Стохастические переменные

Глава 1. Стохастические переменные 11 [c.1]

Сложение стохастических переменных 23 [c.1]

ГЛАВА 1 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ [c.11]

Определить стохастическую переменную X — это значит задать- [c.11]

Такую функцию множества называют вероятностной мерой. Стохастическая переменная ставит в соответствие подмножествам А множество чисел f (А). В соответствии с нашей программой мы не будем использовать этот подход, а будем пользоваться более конкретным языком. [c.14]

Множество состояний и распределение вероятностей совместно полностью определяют стохастическую переменную, однако часто используют некоторые дополнительные понятия . Среднее (или ожидаемое) значение любой функции /(X), определенной на том же пространстве состояний, дается выражением [c.14]

Характеристическая функция стохастической переменной X, у которой областью возможных значений является множество действительных чисел или его подмножество, определяется выражением [c.15]

СЛОЖЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [c.23]

Примечание. Можно было бы выдвинуть следующее логическое возражение. В 1.1 стохастические переменные были определены как объекты, состоящие из множества возможных значений и распределения вероятностей. Алгебраические операции с такими объектами, следовательно, должны быть скорее определены, чем выведены. Значит, логичнее было бы сложение, обсуждаемое в этом параграфе, и преобразования, рассматриваемые в следующем разделе, рассматривать как определения, конечно, если будет показано, что свойства этих операций, очевидные для нас, действительно являются следствиями определений. [c.24]

Усреднение является особым видом операции, поскольку оно связывает стохастическую переменную с нестохастическим, или регулярным , числом. Оно может быть рассмотрено и как проецирование, осуществляемое следующим образом. Множество всех стохастических переменных содержит подмножество переменных, плотность вероятности которых есть дельта-пик. Это подмножество изоморфно регулярным числам из множества возможных значений и может быть отождествлено с ними. Тогда операция усреднения является проецированием полного пространства стохастических переменных на это подмножество. Этот факт будет использован в (14.4.6). [c.24]

Каждому шагу соответствует стохастическая переменная Ху (/=1,2,. . ., г), принимающая значения 1 и —1 с вероятностью 1/2 каждое. Положение после т шагов дается выражением [c.25]

Упражнение. Пусть имеется бесконечное множество Xj) независимых стохастических переменных с одинаковыми распределениями Р (л) и характеристической функцией G к). Пусть г есть случайное положительное целое число с распределением и производящей функцией ве-роятности /(г). Тогда К —Xi4-A 2+.. . есть случайная переменная. Покажите, что ее характеристическая функция есть f(G(k)). (Распределение V называют сложным распределением , см. [1, гл. XII].) [c.26]

Пусть Xi, Xj,. .., X — множество г независимых стохастических переменных, каждая из которых имеет одинаковую гауссову плотность вероятности (х) с нулевым средним значением и дисперсией о . Их сумма Y имеет следующую плотность вероятности [c.33]

Отсчеты счетчика Гейгера, попадание электронов на анод вакуумной лампы или появление покупателей у прилавка — это все события, которые могут быть отмечены точками на оси времени. В качестве других примеров можно привести собственные значения случайной эрмитовой матрицы, принадлежащие действительной оси и отмеченные точками на энергетической шкале значения энергии частиц в космических лучах. Случайный характер расположения этих точек приводит к изучению определенного класса стохастических переменных, называемых случайным множеством точек (или событий) [6, гл. 6] или точечными процессами . [c.38]

Если рассмотреть все возможные значения х вместе с их плотностью вероятности Рх х), то величины становятся стохастическими переменными Д . Например, их среднее [c.64]

Чтобы отличать их от случайных матриц, т. е. матриц, у которых элементы являются стохастическими переменными. [c.95]

Таким образом, для среднего значения стохастической переменной Л (t) находим [c.103]

Не представляет принципиальных трудностей обобщение описанной методики управления водным режимом на случай двух стохастических переменных состояния содержание продуктивной влаги У и водоподачи Q. В качестве переменной решения в этом случае может рассматриваться содержание в почве продуктивной влаги перед назначением полива. [c.250]

X — общая стохастическая переменная или стохастическая независимая переменная X (() — стохастическая переменная, которая является функцией времени индекс при 1 обозначает X (1) в определенный момент времени [c.338]

Хг — 1-я стохастическая переменная в момент времени 1 X/ — X в момент времени I X — выборочное среднее [c.338]

Ух (О — коэффициент вариации по ансамблю стохастической переменной X (t) Г — матрица ковариации между моделями oi — расстояние от среднего, xj—Hj О — разность [c.340]

Из этих формул видно, что исходная переменная состояния х преобразуется в стохастическую переменную, принимающую четыре возможных значения [c.445]

Стохастическая задача может иметь ряд вероятностных аспектов. Сначала из предсказания или прогноза получают оценку ожидаемого расхода, которую обозначают через Скорость вытекающего потока к тому же является стохастической переменной. Уравнение (3) (см. разд. 2 гл. 7) можно записать теперь [c.451]

Рассмотрим для задачи управления с запаздыванием разд. 12 гл. 6 соотношение между Xn-i, х , управляющей переменной и стохастической переменной Гп . [c.470]

Переменные х , Х2,...,х , которые в зависимости от случайных обстоятельств могут с определенной вероятностью принимать то или иное значение из некоторой их совокупности, будем называть случайными или стохастическими переменными. Далее мы будем говорить лишь о состояниях таких систем. [c.11]

Экспериментально определяемые величины, такие, как прочность, долговечность или концентрация свободных радикалов имеют широкий разброс значений. Это — стохастические переменные. В качестве предельного примера стохастической зависимости на рис. 3.1 дана гистограмма [3] долговечности 1 500 труб из ПЭВП, испытанных при одинаковых условиях. Показанная зависимость мол<ет быть описана нормальным логарифмическим распределением (рис. 3.2) со средним значением 1дг [ч], равным 2,3937, и вариацией 5 = 0,3043. Ожидаемое значение долговечности образца, подверженного испытанию, есть время, которое соответствует среднелогарифмическому значению, равному в данном случае 247,6 ч. Очевидно, что реально определяемые значения t имеют широкий разброс относительно данного ожидаемого значения. Несмотря на это, даже такое распределение можно получить путем испытания лишь нескольких случайно выбранных образцов. Для нормального распределения экспериментальных величин любые три случайных значения попадают в среднюю область 1,695, которая [c.59]

Упражнение. Докажите свойства (1.4.3) и покажите на примере, что условие некоррелированности переменных Л х, является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для н е з а в и с и м ы. х переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведен1гые выше правила используют как само собой разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <А К>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером Л хЛ функция [c.24]

Пример. Для прояснения полезно проследить явно, как распределение верояттсти стремится к своему пределу. Пусть X — стохастическая переменная, которая принимает значения О и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Пусть [c.34]

Если определена стохастическая переменная X, из нее можно вывести бесконечное количество других стохастических переменных, а именно все величины V, определенные с помощыо некоторого отображения / как функции переменной X. Эти величины Y могут быть математическими объектами любого вида, в частности они могут быть и функциями, зависящими от дополнительной переменной i [c.57]

Такую величину У ) называют случайной функцией или, поскольку в больп1ИНС1ве случаев в качестве t берут время, стохастическим процессом. Таким образом, стохастический процесс — это просто функция двух переменных, одна из которых— время, а другая — стохастическая переменная X, определенная в гл. 1. Если вместо X подставить одно из ее возможных значений л, то получится обычная функция от t [c.57]

Основная идея статистической механики состоит в том. что систему можно заменить соответствующим ансамблем таких систем, которые описываются теми же уравнениями движения, но имекп другие начальные микросостояния л". Структура ансамбля определяется функцией плотности р(х) таким образом, что р(л-)с1л представляет число выборочных систем, обладающих начальными микросостояниями, принадлежащими элементу объема (1.г, Подстановки ансамбля в случае отдельной системы превращает л в стохастическую переменную X. Множество выборочных значений Л состоит ип всех возможных микросостояний, а плотность вероятности с точностью до нормировки равна р [c.61]

Для того чтобы облегчить обсуждение, сузим понятие состояние , определив следующие три значения этого слова. Будем называть участком любое значение стохастической переменной X или п. Макросостоянием назовем любое значение макроскопической переменной ф. Зависящее от времени макросостояние является решением уравнения (9.3.1), а стационарное макрососюяние—решением (9.3.3). И наконец, мезосостоянием будем называть любое распределение вероятности Р. Зависящее от времени мезосостояние является решением основного кинетического уравнения, стационарное мезосостояние—это не зависящее от времени решение Р (Х). [c.276]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология