Параметры, независимые переменные и функции состояния

Внутренняя энергия системы, будучи функцией состояния, является функцией независимых переменных (параметров состояния) системы. [c.39]

I. ПАРАМЕТРЫ, НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ [c.14]

Левая часть уравнения (3.3.10) есть полный дифференциал, т. е. величина под знаком дифференциала представляет собой некоторую функцию состояния. Поскольку правая часть уравнения содержит дифференциалы именно тех параметров, которые были выбраны в уравнении (3.3.8) как независимые переменные функции Р, то она и есть искомый термодинамический потенциал [c.571]

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

Наличие уравнений состояния и других уравнений, связывающих различные свойства фазы, приводит к тому, что для однозначной характеристики состояния системы оказывается достаточным знание только нескольких, немногих независимых свойств. Эти свойства называются независимыми переменными или параметрами состояния системы. Остальные свойства являются функциями параметров состояния и определяются однозначно, если заданы значения последних. При этом для многих задач не имеет значения, известны ли нам конкретные уравнения состояния исследуемых фаз важно только, что соответствующие зависимости всегда реально существуют. [c.37]

Частными производными четырех функций при данном, характерном для каждой из них наборе независимых переменных являются основные параметры состояния системы р, V, Т и 5. Отсюда вытекает важное свойство этих функций через каждую из этих функций и ее производные можно выразить в явной форме любое термодинамическое свойство системы . [c.123]

В соответствии с положением а. внутренние параметры являются, таким образом, независимыми переменными только вне равновесия. Это просто соответствует факту, уже упомянутому в 2, что число величин, полностью описывающих состояние в равновесии, меньше, чем в каждом неравновесном состоянии. Согласно б., набор переменных фундаментального уравнения (15.7) может сохраняться также и для этого случая, если введены дополнительные условия. Но так как энтропию определяют как функцию состояния, т. е. в предположении внутреннего равновесия, то остается ответить еще на вопрос, можно ли определить энтропию для упомянутого отклонения от равновесия. [c.74]

В состоянии полного равновесия параметр порядка является однозначной функцией температуры Г)=Г1о(Т)- Это позволяет рассматривать свободную энергию как функцию дв тс независимых переменных Т к ц. Разложение термодинамического потенциала по степеням параметра порядка для однокомпонентного флюида вблизи критической точки имеет вид [c.22]

Как уже отмечалось, химическая термодинамика занимается в основном описанием состояний равновесия и изучением законов, в соответствии с которыми происходят изменения энергии системы в ходе физико-химических процессов. Всякий такой процесс в общем является изменением состояния системы, которое можно описать с помощью функций состояния (энергия, энтропия и др.). Функция состояния определяется независимыми переменными (или параметрами состояния системы), например давлением, температурой. Однако невозможно достаточно четко и однозначно разделить функции состояния и независимые переменные системы. [c.208]

Введем основные математические понятия и соотношения, характеризующие функцию состояния. Функция z = f x, у) описывает некоторую поверхность (функции трех и более независимых переменных нельзя геометрически изобразить в трехмерных координатах). Например, на рис. Б. 18 представлена поверхность, построенная в соответствии с термодинамическим уравнением состояния v=f(T, р). Изменение функции состояния системы (в данном случае объема и) в общем случае сопровождается одновременным изменением других параметров системы (давления р и температуры Т). Геометрически это со- [c.209]

Это уравнение связывает пять переменных величин Т, 3, и, р и V, определяющих состояние системы, находящейся в равновесии. Каждая из указанных величин может рассматриваться и как параметр состояния, и как функция состояния. Для определения состояния системы ограничимся пока случаем двух независимых переменных. Тогда уравнение (V. ) будет содержать три параметра, которые мы не знаем. Для определения этих последних, очевидно, кроме уравнения (У.1) надо иметь еще каких-либо два уравнения, связывающих те же самые величины между собой. Тогда в трех уравнениях будет пять переменных величин, и поскольку два параметра могут быть выбраны произвольно, то остаются три уравнения с тремя неизвестными, т. е. задача решается до конца. [c.132]

Форма уравнения (У.2) показывает, что наиболее целесообразно внутреннюю энергию и рассматривать как функцию параметров 5 и Р, так как всякий другой выбор независимых переменных (как будет показано ниже), например Г и V, не приведет к ожидаемым результатам. Поскольку внутренняя энергия есть функция состояния, ее дифференциал является полным и, следовательно, можно записать [c.133]

Согласно изложенному термодинамические свойства системы полностью определены, если, например, известна функция С Т, р 1, п.2,. .., Пи). Из ( 1.23) следует, что термодинамические свойства системы однозначно определены, если химические потенциалы (д, всех к компонентов системы известны как функции независимых переменных Т, р, Ль лг,. .., Эти к химических потенциалов связаны между собой и с другими термодинамическими параметрами соотношениями, которые легко получить, пользуясь фундаментальными уравнениями ( 1.15) —( 1.18). Так как О —функция состояния, а (3 —полный дифференциал, то отсюда следует, что для любой пары компонентов справедливо так называемое соотношение взаимности [c.154]

Для определения состояния системы необходимо указать ее интенсивные свойства, или основные термодинамические переменные, функцией которых будут все остальные параметры. Это в первую очередь будут давление и температура, которые в равновесной системе одинаковы во всех фазах (две переменных величины). Кроме того в многокомпонентной системе величинами, определяющими состояние системы, являются концентрации компонентов, скажем их мольные доли Ni. Вследствие известного равенства 2 = 1 в каждой фазе будет у — 1 независимых концентраций. Всего, таким образом, в к фазах окажется [c.293]

Система без фаз переменного состава. Поскольку состав каждой фазы постоянен, то любое состояние системы вполне определяется двумя величинами — температурой и давлением. В состоянии равновесия только одна из них является независимой переменной, другая — ее функцией. Действительно, в этом случае двухкомпонентная система содержит две фазы и обладает, следовательно, одной степенью свободы. Поэтому при изменении одной из переменных число фаз остается постоянным, меняется лишь их количество. За независимый параметр обычно принимают температуру. Тогда, если общее давление совпадает с давлением газа В, то [c.197]

Переменные, от которых зависят термодинамические потенциалы, называются естественными. Могут применяться и другие переменные, связанные с естественными уравнениями состояния. Термодинамическое состояние системы зависит, таким образом, от четырех параметров (если система выполняет только работу расширения) — V, р, 8 п Т. Только два из этих параметров являются независимыми. Два других выражаются через независимые параметры при помощи уравнения состояния. Так, для первого равенства уравнений (111.7) Тир выражаются через 5 и у и т. д. Следовательно, для описания состояния системы достаточно двух параметров. Число функций, которые можно получить из- четырех параметров, равно числу сочетаний из четырех по два [c.53]

Интегральный метод расчета практически не зависит от функции, определяющей интенсивность процесса подсасывания жидкости струей. В этом методе сначала определяющие уравнения интегрируются по поперечному сечению струи. В результате получаются обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых независимой переменной является координата S, отсчитываемая вдоль оси струи (рис. 12.4.3). Затем уравнения приводятся к безразмерному виду с помощью характерных величин. При заданных начальных условиях обыкновенные дифференциальные уравнения численно интегрируются в пределах интересующего диапазона изменения продольной координаты S вдоль оси струи. При любых заданных начальных параметрах струи ее траектория и распределение параметров вдоль оси зависят от того, каким образом решены проблемы а) моделирования скорости подсасывания б) моделирования процессов на начальном участке в) установления начальных условий в области развитого течения г) использования уравнения состояния, определяющего изменение плотности жидкости д) использования методов вычислений. [c.143]

При определении характеристических функций многокомпонентных систем в качестве независимых переменных используют термодинамические параметры состояния (давление, объем, температуру) и числа молей каждого компонента. Как следствие первого и второго начала термодинамики, наряду с термодинамическими параметрами состояния в качестве переменной используется также энтропия системы. В этом случае состояние любой фазы многокомпонентной системы характеризуется фундаментальным уравнением Гиббса [c.19]

Соотношение Гиббса — Дюгема (2.6) используется в теории переноса как устанавливающее связь между интенсивными параметрами состояния, а уравнение (2.7) — для проверки термодинамической достоверности экспериментальных данных по равновесию в гетерогенных системах. Уравнения (2.8) — (2.11) не только определяют термодинамические свойства системы Р, V, Т и 8, но и раскрывают смысл характеристических функций, через производные которых по одному из параметров состояния могут быть выражены другие параметры. Соотнощения (2.14) и (2.15) совместно с уравнением (2.4) используются для определения энтальпии и энтропии системы в изобарно-изотермических условиях. Уравнения типа (2.14) с различным сочетанием в них термодинамических параметров и независимых переменных фундаментального уравнения состояния и характеристических функций называются соотношениями Максвелла. [c.21]

Величины и, Н и О являются характеристическими функциями в том смысле, что их значения характеризуют состояние системы. Каждая из них выражается в зависимости от определенных параметров, рассматриваемых как независимые переменные. Все термодинамические свойства системы можно определить через производные характеристических функций по соответствующим им независимым переменным. [c.20]

Под термодинамическими степенями свободы, или просто под степенями свободы, подразумеваются независимые параметры системы, находящейся в термодинамическом равновесии, которые могут принимать произвольные значения в определенном интервале, причем число фаз не изменяется Другими словами, степенями свободы являются те параметры системы, которые играют роль независимых переменных. Все остальные параметры будут их функциями. Число таких независимых параметров и будет числом степеней свободы, или вариантностью системы. Таким образом, число степеней свободы — это число, указывающее, скольким параметрам, характеризующим состояние равновесной системы, можно давать произвольные значения без того, чтобы число фаз в системе изменилось. [c.21]

Поскольку химические потенциалы являются функциями температуры, давления и концентраций, то эти равенства представляют собой уравнения, связывающие независимые параметры, которые характеризуют состояние данной системы. В каждой строке имеем ф — 1 уравнений, а всего — к строк. Таким образом, число уравнений, связывающих 2 + к — 1)ф независимых переменных, равно (ф — )к. [c.22]

Таким образом, с помощью производных от внутренней энергии можно выразить термодинамические свойства системы Г и Р. Из соотношений (69.5) вытекает, что температура является мерой возрастания внутренней энергии системы с увеличением энтропии при постоянном объеме, а давление — мерой убыли внутренней энергии с увеличением объема системы при постоянной энтропии. Такие функции состояния системы, посредством которых и производных их по соответствующим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы, называются характеристическими функциями. Характеристические функции впервые были введены Массье (1869). Согласно определению характеристических функций к ним необходимо относить внутреннюю энергию при условии, если в качестве независимых переменных принять V и S. Так как энтропию непосредственно измерить нельзя, то внутренняя энергия как характеристическая функция редко используется в термодинамике при решении практических вопросов. [c.224]

При выводе уравнения состояния фазы (1-28) в качестве независимых переменных были приняты, кроме чисел молей всех компонентов, объем и энтропия. Параметры, применяемые в качестве независимых переменных для характеристики состояния системы, называются параметрами состояния. Любое свойство системы может быть представлено как функция параметров состояния. Так, уравнения (1-24) и (1-25) определяют Т а Р как функции энтропии и объема. [c.18]

Химическая термодинамика позволяет полностью описать состояние системы с помощью четырех наблюдаемых параметров состояния — состава, давления, температуры и объема (при условии, если отсутствуют другие независимые переменные, такие, как гравитационное, магнитное и электрическое поля). Из этих четырех параметров первые три являются интенсивными свойствами системы. В случае чистого гомогенного вещества его состав постоянен. Три остальных параметра взаимосвязаны, поэтому для описания состояния системы необходимо определить только два из них. Например, давление является некоторой функцией температуры и объема [c.23]

Как и в теории растворов, понятие о химическом потенциале компонента, которое мы считаем в целом известным читателю, занимает центральное место в термодинамике ионного обмена. Химический потенциал — функция состояния системы, определяемая параметрами состояния. В частности, при выборе в качестве независимых переменных температуры и давления химический потенциал компонента i — некоторая функция температуры, давления, природы и концентраций этого компонента Сг) и остальных компонентов раствора ... j) [c.13]

Наконец, в рамках последней, макроскопической модели вообще не учитывается структура системы, а рассматривается лишь баланс всего аппарата. Только время остается как дифференциальная независимая переменная в уравнениях баланса. Зависимые переменные, такие как концентрация и температура, не являются функциями координат рассматриваемой точки внутри аппарата, но представляют общие средние по всему объему системы. Такая модель приемлема до тех пор, пока не требуется детальная информация о внутреннем состоянии системы. Макроскопическая модель и модель с сосредоточенными параметрами — это одно и то же. Макроскопические балансы приведены в табл. 3.4. [c.88]

Для того чтобы однозначно характеризовать свойства системы, состояние которой определяется какими-либо параметрами (Р, V, Т) при термодинамическом равновесии, недостаточно знать уравнение состояния этой системы, связывающее давление, объем и температуру. Для полной характеристики нужно знать еще уравнение, которое позволяет определить энергию системы по данным параметрам состояния. Однако подробный анализ первого и второго начала термодинамики показывает, что число уравнений, необходимых для полной характеристики состояния системы, можно свести с двух до одного, поскольку все необходимые для этого величины могут быть выражены через определенную функцию независимых переменных и ее производные. И это открывает гораздо более широкие возможности, чем знание уравнений состояния. Такие функции получили название характеристических функций. Наиболее часто в качестве таких функций используются внутренняя энергия U), энтальпия (Я), свободная энергия F) и термодинамический потенциал (Z) . [c.93]

Для определения состояния термодинамической системы при отсутствии каких-либо воздействий со стороны окружающей среды достаточно задать два параметра. Третий параметр может быть найден из уравнения состояния. Задаваемые параметры называются независимыми переменными или независимыми параметрами. Следовательно, каждый параметр состояния системы является функцией двух других ее параметров [c.14]

Частными производными четырех функций при данном, характерном для каждой из них наборе независимых переменных являются основные параметры состояния системы р, V, Т и 5. Отсюда вытекает важное свойство этих функций через каждую из этих функций и ее производные можно [c.116]

Система всегда н 1ходится в том или ином состоянии, которое характеризуется всей совокупностью ее физических и химических свойств. Любое свойство системы может быть названо термодинамическим пара- метром состояния, если оно рассматривается как одна из независимых переменных, определяющих состояние системы, или функцией состояния, если оно не включено в число таких независимых переменных. Совокупность параметров состояния позволяет количественно описывать состояние системы. [c.14]

В термодинамике работа — это форма обмена энергией между термодинамической системой и внешней средой. Энергия является в этом смысле внутренним параметром и не входит в число обобщенных координат, учитываемых при вьшислении работы. В связи с этим уравнение (3.3.1) может быть представлено в форме dU = )W+ >Q, где 51 — элементарная работа процесса, 5Q — энергия, переданная в форме теплоты. Знак 5 означает, что 8JV и 5Q не являются полными дифференциалами, т. е. приращения функций зависят от условий, при которых совершается процесс. Условия протекания процесса, или набор параметров состояния которые при этом контролируются или регулируются определяют вид характеристической функции состоя ния, через которую может быть выражена работа обра тимого процесса. С математической точки зрения, кон тролируемые параметры — это параметры, выбранные в качестве независимых переменных, характеризующих состояние системы и изменение ее состояния на всех этапах процесса. Число независимых переменных равно числу степеней свободы системы, которое определяется правилом фаз Гиббса. Это число меньше, чем количество параметров состояния, через которые можно описать состояние системы, на число дополнительных связей, налагаемых на систему, т. е. на величину, равную числу уравнений, связывающих между собой параметры состояния. [c.573]

Уравнение (367) связывает вероятность с термодинамической функцией состояния — энтропией далее прежде всего следует установить, каким образом в наиболее доступной форме можно выразить вероятность системы многих молекул, учитывая их свойства и параметры. Для этой цели имеет смысл все так называемые фазовые пространства, включающие все молекулы системы, разделить на некоторые подпространства. Так как молекулы отличаются значениями координат пространства и импульсов, оказалось целесообразным представить фазовое пространство (соответственно подпространство) как матгематическое пространство с гфактически бесконечным числом указанных координат. Представим себе, что это большое число молекул разделено на группы, причем в каждой группе значения независимых переменных находятся в некоторых узких границах, например пространственные координаты от X до х+11х, от у до у+(1у, от 2 до г+с12, а в координатах импульсов от рх до рх+(1р,, от ру до ру+йру, от Рг ДО Рг + с1рц, ГДе Рх, Ру К Р — Проекции импульса молекулы на оси координат. Фазовый пространственный элементарный объем, который приписывается отдельной молекуле (называемый также р,-пространством) равен [c.292]

Пусть — функция состояния микроканоническо-го ансамбля, или пакета, частиц — характеризует значение контролируемых параметров, изменяющихся при перемешивании. Переход к микроканоническому ансамблю частиц приводит к потере информации о макромасштабных флуктуациях функции состояния Изменение функции состояния во времени описывается дифференциально-разностным уравнением эволюции динамической системы, которое представляет собой модифицированное уравнение Колмогорова [109], записанное для независимой переменной (цвет, плотность, влажность) в дискретной форме. Если в аппарате содержится / компонентов, а его объем разделен на М пакетов из к частиц, то функция состояния И(г,],п) соответствует числу у(У [0> ]) частиц г-го компонента (ге О,/]), находящихся в л-м пакете (пе 0,Л/ ). Перемешивание представляет собой обмен частицами между соседними пакетами. Тогда уравнение эволюции системы имеет вид [79] [c.694]

ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ (термодинамические переменные), любые измеримые макроскопич. характеристики состояния термодинамич. системы (объем, давление, плотность, теплоемкость, внутр. энергия, энтропия и др.). Мёж-ду П. с. равновесной системы существуют функциональные связи, поэтому не все П. с. взаимно независимы. Выбор независимых П. с., определяющих состояние системы и значения всех остальных П. с. (т. н. функций состояния), неоднозначен. В системах без хим. р-ций в качестве независимых П. с. наряду с числами молей компонентов обычно выбирают т-ру Т н давление р или Т и объем V (см. Термодинамические функции). Связь между Г, р, V, 1, Пг,..., и дается состояния уравнением, с помощью к-рого можно, в частности, переходить от одного набора параметров к другому. Для характеристики состояния закрытых систем с хим. р-циями вместо п< удобно использовать степенв полноты р-ций (см. Химическое сродство). [c.423]

Как было показано выше, между составами равновесных фаз, температурой и давлением имеется определенная связь, которая термодинамически строго устанавливается уравнениями состояния равновесных систем и условиями устойчивости равновесия. В бинарной двухфазной системе, согласно правилу фаз Гиббса, имеются две степени свободы. На практике равновесие исследуется или при постоянном давлении, или при постоянной температуре. Если один из параметров состояния (Р или Т) задан, то в уравнениях состояния равновесной системы остается лишь одна независимая переменная. Этой величиной может явиться, например, концентрация одного из компонентов в паре, находящемся в равновесии с раствором заданного состава. В этом случае температура при заданном давлении или давление при Т = onst не являются независимыми переменными. Значения этих параметров — функции составов равновесных фаз, вытекающие с термодинамической обусловленностью из условий равновесия. Если заданы давления (при Т = onst) или температура (при Р = onst), то уравнения равновесия диктуют совершенно определенную связь между составами равновесных фаз. [c.143]

Важность и значение данного предмета шире, чем это представляется с первого взгляда, так как многие концепции измерений формы импульсов во времени можно распространить и на другие измерения, в которых отличные от времени параметры представляют собой соответствующие независимые переменные (например, такие параметры, как длина волны, состояние поляризации, угол падения света, частота и т. п.). Он включает в себя измерение оптического спектра, углового рассеяния, спектра мощности, временных функций корреляции и т. д. В случае когда независимый параметр сканируется с постоянной скоростью, он связывается с временем через постоянный К0эф4 ициент пересчета, а искомая функция в самом деле преобразуется в импульс истинного масштаба времени. Распространение этой концепции возможно и на другие случаи, например на случай при сканировании независимого параметра по шагам, когда измерения производятся параллельно (одновременно для различных значений независимого параметра) и т. д. [c.537]