их производных по соответствующим данной функции параметрам могут быть выражены в явном виде все термодина дические свойства системы). Энергия Гиббса для закрытых систем является функцией независимых параметров—температуры Т и давления р и определяется выражением [c.190]

Характеристические функции. Функции, через которые, при определенных переменных, можно выразить любое термодинамическое свойство системы в явной форме, называются характеристическими. В качестве характеристических функций используются нижеследующие выражения для термодинамических потенциалов [c.657]

Любое свойство системы может быть выражено через эти характеристические функции LJ, Н, F, Z) и их производные в явной форме. Однако использование той или иной функции зависит от конкретных условий, которые диктуют нам выбор независимых переменных, а это, в свою очередь, определяет выбор используемой характеристической функции. Наиболее простые в математическом отношении выражения для различных свойств системы, получаются, если станем рассматривать U как функцию от V и S [c.93]

Оптическое волокно, имеющее световедущую жилу радиуса а из материала с диэлектрической постоянной еь окруженную оболочкой из материала с ег < б1 (магнитные проницаемости жилы и оболочки равны магнитной проницаемости вакуума), можно рассматривать как цилиндрический диэлектрический волновод. Решение уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат (л 0,2) для такого волновода (ось 2 совпадает с осью волновода) представляет собой выражение продольных компонентов Ех электрического и Яг магнитного полей в жиле и оболочке через цилиндрические функции. Компоненты поля Ег, Е , Н"г, Нд могут-быть выражены через Ег и Н . Ввиду того, что поля на оси волокна должны быть конечными, для жилы цилиндрические функции представлены функциями Бесселя первого рода 1п и). Для оболочки цилиндрические функции представлены модифицированными функциями Ханкеля Кп гю), являющимися положительными и монотонно убывающими до нуля при росте аргумента. Аргументы функции Бесселя и Ханкеля ы и ш представляют собой волновые числа для жилы и оболочки, определяемые из характеристического уравнения, получаемого из граничных условий непрерывности тангенциальных составляющих электрических и магнитных полей на границе раздела жилы и оболочки. [c.157]

Впервые Максвелл (1871 г.) показал, что, если внутренняя энергия является функцией энтропии и объема, то через ее частные производные могут быть выражены термодинамические свойства термомеханической системы. Следовательно, функция U — f (S, V) является характеристической. Внутренняя энергия, находящаяся в виде дифференциала в левой части основного уравнения термодинамики, является характеристической функцией, будучи функцией независимых переменных, находящихся в виде дифференциалов S и V в правой части основного уравнения. Основное уравнение может быть трансформировано в другие выражения с другими переменными в виде дифференциалов в правой части и соответственно с другими функциями в левой части уравнения. Это может быть сделано с помощью так называемых преобразований Лежандра. [c.68]

Выражение основных термодинамических величин через частные производные характеристических функций может быть сделано на основе сравнения выражения для полного дифференциала функции с основным уравнением термодинамики, выраженным через данную характеристическую функцию. При этом независимые переменные, определяющие состояние системы, должны соответствовать виду характеристической функции. [c.70]

Соотношения между свойствами простой термо-механической системы носят название уравнений Максвелла. Они находятся из основного уравнения термодинамики, представленного через разные характеристические функции для термо-механической системы (67)—(70). Получение уравнений Максвелла основано на использовании математического свойства выражения полного дифференциала функции. Это свойство состоит в том, что если имеется выражение [c.74]

Если известна какая-либо из величин и, Н, Р, О, выраженная через своп характеристические переменные, то через эту величину и ее производные по параметрам состояния могут быть выражены все остальные термодинамические величины. Поэтому величины 11, Н, Р, О, выраженные через свои характеристические переменные, называются характеристическими функциями системы . [c.65]

В термодинамике функция называется характеристической, если ее значения и значений ее производных разного порядка достаточно для полного описания системы, т. е. для выражения в явной форме любого термодинамического свойства системы. Характеристическими являются функции и, Н, Р, О в том случае, если каждая из них определена в явном виде через вытекающий из фундаментального уравнения следующий набор параметров и (8, V, Х1, Хп,. . ., х ) Н 8, р, х , х ,. . ., х ) Р (Т, V, XI, Х2,. ... Х/,)- С(Т, р, XI, Х2..... Хь). В этом случае сопряженные параметры в уравнениях (2.72) — (2,73) равны первым производным от этих функций (см. 2,74, 2,75), а остальные термодинамические свойства можно вычислить, используя производные разных порядков. [c.91]