Основные виды уравнений состояния

При физико-математическом анализе системы рассматриваемого типа с точки зрения общности интерес представляет прежде всего канонический вид соответствующих математических моделей, т. е. моделей, содержащих наименьшее возможное число параметров. Поэтому в последующих главах основное внимание уделено составлению дифференциальных уравнений и вычислению передаточных функций систем различного типа. Приведение их к каноническому виду уравнений состояния хорошо известно и в книге не производится. Там, где целесообразно, приводится соответствующая переходная функция, причем обычно дается переходная характеристика, а в исключительных случаях— частотная характеристика. [c.33]

Для того чтобы определить расход воздуха по формуле (86), необходимо предварительно найти значение удельного веса Это можно сделать, воспользовавшись основным характеристическим уравнением состояния газа в таком виде [c.167]

Это уравнение, которое в общем случае имеет вид / (р, V, Т) = О, связывает переменные, определяющие состояние системы, и называется уравнением состояния. В термодинамике уравнение состояния рассматривается как основная опытная характеристика системы. Внутренняя энергия реального газа при [c.13]

К задачам этого типа относятся расчеты прямоточной конденсации, прямоточного (однократного) испарения, дросселирования и смешения. При расчете прямоточных конденсации и испарения многокомпонентной смеси задано общее количество исходной смеси Р, ее состав и температура требуется определить количества пара и жидкости и их составы. Комбинируя основное расчетное уравнение состояния парожидкостного равновесия (1,2) и уравнение покомпонентного материального баланса, получаем соотношение вида [c.94]

Основные виды уравнений состояния [c.4]

К числу наиболее важных факторов, влияющих на механическое поведение материалов в конструкции, относят температуру, скорость деформирования, время выдержки, цикличность, вид напряженного состояния, абсолютные размеры сечений, рабочие среды и другие физические воздействия. Эти факторы влияют на форму кривых деформирования и на основные параметры уравнений состояния Е, сУт и т. [c.127]

Эта глава посвящена принципам автоматизированной переработки информации, которую несет в себе топологическая структура связи ФХС. Одно из преимуществ топологической формы описания ФХС состоит в том, что топологическая модель в виде диаграммы связи не только наглядно отражает структуру системы и ее основные количественные характеристики, но и допускает эффективную организацию автоматизированных процедур, рассчитанных на машинное исполнение, для преобразования диаграммной информации в другие формы в форму уравнений состояния ФХС в форму блок-схем аналого-цифровых моделей ФХС или сигнальных графов, минуя в том и в другом случае стадию вывода системных уравнений наконец, в форму передаточных функций по различным каналам. Таким образом, для получения необходимой количественной информации о ФХС исследователю необходимо построить диаграмму связи объекта и ввести ее в ЭВМ для реализации всех последующих автоматизированных процедур. [c.291]

Для расчета выжига кокса достаточно дополнить систему уравнений (4.25) системой (4.11). Система уравнений (4.25) с дополнительным уравнением, учитывающим скорость удаления кокса, и уравнением состояния частиц катализатора использовалась в работе [170] при расчете реакторно-регенераторного блока. В предположении диффузионного характера движения частиц катализатора среднее состояние частиц в каждом сечении аппарата определяется с помощью уравнения для плотности распределения частиц по состояниям, вид которого аналогичен первому уравнению (4.25). При расчете собственно регенератора основные результаты моделирования процесса следующие. При уменьшении скорости межфазного обмена между плотной и разреженной фазами (Рм < 0,1) состояние частиц катализатора на выходе из регенератора практически не зависит от режима движения частиц. При Рм > 0,1 среднее содержание кокса на выходящем из регенератора катализаторе уменьшается тем значительнее, чем меньше перемешивание его частиц (при Ре > 30). Однако в области, представляющей практический интерес - Рм 0,5 и Ре < 5,-характер движения частиц катализатора существенно меняет поле его состояния в аппарате. [c.92]

Попытки усовершенствовать уравнение состояния на основе уравнения идеального газа продолжаются до сих пор. Вириальное уравнение состояния в виде степенного ряда по плотности представляет собой достаточно простую форму уравнения, а в математике и теоретической физике существует много примеров выражения неизвестной функции через степенной ряд. Возможно, поэтому уравнение состояния в вириальной форме впервые было предложено как эмпирическое, и только после этого оно получило строгое теоретическое обоснование. Уравнение состояния в виде бесконечного ряда [уравнение (1.2)] было предложено примерно в 1885 г. Тиссеном [7], который рассчитал значения коэффициентов В и С из р—V—Г-измерений Реньо. Однако основное развитие вириальное уравнение получило в 1901 г. в работах Камерлинг-Оннеса [8], который представил уравнение в виде [c.10]

Уравнение, связывающее эти основные свойства, называют уравнением состояния в общем виде его записывают, так [c.8]

Зная уравнение состояние для рассматриваемой многокомпонентной системы, можно определить термодинамические функции в соответствии с основными термодинамическими соотношениями [5]. Имея в виду приложения к расчету парожидкостного равновесия, рассмотрим определение химических потенциалов компонентов. Для реальной газовой смеси химический потенциал г-го компонента [c.80]

Современная теория жидкого состояния. Современная теория жидкого состояния базируется на статистической термодинамике. Она одновременно является и теорией реальных газов. В ней в модифицированном виде используются как идеи Ван-дер-Ваальса, так и идеи Я- И. Френкеля и П. Дебая. Большой вклад в создание расчетного аппарата важнейших свойств жидкости внесен Н. Н. Боголюбовым, М. Борном, X. Грином, Дж. Кирквудом, И. 3. Фишером, А. Ф. Скрышевским и др. Статистическая теория использует представления о наличии ближнего порядка как в жидком, так и в газообразном состояниях, т. е. она на новой основе возродила идею Ван-дер-Ваальса. Теория устанавливает связь между важнейшими термодинамическими характеристиками и микроструктурой жидкости путем применения радиальной функции распределения, а также выводит универсальное уравнение состояния, которое выражает связь основных параметров (давления, объема, температуры) с радиальной функцией и межмолекулярным потенциалом. [c.230]

Для разности энергий в основном и возбужденном состояниях уравнение (6,29) принимает такой вид [c.340]

Уравнение (1.50) — основное при проведении расчетов величин, характеризующих установившееся течение газов в трубопроводе (кроме начального участка). Дополнительно применяется уравнение состояния идеальных газов в виде [c.40]

В 2 данной главы приводится окончательный вид уравнений сохранения для реагирующей смеси идеальных газов. Из вывода этих уравнений (Дополнение В) следует, что применение основных уравнений (за исключением уравнения состояния и калорического уравнения состояния) не ограничивается случаем идеального газа. В большей части рассмотренных в книге задач используются решения этих уравнений, полученные для специальных видов течений. [c.15]

Попытка точного аналитического исследования течений, близких К равновесным, была предпринята Рудиным [ ] полученные результаты были использованы для вывода критериев близости к условиям равновесия для частных типов химических реакций [ °]. В работе сначала рассматриваются уравнения (2 ), (3) и (5) вместе с уравнением состояния, калорическим уравнением состояния и уравнениями химического равновесия. Если / — некоторый параметр потока (например. Г, р, г и т. д.), то при заданных в некоторой точке (например, в сечении 1 на рис. 2) начальных условиях и при заданном изменении площади поперечного сечения А х) решение этих уравнений может быть записано в виде функций (х) (параметры равновесного течения). Затем рассматриваются уравнения, описывающие течение при тех же начальных условиях и той же функции А х), но при конечных скоростях реакции уравнения (2) — (5), уравнение состояния и калорическое уравнение состояния. Относительно решения этих уравнений / х) предполагается, что разность = f мала по сравнению с / , т. е. что выполняется неравенство А//Д < 1, которое служит определением течения, близкого к равновесному. Из этих двух систем основных уравнений Рудин получает затем уравнения вида [c.100]

Для многих случаев оказывается удобным использовать обозначения для дискретных состояний обобщение на непрерывный случай с формальной точки зрения можно сделать просто и без дополнительных математических трудностей. Основное кинетическое уравнение (5.1.6) можно записать в более компактном виде, если определить следующую матрицу W [c.104]

Упражнение. Пусть У и.меет вид 5.2.7), а элементы матрицы О неотрицательны и никакие другие условия на матрицу О не налагаются. Тогда либо все состояния Ь являются переходными, либо У является расщепляющейся или даже разложимой. Имеется по крайней мере одно переходное состояние, если только О 0. Все состояния Ь являются переходными, когда у О имеется хотя бы один не равный нулю элемент в каждом столбце. Упражнение. Ветвящийся процесс в 3.6 не является марковским и поэтому не удовлетворяет основному кинетическому уравнению, если только 7 не является независимой от т. Запишите основное кинетическое уравнение для этого частного случая. Что можно сказать о переходных и поглощающих состояниях [c.108]

Процесс, в результате которого растворенное вещество из первоначального состояния равномерного распределения в объеме раствора оказывается выделившимся на поверхности растущего кристалла, обычно рассматривается как происходящий в два последовательных этапа перенос вещества из основной массы раствора к поверхности растущей грани и собственно процесс кристаллизации, т. е. включение структурных частиц растворенного вещества в кристаллическую решетку [10]. Первый этап является задачей массопереноса, и в инженерных приложениях скорость такого процесса переноса записывается в виде уравнения внешней массоотдачи [c.138]

Уравнения состояния можно отнести к четырем основным видам. [c.69]

В табл. 11.1 даны выражения, позволяющие оценить М - исходя из уравнений состояния, в которых давление или объем представлены в явном виде. Запишем основные соотношения для энтальпии и энтропии [c.131]

Если в основное уравнение Ван-дер-Ваальса вместо Р, У и Г подставить кр и а значения констант ап Ь заменить соответствующими выражениями а = ЗРкр кр и Ь = Т р/З, то для критической точки уравнение состояния газа будет иметь вид [c.47]

Основные положения. Результаты тщательно проведенных экспериментов, как правило, более предпочтительны, нежели результаты расчетов, осуществленных, например, по уравнениям состояния или групповым вкладам. В любом случае область применения и справедливость этих методов и коррелирующих уравнений можно определить только путем экспериментальных исследований. В данном разделе мы рассмотрим различные виды данных и различные методы расчета, которые пригодны для достижения этих целей и, следовательно, для выполнения интерполяции и экстраполяции ограниченного количества данных. [c.227]

Расчет важнейших термодинамических свойств, теплоемкостей Ср и Су, энергии и, энтропии S и энтальпии Н производится при помощи основных термодинамических дифференциальных уравнений, связывающих эти свойства с уравнением состояния тела, задаваемым в виде [c.54]

Одной из наиболее точных модификаций уравнения БВР является одиннадцатипараметрическое уравнение состояния, полученное Старлингом и Ханом [11]. При его разработке одновременно использовали экспериментальные данные по основным теплофизическим свойствам (давлению, объему, температуре, энтальпии и давлению насыщенных паров) в жидкой и газовой областях с тем, чтобы обеспечить полную согласованность между всеми определяемыми свойствами системы. По уравнению Старлинга— Хана давление Р является функцией температуры Т и мольной плотности р. Уравнение имеет вид [c.32]

В рамках оговоренной линейной модели основные соотношения, описываю -щие акустические колебания и волны в среде, следуют из уравнения состояния среды, уравнения движения Ньютона и уравнения неразрывности. Результатом являются уравнения волнового типа, которые могут быть решены при соответствующих начальных и граничных условиях. Процесс колебаний или распространения волны сопровождается периодическим смещением частиц из положения равновесия, изменением плотности, давления и скорости движения частиц в среде. Представим результирующие величины, характеризующие состояние среды при прохождении через нее акустической волны, в виде суммы стационарной (при отсутствии звукового возмущения) и периодической составляющих [c.32]

Термодинамическая поверхность вещества, охватывающая широкую область параметров состояния (от состояния идеального газа до кривой плавления), разделена на две зоны по критической изохоре. Для каждой зоны составлены взаимосогласованные уравнения состояния, обеспечивающие плавный переход термодинамической поверхности через линию раздела и строгое соблюдение условий в критической точке (параметры в ней обозначаются с индексом кр). Основное уравнение системы имеет вид [26] [c.35]

Следует, однако, заметить, что при использовании большинства стандартных процедур идентификации применительно к химикотехнологическим процессам возникает ряд трудностей. Эти трудности в значительной мере обусловлены тем, что при оперировании в расчетах формальным аппаратом алгебры (который является основным при дифференциально-разностной аппроксимации канонических дифференциальных уравнений состояния) недостаточное внимание уделяется специфике объектов химической технологии и характерным свойствам протекающих в них процессов (неста-ционарность шумов в самом широком смысле, распределенность параметров в пространстве, возможная нестационарность структуры функционального оператора, специфические виды нелинейностей и т. п.). В этой связи представляет интерес разработка вероятностно-статистических методов идентификации, основанных [c.16]

Применение топологического принципа описания ФХС позволило сформировать обобщенную математическую модель процесса в виде диаграммы связи, отражающей все основные явления, характерные для стадии отмывки. Установлено, что при разбавлении серной кислоты в диапазоне концентраций 98—20% выделяется основное количество тепла, при этом ионит набухает незначительно. Это позволило для исследования тепловых г)ффе1стов, сопровождающих отмывку и оказывающих решающее влияние на прочностные свойства гранул ионита, сформировать упрощенную диаграмму связи без учета эффекта набухания. Из диаграммы связи с помощью стандартных процедур получена аналитическая форма математической модели процесса отмывки в виде дифференциально-разностных уравнений состояния. [c.394]

Теоретическое развитие вириального уравнения состояния было начато гораздо позже его применения для описания экспериментальных данных. Правда, это не относится к теории второго вириального коэффициента. Строгое теоретическое обоснование уравнения состояния представляло огромные трудности даже после того, как в 1927 г. Урселом [12] была математически обоснована форма разложения в виде степенного ряда. И только после работ Майера [13], выполненных в 1937 г., теория уравнения состояния получила свое развитие. Формальную теорию и в классической, и в квантовой механике теперь можно рассматривать как в основном законченную теорию, хотя все еще существуют трудности, связанные с точным численным расчетом высших вириальных коэффициентов. В отличие от общей теории вириального разложения теоретическое обоснование второго вириального коэффициента известно уже давно. Причиной является то, что это частный случай вириального разложения для низких плотностей, который можно было решить сравнительно просто. Несколько разных математических методов было использовано для развития теоретической интерпретации второго вириального коэффициента. Возможно, самым старым и простым из них является расчет давления при рассмотрении потока момента через воображаемую единицу площади поверхности в газе [14]. Второй вириальный коэффициент является тогда дополнительным членом, учитывающим двойное взаимодействие. Этот кинетический метод очень трудно применить к вычислению высших вириальных коэффициентов, исключая некоторые модели молекул, например жесткие сферы [15]. Более общие методы [c.12]

Поляризуемость зависит от свойств и размеров электронного облака и служит одной из важнейших характеристик электрических свойств молекулы (атома, иона). Из уравнения (1.2) следует, что при =1 а=цинд, т. е. поляризуемость равна дипольному люменту, индуцированному электрическим полем с напряженностью, равной единице. Поляризуемость имеет размерность объема и численно близка к кубу эффективного радиуса г молекулы (атома, иона) Например, анв=0,20-см , ан2 = 0,32> 10- см , асс14 = = 10,14"10-2< см и азпС1<= 13,04 10" см . Чем труднее смещаются электроны молекулы под действием электрического поля, тем меньше поляризуемость. Все изменения, происходящие в структуре молекулы (атома, иона) под воздействием внешнего электрического поля, называются электрической поляризацией вещества или просто поляризацией. Поляризация, отнесенная к одному молю вещества, называется мольной поляризацией, а к единице массы — удельной поляризацией. Поляризация неполярных молекул практически не зависит от присутствия других молекул в системе и от внешних условий (давление, температура), которые определяют состояние вещества. Поляризация же полярных молекул зависит от этих факторов. Существуют три основных вида поляризации, являющиеся составляющими общей поляризации [c.6]

Все сведения о строении и свойствах объектов химии (молекул, радикалов, комплексов, кристаллов и т. п.) в принципе могут быть получены решением уравнения Шрёдингера для соответствующих, систем ядер и электронов. Однако точное решение уравнения Шрёдингера для всех интересующих химию систем — молекул, радикалов, комплексов и т. п. — наталкивается на практически непреодолимые математические трудности Поэтому квантовая химия, как правило, использует приближенные расчетные методы, а также по-луколичественные и качественные. Даже получаемая квантовой химией качественная информация о строении и свойствах веществ имеет принципиальное значение для химии. При разработке таких приближенных методов основываются не только на математических соображениях (при подборе вида исходной волновой функции), но и на фактическом материале химии. Квантовая химия в основном рассматривает стационарное состояние системы из электронов и ядер (входящих в состав молекулы, радикала и т. п.), для которого характерен минимум энергии. В настоящее время главная заслуга квантовой химии заключается в раскрытии природы химической связи. Наибольшее распространение получили два квантово-химических способа приближенного расчета систем из ядер и электронов, отвечающих химическим объектам, — метод валентных связей и метод молекулярных орбиталей. В обоих ме- [c.88]

Разделив обе части уравнения (1.4) на п, получим рУ=НТ, где V — объем одного моля газа. Уравнение (1.4) в общем случае имеет вид /(р, V, 7)—0. Оно связывает переменные, определяющие состояние системы, и называется уравнением состояния. В термодинамике оно рассматривается как основная опытная характеристика системы. Внутренняя энергия реального газа при постоянной температуре зависит от объема, т. е. (ди дУ)тфО. Это обусловлено тем, что при изменении объема газа изменяются расстояния между молекулами и, следовательно, меняется потенциальная энергия. В идеальном газе внутренняя энергия не зависит от объема, так как отсутствует взаимодействие между частицами, и в этом случае (д111дУ)т=( . В справедливости этого можно убедиться, рассмотрев опыт, проведенный Джоулем. [c.16]

Упражнение. Популяция поражена эпидемией. Имеется т здоровых индивидуумов и п больных. Уравнения, описывающие скорости, имеют вид т = —7тп/й, п=утп10 — ссп. Интерпретируйте эти уравнения. Постройте основное кинетическое уравнение. Найдите дисперсии и ковариации в стационарном состоянии . [c.254]

Реакция (8.1) является обратной реакцией синтеза метанола, который подробно исследован и широко применяется в промышленности. В результате каталитического процесса конверсии образуется тазовая смесь, состоящая в основном из водорода, углекислого газа и окиси углерода. Так как эти примеси недопустимы для ЭХГ с щелочны.м электролитом, необходима стадия очистки водорода. Параметры процесса конверсии метанола в системе подготовки топлива для ЭХГ со щелочным электролитом составляют по давлению до 10 МПа и по температуре 200—400°С. При этом давление определяется характеро.м процесса последующей очистки конвертированного газа, а температура — активностью современных катализаторов. Если принять допущение о том, что реакционная смесь идеальна, т. е. подчиняется уравнениям состояния идеального газа, то равновесный состав смеси может быть рассчитан сравнительно просто. При этом методика расчета состоит в следующем. Расчетное уравнение реакции на 1 моль прореагировавшего метанола можно записать в виде [c.363]

К настоящему времени предложено большое число уравнений состояния [8, 9]. Большинство из них предназначены для описания поведения углеводородных систем. Эти уравнения можно условно разделить на два основных вида многокоэффициентные и кубические. [c.77]

Уравнения состояния для отдельных веществ. Большое значение, придаваемое определенным веществам или смесям, обусловливает повыщенный уровень требований к точности, который недостижим при использовании уравнений общего характера. Для целого ряда веществ разработаны эффективные уравнения особого вида. В качестве такового примера в первую очередь следует привести основное уравнение состояния для воды, в котором энергия Гельмгольца выражена через плотность и температуру. Это уравнение приведено в табл. 1.22. Как указывают Кинан и др. [63], это уравнение содержит 58 числовых коэффициентов и пригодно для получения всех данных о паре, приведенных в таблице. В той же табл. 1.22 представлен ряд уравнений, выведенных из этого основного уравнения, которые описывают другие свойства. [c.87]

Считая, чтоа 1 (это обычно имеет место), т. е. что катализатор в растворе существует главным образом в основной — непротонированной форме и на электроде вследствие полной регенерации катализатора быстро устанавливается стационарное состояние, величину [В]з можно принять равной общей аналитической концентрации катализатора в растворе Скат- Принимая во внимание уравнение (16) (см. стр. 14) и уравнение Ильковича для гипотетического среднего диффузионного тока, который имел бы место в случае обычного, ограниченного диффузией разряда катализатора при и = 1, записанное в виде уравнения (6а) (стр. 8), для отношения предельного каталитического тока к диффузионному получаем простое выражение [759] [c.217]

Эти константы имеют ясный термодинамический смысл. Это либо константы равновесия реакции двумерной ассоциации с образованием на поверхности кратных комплексов [5], либо это константы взаимодействия в уравнении состояния двумерного слоя, например константы 2 и Ьд двумерного уравнения состояния Ван-дер-Ваальса ]6—9]. При адсорбцип на неоднородной поверхности эти константы отражают как взаимодействие адсорбат — адсорбат, так и неравноценность различных мест на новерхностн [10—12]. Для всех этих констант, как и для константы Генри, может быть найдена зависимость от температуры. В этом случае можно получить уравнение вида / (я, р, Т) = О, которое позволяет найти зависимость величины адсорбции а не только от р, но и от Г [13—15]. Первая производная fa (р, Т) этой функции по температуре при постоянной а дает завнсимость Q от заполнения, а вторая производная [а р, Т) — зависимость теплоемкости от заполнения. Таким образом, применение нриблпжонных уравнений адсорбционного равновесия дает возможность рассчитать основные термодинамические характеристики адсорбции в широкой области заполнений первого слоя, а в благоприятных случаях — и при переходе к полимолекулярной адсорбции. В дальнейшем вычпсле-нпя основных адсорбционных характеристик с помощью функции / (а, р, Г) — О и ее производных проводятся в нулевом приближении, т. е. при допущении независимости Q от Т. [c.367]

Уравнение (1,35) не исчерпывает все условия равновесия. Кроме него можно записать аналогичное по виду уравнение, если выразить с1дн в переменных пара. Эти два уравнения, приводящие к большому количеству следствий, называют основными условиями равновесия. Кроме них, соотношения (1,32) дают ряд дополнительных условий равновесия, если использовать формулы для дифференциалов и выраженных через соответствующие переменные состояния. Перечисленные уравнения совместно образуют систему дифференциальных уравнений, полностью описывающих условия равновесия между жидкостью и паром. Эти уравнения в математическом отношении решают задачу в том смысле, что при известных зависимостях Т, Хи. .., д - ), [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология