Константы движения

Хотя концепция констант движения является полезным геометрическим понятием в теории неравновесной статистической механики, в любой задаче классической механики только часть этих констант имеет значение. Например, насколько важны начальные значения координат После утомительного решения системы 2М [c.25]

Задача 1.17. Показать, что динамическая переменная и, не содержащая время явно и имеющая нулевую скобку Пуассона с гамильтонианом, является константой движения. [c.27]

Задача 1.18- Показать, что если и и v — константы движения, то [и, v] также является константой движения. Исследовать общий случай, когда и и v — явные функции времени [c.27]

Теория переменных действие — угол основана на более общих представлениях, называемых теорией Гамильтона — Якоби. В этой теории стремятся найти каноническое преобразование, которое приводит к гамильтониану, циклическому по всем новым координатам. Преимущество такого преобразования огромно. Если все новые координаты циклические, то все новые импульсы — константы движения. С другой стороны, новый гамильтониан Н р) является функцией только новых постоянных импульсов. Поэтому, продифференцировав его по этим импульсам, полу- [c.34]

Таким образом, решение данной динамической задачи заключается в нахождении такого канонического преобразования (т. е. производящей функции), чтобы новые импульсы были константами движения. А эта последняя задача тесно связана с непосредственной проблемой интегрирования уравнений движения, что является в свою очередь не более чем формальной операцией отображения начальных координат и импульсов на их величины в момент времени t. Действительно, для всех динамических задач, кроме особого класса, теория Гамильтона — Якоби более важна своей близкой причастностью к нейтральной области между классической динамикой и квантовой механикой, чем своими приложениями. [c.34]

Как было отмечено ранее, теория Гамильтона — Якоби опирается на нахождение производящей функции, которая все новые импульсы делает константами движения. Из четырех фундаментальных форм производящей функции наиболее подходящей будет функция (д, р ). [c.34]

Некоторые темы, развитые в этой главе, найдут применение в последующих главах. Переменные действие — угол будут использованы в анализе Пригожина уравнения Лиувилля, представленном в гл. II. Концепция констант движения применяется при нахождении самого общего решения уравнения Лиувилля и в заключительной дискуссии этой книги, касающейся эргодической теории. К динамической обратимости орбит мы будем часто возвращаться в связи с парадоксом видимой необратимости [c.43]

Задача 1.27. Для свободной частицы, движущейся в одном измерении, имеются две константы движения [c.45]

Обратимся теперь к построению наиболее общего решения уравнения Лиувилля. Если система, которую представляет ее ансамбль имеет N степеней свободы, то существует 2М констант движения. Рассмотрим одну из них вида [c.60]

Таким образом, любая константа движения является решением уравнения Лиувилля и обратно, любое решение уравнения Лиувилля является константой движения. Но суш ествует 2М таких независимых констант Следовательно, самым обш им решением уравнения Лиувилля будет произвольная функция констант движения [c.61]

Самым общим называется такое решение уравнения, которое включает в себя все решения как частные случаи. Какая-либо определенная функция всех констант движения не будет являться самым общим решением уравнения Лиувилля. Например, решение В = / 1 2. .. / 2IV не включает решения В = -1-/ 4. Следовательно, самое общее решение может быть только вида В = = В (/ 1, 112, Чтобы построить это решение, надо запи- [c.61]

Из предшествуюш,их рассуждений следует, что, зная самое общее решение уравнения Лиувилля, мы тем самым знаем движение всех частиц, составляющих систему. Такова вторая интерпретация функции В, В первой интерпретации В определялась как плотность ансамбля точек системы в фазовом пространстве. Разумеется, эти две интерпретации взаимно согласуются. Так как самое общее решение уравнения Лиувилля является произвольной функцией всех констант движения, то оно само будет константой движения." Как мы знаем, константа движения — это динамическая функция, которая остается неизменной при эволюции системы во времени. Она постоянна вдоль динамической траектории точки системы в Г-пространстве. Примечательно, что плотность точек ансамбля около любой точки, изображающей систему, остается постоянной. Плотность изображающих точек в бесконечно малой окрестности произвольной точки системы остается связанной с этой точкой, когда последняя движется по своей динамической траектории. Плотность точек системы [c.62]

В такой форме D является функцией констант движения, и ее нахождение сводится к заданию начального значения D при [c.65]

Если Р является константой движения, то Р = О, и обратно, если Р = О, то Р — константа движения. Произвольная констан- [c.69]

Уравнение (2.55) говорит о том, что модули собственных функций -фг оператора Л являются константами движения, если они не зависят от времени явно. [c.70]

Г-пространство является 12-мерным. Выяснить (геометрически и физически) пригодность трех констант движения 1) энергии, [c.89]

В. Парадоксы обращения времени и константы движения [c.117]

Н — гамильтониан, и — константа движения, [c.118]

Относительная скорость г до и после столкновения обладает очень важным свойством. Обозначим относительную скорость до и после столкновения через V. Так как относительный импульс р равен 1г, то из (4.3) с учетом того, что Н является константой движения, следует равенство [c.177]

Так как Я цикличен по ф, то рф является константой движения, обозначаемой через Ь. Относительный гамильтониан сам по себе также постоянен, поскольку энергия совокупности частиц, измеренная в системе координат, связанной с центром масс, будет [c.183]

Заметим, что шестью константами движения для гамильтониана свободной частицы будут [c.320]

Однако можно показать, что это достаточное условие справедливости предшествующего равенства никогда не реализуется в природе. Одна из возможных аргументаций осуществляется через 2М М — число степеней свободы) констант движения /г . Так как все орбиты на энергетической поверхности обладают одинаковой энергией, то остается 2М — 1 произвольных постоянных. Но одну из них можно использовать, чтобы фиксировать начальное время (см. следующую задачу). [c.338]

Задача 5.24. Рассмотрим систему с N степенями свободы. Два члена представляющего ансамбля таковы, что все 2М констант движения, кроме одной пары, попарно одинаковы для обоих членов, т. е. [c.338]

Сейчас уместно указать на некоторые существующие различия между константами движения. Например, константы, определяющие фиксированную поверхность в фазовом пространстве, называются изолирующими интегралами. Значение этих постоянных кг таково, что траектория С системы лежит на гиперповерхности, являющейся пересечением энергетической поверхности и изолирующих интегралов [c.339]

Как непосредственное следствие этого, собственное значение Е является средним значением энергии системы в соответствующем стационарном состоянии поскольку Е не зависит от времени, то среднее значение оказывается константой движения (как для любой консервативной системы в классической механике). Кроме того, квадратичное отклонение энергии (от ее среднего значения), которому сопоставляется оператор (Н— Е)) , как легко видеть, имеет нулевое среднее значение, т. е. в стационарном состоянии энергия не отклоняется в среднем от своего среднего значения — энергия имеет совершенно определенное четкое значение. [c.336]

Важной задачей классической механики является нахождение полного набора констант движения для любой заданной консервативной системы. В квантовой механике такая система описывается соответствующим набором не зависящих от времени операторов, один из которых есть сам гамильтониан. Можно показать, что полный набор констант движения может быть найден только при условии, что операторы, связанные с соответствующими динамическими величинами (Н, А, В,... ),все коммутируют между собой. В этом и только в этом случае может быть найдено стационарное состояние, которое описывается функцией, являющейся собственной функцией одновременно всех этих коммутирующих операторов [c.337]

Наиболее полная характеристика квантового состояния любой системы задается при помощи максимального числа точных констант движения, и поэтому для ее определения нужно найти максимальный набор коммутирующих операторов. [c.337]

Если мы можём таким образом избавиться от всех переменных, путь в оставшейся фазовой плоскости должен образовывать однозначную кривую. Таким образом, существование констант движения может быть определено изучением пересечений траекторий с поверхностью сечения. Как только установлено существование констант движения, гладкие кривые могут [c.19]

В ситуациях, где не могут быть полностью решены уравнения движения, можно получить значительную информацию относительно движения частиц, если есть возможность найти интегралы движения. Ранее качественно показано, каких упрощений можно добиться при существовании таких интегралов. Выведем некоторые свой-ства констант движений для гамильтоновых систем. Записывая пол- [c.22]

Для этого порядка разложения уо можно рассматривать как константу движения, а т]о = —как соответствующую угловую переменную, что аналогично гамильтоновой системе с одной степенью свободы, записанной в переменных угол — действие. Однако у в действительности представляет систему с п степенями свободы, которая для более высоких степеней разложения меняется со временем. Чтобы исследовать эту зависимость, связанную с членами более высокого порядка разложения, произведем замену переменных [c.54]

Важность энергетических поверхностей в противоположность другим константам движения была отмечена Пуанкаре (1892) и Ферми (1923). Пуанкаре доказал, что единственной поверхностью, которую точка системы не покидает при своем движении, является энергетическая поверхность. Он показал, что если динамическая траектория системы не сходит с поверхности, то такая поверхность может быть только энергетической. Ферми обобщил эти результаты и доказал, что для систем, которые он назвал Kanonis he Normalsysteme, не существует никаких других однозначно определенных стационарных аналитических интегралов, кроме интеграла энергии. [c.89]

Самое обш ее решение уравнения (5.172) является произвольной Функцией 2М М — ЧИСЛО степеней свободы) констант движения С11стемы. Эта же функция будет решением уравнения (5.173) нри Условии, что константы явно от времени не зависят. Решения Уравнения (5.173) называются стационарными решениями, [c.319]

Например, предположим, что энергетическая поверхность является метрически неразложимой. Пусть начальное распределение ансамбля отлично от нуля в области А а Е, л Е — А) > 0. Тогда в любой последуюш ий интервал времени этот начальный ансамбль должен исказиться, иначе Е была бы разложимой. Начальное множество 2 (0) Л переходит в ъ 1) А Ф А, Те же рассуждения можно вновь применить к Л и т. д. Таким образом, мы видим, что предположение, согласно которому гамильтониан порождает метрически транзитивные преобразования, влечет за собой очень схожие эргодические условия. Разумеется, если это свойство преобразований Гамильтона будет доказано, то аналцз Биркгофа станет, несомненно, уместным. В этом направлении было выдвинуто предположение (Окстоби, Улем (1941)), согласно которому почти каждая группа непрерывных преобразований является метрически транзитивной. С другой стороны, Кац (1959) доказал, что фактически невозможно установить, порождает ли гамильтониан метрически транзитивные преобразования. В качестве последнего замечания укажем, что если любая из оставшихся 2М — 2 М — число степеней свободы) констант движения является изоли-руюш им интегралом, то Е разложима. [c.342]

Обобщенная модель. Первым шагом к построению обобщенной модели является исследование влияния ядерных деформаций на оболочечные состояния. С качественной стороны основные эффекты представляют собой, во-первых, снятие части вырождения, возникающего благодаря наличию (2/ 1) возможных ориентаций вектора полного момента количества движения в пространстве и, во-вторых, то, что момент нечетного нуклона перестает быть константой движения, хотя составляющая этого момента вдоль оси симметрии ядерного потенциала все же остается такой константой. Количественное изучение проблемы для аксиально симметричных деформаций было проведено Нильссоном [11], и полученные им состояния известны как состояния Нильссона. Нечетный нуклон помещается при этом в соответствующее оболочечное возмущенное состояние (состояние Нильссона) и его движение связывается с коллективными состояниями четночетного остатка. [c.291]

Пусть частицы движутся в потенциальном поле, которое не зависит от времени, причем внешние связи отсутствуют. Если обозначить q i — координаты положения частиц в прямоугольной системе коо1 динат, api — соответствующие импульсы частиц, то Я — полная энергия частиц (кинетическая плюс потенциальная), являющаяся интегралом движения, т. е. не зависящая явно от времени. В теоретической механике дается более подробное толкование величин q , р1 и Н. Краткое изложение теории дано в 1.2. В дальнейшем нам пригодится именно эта простая интерпретация уравнений. Будем ссылаться на (1.1) как на систему уравнений, описывающих движение частиц, или более кратко как на систему . 6п начальных координат и импульсов всех частиц однозначно определяют последующее движение. Движение системы частиц можно также описать движением одной точки, но уже в пространстве 6 измерений. Эта точка отображает конкретную конфигурацию п частиц в пространстве 6 измерений. Чтобы нагляднее представить себе это движение, рассмотрим более простую систему, в которой каждая пара уравнений вида (1.1) не зависит от всех остальных пар. Это эквивалентно предположению, что отсутствует взаимодействие между частицами и что движение вдоль каждого из трех измерений в пространстве не зависит от двух других. В силу этого движение каждой частицы вдоль пространственной оси обладает двумя константами движения — начальными полозкением и компонентой импульса вдоль этого направления, т. е. движение частицы можно представить уравнениями [c.8]

В этом общем случае Я не является константой движения, и траек тория частицы в фазовом пространстве, т. е. ее путь в р — -про странстве, не может быть точно определена независимо от времени С другой стороны, если Р яО неявные функции времени, получаем что гамильтониан не зависит от времени, а зависит только от на чальных координат р я qg [c.12]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология