Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Собственные функции коммутирующих операторов

    СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КОММУТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ [c.50]

    Если два оператора коммутируют, то собственные функции одного оператора являются также собственными функциями другого (см. раздел 1.2). Следовательно, найденные при решении уравнения Шредингера собственные функции оператора Н (табл. 4) являются собственными функциями операторов и и и. Используя выражение оператора (2.72), запишем уравнение (2.75) в явном виде  [c.44]


    Для проверки справедливости этой теоремы нужно показать что если существует полная система ортогональных функций, которые одновременно являются собственными функциями, двух операторов Ж я Ж, то эти операторы коммутируют. И наоборот, если два оператора Ж я Ж коммутируют, то существует система функций, которые одновременно являются собственными функциями обоих операторов. [c.57]

    Теорема II. Если два оператора а и коммутируют, то существует система функций, являющихся одновременно собственными функциями обоих операторов. [c.51]

    Еще раз подчеркнем коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, тогда как системы собственных функций некоммутирующих операторов различны (совпадать могут лишь отдельные функции). [c.47]

    Теорема III. Если существует полная система ортогональных функций ф , являющихся одновременно собственными функциями двух операторов а и то а и коммутируют друг с другом. [c.53]

    В (СОСТОЯНИЯХ, описываемых общими собственными функциями коммутирующих операторов (см. 2), соответствующие величины [c.16]

    Значение операторов момента импульса в атомной спектроскопии определяется тем, что они коммутируют друг с другом и с оператором Гамильтона. Если какой-либо оператор коммутирует с гамильтонианом, то волновые функции, описывающие систему (собственные функции гамильтониана), могут быть выбраны так, чтобы они были собственными функциями этого оператора. Например, если оператор коммутирует с (Ш, то квантовое число Ь можно использовать для характеристики волновых функций так, чтобы каждая волновая функция соответствовала определенному значению Ь. Если же оператор не коммутирует с то волновые функции не характеризуются определенным значением Ь и могут быть измерены только средние значения орбитального момента. Даже еслп не известен точный вид волновой функции, можно [c.155]

    Да, это верно. Если операторы А и В не коммутируют, то системы их собственных функций не совпадают. Взяв в качестве базиса собственные функции, например, оператора А, мы представили его диагональной матрицей. Но этот же базис не придает матрице оператора В диагональный вид, так как оператор В имеет другую систему собственных функций. [c.85]

    Операторы, относительно которых временное уравнение Шредингера для заданной квантовой системы является инвариантным, образуют группу А, В,. .. Действительно, если АФ и ВФ -решения временного уравнения, то в силу инвариантности решением будет и В(АФ), т.е. оператор С = ВА также принадлежит группе С. Тождественная операция, очевидно, принадлежит С и является ее единицей, а вот что касается обратных операторов, то здесь положение хитрее по крайней мере, если они существуют, то также принадлежат С. (Останавливаться на доказательстве этого утверждения не будем). Группа О, образованная операторами, коммутирующими с оператором Гамильтона, называется группой уравнения Шредингера. Рассмотрим множество собственных функций X, оператора А е О. Это множество можно разбить на подмножества тех функций, которые принадлежат одному и тому же собственному значению оператора Л  [c.195]


    Вы правы. Операторы Т и U не коммутируют и, следовательно, не имеют общих собственных функций. Поэтому оператор полной энергии Н = Т+О не может иметь в качестве собственных функций ни собственных функций Т, ни собственных функций U. Иными словами, в состоянии с определенным значением энергии Е (собственное значение оператора Н принято обозначать через Е) ни Т, ни U, вообще говоря, не имеют определенного значения. [c.79]

    Из вышеприведенных перестановочных соотношений можно получить наиболее важные свойства момента количества движения. Так как и коммутируют, можно найти совокупность функций, являющихся одновременно собственными функциями обоих операторов. Обозначим эти собственные функции ч рез где удовлетворяет уравнениям [c.60]

    Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

    Мы можем поэтому выделить из операторов механических моментов различные системы, члены каждой из которых коммутируют между собой, а также с Н. Так, например, мы могли бы выбрать М , 8 8 и или М , 8 , и Далее, согласно теореме II гл. IU, собственные функции Н можно выбрать так, чтобы они явились одновременно собственными функциями всех операторов в любой из этих систем. Более того, если это сделано, то матричные компоненты перехода между собственными функциями, имеющими различные собственные значения, хотя бы для какого-либо одного из этих операторов, будут равны нулю. Поэтому, если мы возьмем такую систему линейных комбинаций описанных выше )-функций, что каждая комбинация явится собственной функцией всех операторов из совокупности коммутирующих операторов моментов, то все H j и S j в уравнении (9.21) будут равны нулю, за исключением тех комбинаций, которые имеют одинаковые собственные значения для всех операторов этой совокупности. [c.180]

    Функции из некоторого набора могут одновременно быть собственными функциями нескольких операторов. Операторы с совпадающим набором собственных функций обладают тем весьма важным свойством, что они коммутируют. В случае частицы, движущейся по окружности (разд. 1-3), волновые функции 11 одновременно являются собственными функциями опера- [c.425]

    Предположим, что можно найти оператор а, который коммутировал бы с Н и представлял собой функцию только одной переменной (7ь Собственные функции ф оператора а были бы тогда также функциями только одной переменной. Однако а и Н коммутируют, так что любая собственная функция гр оператора Н непременно является собственной функцией оператора а, и наоборот. Вместе с тем собственные функции Н представляют собой функции трех переменных, которые мы обозначим через [c.42]

    Докажем теперь, что если два оператора коммутируют, то существует набор таких функций, которые являются одновременно собственными функциями обоих операторов. Обозначим собственные функции оператора Л через 0, а собственные функции оператора через х, тогда [c.98]

    Перестановочные соотношения между операторами являются основой многих важных результатов, получаемых в квантовой механике. Например, если два оператора не коммутируют, то не суш,ествует набора функций, которые одновременно являются собственными функциями обоих операторов, и, следовательно, нельзя провести такой эксперимент, в котором можно точно измерить величины, соответствуюш,ие обоим операторам. Принцип неопределенности Гейзенберга, сформулированный в гл. 1, является примером этого. Поскольку операторы х и [c.99]

    Если Я коммутирует с эрмитовым или унитарным оператором К и если собственное значение Е не вырождено, то соответствующая собственная функция автоматически будет собственной функцией и оператора К. Если же собственное значение вырождено, то, хотя собственные функции гамильтониана и не будут автоматически собственными фз нкциями оператора К, всегда можно найти множество совместных собственных функций Я и К. В итоге произвольная вырожденная собственная функция будет некоторой их линейной комбинацией. [c.119]

    Правда, в случае вырождения отнюдь не любая собственная функция одного из коммутирующих операторов обязательно будет собственной функцией другого. Но при этом всегда можно путем составления [c.47]

    Коммутирующим операторам и 5г отвечают только две собственные функции (соответственно двум возможным значениям проекции спинового момента). Эти функции обозначаются символами аир и удовлетворяют следующим соотношениям  [c.59]


    Операторы и 8 коммутируют операторами Ь и 8 , а потому могут рассматриваться как операторы в пределах Кроме того, операторы и 8г коммутируют между собой и, следовательно, в Г/,5 существует базис, состоящий из их общих собственных функций  [c.131]

    Возникает стандартная для квантовой механики задача. Имеется система коммутирующих операторов. Требуется отыскать систему собственных чисел и собственных функций. Пусть х - число классов сопряженных элементов той группы, относительно которой инвариантен оператор Н. Тогда [c.195]

    Покажем, что если две физические величины Ь и. М одновременно могут иметь определенные значения, то их операторы Ь и М коммутируют. Математически утверждение, что физические величины Ь и М одновременно имеют определенные значения, как следует из ранее изложенного, выражается тем, что операторы Ь и М имеют одинаковую систему собственных функций  [c.16]

    Если два оператора коммутируют, то можно выбрать систему базисных функций так, чтобы они являлись собственными функциями обоих операторов (см. разд. 1.1). Следовательно, найденные при решении уравнения Шрёдингера собственные функции оператора Н (см. табл. 2.4) являются собственными функциями операторов и Используя выражение оператора (2.72), запишем уравнение (2.75) в явном виде  [c.48]

    Если мы имеем два различных оператора Ь] и Ьа, то собственные функции одного оператора отличны от собственных функций другого оператора. Но имеется весьма важное исключение из этого правила, которое мы приводим без доказательства если два оператора Ь1 и Ьг коммутируют между собой, т. е. 1Ь1Ь2]=0, то собственные функции одного оператора являются также собственными функциями другого Ь1ф = 11ф и L2ф = L2ф Таким образом, если какой-либо оператор Ь коммутирует с Н, то система волновых функций оператора Н будет также системой собственных функций оператора Ь. [c.14]

    М. Иногда ошибочно полагают, что если для двух операторов А и В существует общая собственная функция, то они коммутируют. В качесгви доказательства приводят следующие рас-суждения пусть гр — общая собственная функция для операторов А и В A(p=J.jp В р — ц(р. Тогда АВ<р = А//дз=/1/хф ВА<р —ВДг/) = / Я<р AB(p=BAip. Следовательно, АВ = ВА. Найдите ошибку в этих преобразованиях. [c.12]

    Если операторы имеют вырожденные собственные значения, то собственные функции оператора М, вообще говоря, не будут собственными функциями коммутирующего с ним оператора Р. Однако можно показать, что и в этом случае можно всегда из функций трпл составить такие линейные комбинации [c.49]

    В большинстве задач по строению атома и молекулы, которыми мы будем заниматься, нас будут интересовать одновременно различные операторы. Собственные функции какого-либо оператора обычно отличаются от собственных функций другого оператора, но имеется весьма важное ис-ключен е из этого правила, когда одна и та же сист а функций является одновременно системой собственных функций двух операторов это происходит, когда операторы коммутируют. В этом случае имеем следующую теорему. [c.50]

    Этот оператор коммутирует с Р и 3 , но не с М , или их составляющими. Поэтому собственные функции полного оператора Гамильтона не будут собственными функциями операторов М , 8 , М , Если, однако, член Н мал по сравнению с другими членами оператора Гамильтона, то уровни энергии полного оператора Гамильтона будут примерно совпадать с уровнями энергии приближенного оператора Гамильтона, ранее нами рассмотренного. Поэтому каждый терм расщепится на несколько энергетических уровней, энергии которых будут близки к энергии невозмущенного терма. Собственные функции, отвечающие этим уровням энергии, будут приближенно представлены линейными комбинациями -функций, отвечающих невозмущенным термам. [c.204]

    Так как Р и коммутируют с полным оператором. Г амильтона, то конечные, собственные функции Н должны быть также собственными функциями этих операторов с [c.204]

    Несмотря на это, собственная функция оператора, например Н, не обязательно является собственной функцией другого оператора. Для выяснения этого вопроса определяют, коммутируют или нет два данных оператора. Например, гамильтониан у и оператор момента импульса Ь везависимо от последовательности их воздействия на некоторую собственную волновую функцию дают одинаковый результат Н . = ЬНФ. Это означает, что существуют такие волновые функции, которые одновременно являются собственными как для Н, так и для Ь. Таким образом, для системы в состоянии Ф можно одновременно определить и энергию, и момент импульса. Напротив, операторы координат и импульса не коммутируют р Ф, поэтому нельзя одновременно определить точное местоположение молекулы и ее импульс. Это утверждение носит название принципа неопределенности Гейзенберга. [c.15]

    При наличии той или иной пространственной симметрии с оператором энергии будут коммутировать в дополнении к операторам 8 и 8 ряд других операторов. В этих условиях можно поставить задачу нахождения таких фукнций, которые бы явились собственными функциями всех коммутирующих операторов (см. гл. 3). Здесь сконцентрируем внимание на собственных функциях 8 и 8 . При рассмотрении этой задачи попутно выясним на первый взгляд странное обстоятельство оператор Гамильтона системы не зависит от спиновых переменных, тем не менее энергия многозлектронной системы зависит от полного спина системы 8. [c.63]

    Индекс О различает отдельные канонические относительно операторов Ь и 8 цепочки, на которые такой базис распадается. Подпространство конфигурации размерности (25 + 1) (11 + 1), для которого одна такая цепочка служит базисом, назьтают термом. Поскольку базисы в Г/,5 образуются объединением отдельных канонических цепочек, отвечающих различным а, то Tls, а вместе с ними и вся конфигурация есть прямая сумма термов. Термы, принадлежащие одному и тому же пространству Т15, называют эквивалентными или однотипными. Операторы Я, 5 представляют собой другую пару операторов, коммутирующих между собой и с операторами и 8 , и, следовательно, обладающих в Г 5-06-щей системой собственных функций  [c.131]

    Как в п1тп1х]-, так и в и//шу] -представлении матрица оператора возмущения К = с + (У,,, имеет блочно-диагональный вид. Каждый диагональный блок соответствует определенному значению MJ. Матричные элементы между определителями с различными Л// равны нулю. Утверждение очевидно оператор коммутирует с оператором Лг, а базисные системы состоят из собственных функций последнего. Так, на примере -конфигурации секулярная матрица будет состоять из пяти блоков, так как Л// может принимать пять значений М/ = 2,1,0, -1, -2. Размеры этих блоков равны числу определителей, отвечающих данному значению Л//, т.е. 2, 3, 5, 3, 2 соответственно. Таким образом, секулярная матрица имеет вид, изображенный на рис. 4. Крестиками обозначены [c.132]

    Операторы симметрти в общем случае не коммутируют между собой. Установим систему коммутирующих операторов, собственные значения которых определяют тип симметрии волновой функции. Эти операторы играют в теории молекул ту же роль (в смысле классификации электронных состояний), что и операторы (Ь , Ьг) или (Я, 1 ) в теории атома. Оператор энергии электронной подсистемы зависит от электронных переменных г и от координат ядер как от параметров. Рассмотрим преобразования симметрии электронных переменных под знаком интеграла  [c.188]

    Из полученных таким способом детерминантных функций следует составить далее такие их линейные комбинации - функции Фр, которые бы явились собственными функциями оператора 8 и собственными функциями системы коммутирующих операторов (см. гл. 4, 1), определяющих пространственную симметрию молекулы. Индекс функции Фр объединяет некоторую систему индексов для однократно возбужденных конфигураций - два индекса (один для занятой, один для виртуальной орбитали) для двукратно возбужденных конфигураций -четыре индекса (два - для занятых, два - для виртуальных орбиталей). Многоэлектронную функцию Ф эаписьгоают в виде суммы слагаемых [c.248]


Смотреть страницы где упоминается термин Собственные функции коммутирующих операторов: [c.14]    [c.14]    [c.87]    [c.51]    [c.84]    [c.48]    [c.12]    [c.117]    [c.12]    [c.14]   
Смотреть главы в:

Квантовая химия  -> Собственные функции коммутирующих операторов




ПОИСК





Смотрите так же термины и статьи:

Оператор

Оператор собственный

Оператор функция

Собственные



© 2025 chem21.info Реклама на сайте