Случайные величины разброс значений

Мерой разброса случайной величины X относительно среднего значения служит дисперсия [c.23]

В качестве параметров распределения или характеристических величин большое значение имеет математическое ожидание .I и дисперсия 0 , характеризующая разброс возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения. В качестве меры рассеяния используют также среднеквадратичное отклонение, обозначаемое а, равное I/ 0 . [c.41]

Величина Хо — начальное значение параметра х — всегда случайна, определяется в основном производственными погрешностями и отклонениями от номинальных значений. Эти технологические погрешности приводят к тому, что случайная величина Хо оказывается распределенной по нормальному закону. Обозначим математическое ожидание случайной величины хо через X (номинальное значение) и разложим функцию (4.4.18) в ряд Тейлора в окрестности точки х". Поскольку разброс значений Хд около х (или дисперсия Хо) обычно бывает не велик, то в разложении можно ограничиться только членами первого порядка [c.216]

Чтобы сравнивать величину разброса со значениями случайной величины или ее математическим ожиданием, удобнее пользоваться мерой разброса, размерность которой совпадала бы с размерностью X. В этом случае используют среднее квадратичное отклонение [c.118]

Это свойство метода наименьших квадратов объясняется тем, что при его использовании для определения а случайные ошибки измерения отфильтровываются. Действительно, входящие в систему ( -20) коэффициенты Ъц, есть средние арифметические некоторых выражений из наблюденных случайных величин х], uf, а поэтому дисперсия этих оценок значительно меньше дисперсий х], щ. Даже при существенных разбросах Х/, и относительно своих истинных значений оценки Ы , я] , оказываются достаточно близкими к точным величинам Ъц, и если матрица В хорошо обусловлена, то и близки к истинным коэффициентам а,, математической модели. Здесь и далее под близостью двух векторов понимается малость нормы их разности. [c.281]

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины I, а дисперсия — разброс случайной величины относительно ее среднего значения /)г-. [c.123]

Разброс значений случайной величины относительно математического ожидания характеризуется дисперсией или средним квадратическим отклонением. Оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения определяются по формулам [c.41]

Рационально охарактеризовать закон распределения приближенно с помощью нескольких чисел, определяющих его особенности. Это можно сделать, указав, например, среднее значение случайной величины и меру разброса ее значений относительно J)eд-него. [c.117]

Гидродинамическое перемешивание. Разброс значений истинных локальных скоростей потока приводит к тому, что время пребывания в реакторе с зернистым слоем является случайной величиной. Если на вход аппарата подать импульс трассирующего вещества, то на выходе получим более или менее размытую кривую изменения концентрации во времени, совпадающую с дифференциальной функцией распределения времени пребывания в слое. Аналогично, струя трассирующего вещества, введенная в какую-либо точку зернистого слоя, постепенно размывается по всему его сечению. Оба эти явления определяются гидродинамическим перемешиванием потока, или переносом вещества в продольном и поперечном направлениях. [c.218]

Центральные моменты характеризуют разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Естественно, что первый центральный момент равен нулю. Второй центральный момент называется дисперсией. Третий момент характеризует асимметрию распределения. Целесообразно ввести характеристическую функцию р (s), определяемую как преобразование Лапласа от плотности вероятностей р (t). Как известно, преобразование Лапласа определяется соотношением [c.91]

Статистические характеристики случайных величин. Важнейшими характеристиками случайных величин являются дисперсия, средняя квадратичная ошибка (стандартное отклонение), коэффициент вариации, среднее значение. Дисперсия (а — для генеральной совокупности и — для выборки) — характеризует степень разброса полученных результатов относительно среднего значения резуль- [c.6]

Если р12 = 0, ТО диаграмма разброса для пар величин (х , хг), которые являются реализациями случайных величин Х, Х2), была бы похожа на приведенную на рис 3 8 Видно, что знание одного из членов пары никак не помогает в предсказании значения другого [c.98]

Таким образом, и в этом случае картина мало отличается от случайных блужданий под влиянием теплового движения, скорость и, определяемая выражениями (1.32) и (1-33), является лишь средней величиной, вокруг которой разбросаны значения скоростей индивидуальных молекул. [c.48]

Наиболее часто в приложениях математической статистики используют математическое ожидание (характеристику положения значений случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квадратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины. [c.14]

Как известно, механические характеристики материала имеют существенный разброс значений (превышающий возможные ошибки эксперимента) и относятся к разряду случайных величин. Поэтому результаты испытаний были подвергнуты статистической обработке, включающей определение моментов до четвертого порядка включительно и построение одномерных законов распределения для каждой из названных выше механических характеристик. При этом основные параметры распределения механических характеристик определяли как для каждой зоны, так и средние по толщине листа. При построении одномерных законов распределения использовали только средние по толщине параметры. [c.26]

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным, или средним квадратичным отклонением. Дисперсия тем больше, чем сильней разброс значений случайной величины У. [c.417]

В соответствии с законом распределения случайных величин скола двух третей всех экспериментальных результатов расположено в интервале т 5. Проверить, является ли разброс результатов случайным, можно, если число полученных экспериментальных данных п) достаточно велико. Для этого данные разбивают на отдельные группы, в каждой из которых располагаются близкие значения, например 1 0,1% 1,2+0,1% 1,4 0,1% . .. 5,0 0,1%, затем строят кривую распределения, откладывая на одной оси число экспериментальных данных [К), попавших в отдельную группу, на другой — среднее значение для каждой группы. Если разброс данных случаен, кривая распределения должна иметь форму кривой Гаусса (рис. 3.1) с максимумом при значении концентрации, равном т, причем в диапазоне 5 от этого значения должно находиться около 65% данных от общего числа определений. Если расширить эти пределы до ts (где >1), то из полного числа данных (п) в этих пределах окажется, например, до 90%. Следовательно, можно утверждать, что вероятность того, что результат отдельного определения попадает в пределы m ts, -равна 90%, или что девяносто из каждых ста результатов должны быть заключены в этих пределах. [c.46]

Значение X является случайной величиной и, следовательно, в серии параллельных измерений его абсолютная величина может различаться. С другой стороны, любое количественное определение концентрации С приобретает физический смысл только при условии нахождения её погрешности АС с наперёд заданной надёжностью или достоверностью. Следовательно, экспериментальный разброс в величине X должен быть количественно охарактеризован. [c.87]

Итак, разброс значений физических характеристик—явление принципиальное, зависящее от состояния системы . Согласно закону 3, всякое повторное измерение дает одно из собственных значений уравнения (III.6), однако какое это будет значение, заранее предсказать нельзя. По-видимому, можно считать, что в случае неопределенности значения L конкретная величина Ьп при измерении получается чисто случайно, т. е. что нет никаких неизвестных причин ( скрытых параметров ), благодаря которым имеет место именно L , а не какая-либо другая величина L . В квантовой механике законы 2 и 3 утверждают невозможность устранения разброса значений (за исключением случая, когда является собственной функцией оператора, соответствующего измеряемой величине), а следовательно, принципиальную невозможность предсказания результата отдельного измерения в рамках этого разброса. [c.56]

Воспроизводимость результатов анализа зависит от случайных ошибок анализа. Чем больше случайная ошибка, тем больше разброс значений при повторении анализа. Случайная ошибка может иметь размерность измеряемых величин (мг, мг/л) или же может быть выражена в процентах. Следовательно, воспроизводимость определяет вероятность того, что результаты последующих измерений окажутся в некотором заданном интервале, в центре которого находится среднее значение всех определений, выполненных данным методом. [c.298]

В соответствии с законом распределения случайных величин около двух третей всех экспериментальных результатов расположено в интервале х + 8. Чтобы проверить, является ли разброс результатов измерений случайным, необходимо полученные данные разбить на отдельные группы, в каждой из которых располагаются близкие значения. Например, 1 0,1%, 2+0,1%, 3 0,1%, 4 0,1%, 5 0,1% и т. д. [c.301]

Числовые характеристики. Закон распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине поскольку она случайна, ничего большего, чем распределение вероятностей, о ней заранее сказать нельзя. Но для многих задач это —слишком сложная информация. Зачастую исследователю достаточно знать о случайной величине, какова она в среднем и насколько сильно ее значения разбросаны относительно этого среднего. Такие сведения содержатся в числовых характеристиках случайной величины. [c.52]

Вторая числовая характеристика — дисперсия — определяет средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания (точнее, среднее значение квадрата разброса). Дисперсия О (11) вычисляется по следующим формулам [c.52]

В теории вероятностей доказывается, что среднее значение квадрата случайной величины всегда больше квадрата ее среднего значения. Вследствие этого реальная флуктуация при наличии амплитудного разброса выходных импульсов детектора всегда будет несколько больше, чем определяемая по формуле (4-10). [c.122]

Полный отказ, вызванный поломкой деталей, их деформацией, заклиниванием, является результатом возникновения в детали напряжений, превышающих предельно допустимые для данного материала при данном его состоянии, или возникновения сил сопротивления, превышающих силы, создаваемые приводом арматуры. Величина предельно допустимого напряжения или предельной нагрузки может колебаться для одного и того же материала в зависимости от отклонений в технологии его производства и условий эксплуатации. Поэтому она является величиной случайной, разброс значений которой, около какого-то среднего значения обычно подчиняется тому или иному закону распределения случайных величин. При высококачественном изготовлении детали отказы будут иметь место при значениях, близко расположенных к предельно допустимому значению, соответствующему наибольшей плотности распределения отказов. При низком качестве разброс будет велик. В связи с тем, что свойства материала арматуры под действием давления, температуры, напряжений и других причин непрерывно изменяются, предельно допустимые (критиче- [c.95]

Константы а ж Ъ являются случайными величинами, при помощи которых оцениваются теоретические параметры аир. Можно найти доверительный интервал для а и Ь, так как это сделано для отдельного значения измерения [уравнение (3.7)]. Для этого прежде всего определяют дисперсию, характеризующую разброс измеренных значений (у,) относительно вычисленных (У ) [c.179]

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется формулой [c.10]

Например, при расчете выборочной дисперсии, характеризующей разброс измеренных значений случайной величины относительно их среднего арифметического, имеется одна связь, определяемая уравнением, по которому вычисляют среднее [c.12]

Стандартное отклонение. Знание среднего значения еще не дает полной характеристики данного набора случайных величин. Важно, кроме того, знать степень разброса отдельных измерений вокруг среднего значения, т. е. степень близости результатов отдельных измерений. Количественной характеристикой точности измерений могла бы служить величина [c.171]

Введем обозначение й 1 /Ш = у. Пусть (/ — наблюдаемая случайная величина с ошибкой наблюдения е и дисперсией о (е), причем Ме=0 М — математическое ожидание). Показано [110], что в случае разностной аппроксимации, подобной (3.234), величина дисперсии становится равной 2оМе)/А/ С одной стороны, для того чтобы улучшить аппроксимацию, требуется выбрать А достаточно малым, с другой стороны, чтобы уменьшить разброс наблюдений относительно истинного значения нужно увеличить значение А . Выберем А таким образом, чтобы величина а е)1АР была не очень велика, т. е. ухудшим аппроксимацию уравнения (3.223). Вообще говоря, такой риск оправдан, так как мы ищем лишь начальную оценку параметров к, гп,, т . Прологарифмируем уравнения (1235), (3.236), получим [c.307]

Экспериментально определяемые величины, такие, как прочность, долговечность или концентрация свободных радикалов имеют широкий разброс значений. Это — стохастические переменные. В качестве предельного примера стохастической зависимости на рис. 3.1 дана гистограмма [3] долговечности 1 500 труб из ПЭВП, испытанных при одинаковых условиях. Показанная зависимость мол<ет быть описана нормальным логарифмическим распределением (рис. 3.2) со средним значением 1дг [ч], равным 2,3937, и вариацией 5 = 0,3043. Ожидаемое значение долговечности образца, подверженного испытанию, есть время, которое соответствует среднелогарифмическому значению, равному в данном случае 247,6 ч. Очевидно, что реально определяемые значения t имеют широкий разброс относительно данного ожидаемого значения. Несмотря на это, даже такое распределение можно получить путем испытания лишь нескольких случайно выбранных образцов. Для нормального распределения экспериментальных величин любые три случайных значения попадают в среднюю область 1,695, которая [c.59]

Полу 1ено изображение капли нефтепродукта на волокнах сорбента с измеренными краевыми углами (рис. 4.10), результаты измерения краевых углов приведены в табл. 4.6. Ввиду наличия значительного разброса в величинах краевых углов для одного и того же нефтепродукта для вычисления работы адгезии использовали значение равновесного краевого угла, вычисленного как математическое ожидание случайной величины краевого угла 0. Формула для расчета математического ожидания - первого статистического момента распределения плотностей вероятностей — взята из [87] [c.143]

Чем больше разброс случайной величины X относительно среднего значения, чем размазаннее закон распределения р Х), тем больше абсолютные величины значений, которые может принимать X. Мерой разброса может служить среднее значение квадрата слу- [c.118]

Экспериментальные значения выходной координаты представляют собой дначения независимых случайных величин, имеющих нормальное распределение. (Разброс значений у при фиксированном значении X обусловливается не столько ошибками измерения выходной координаты, сколько влиянием неучтенных входных координат). [c.18]

Значения х, как и значения у, подвержены случайным колебаниям. В рамках этих случайных ошибок для исследуемой пробы возможны любые комбинации значений х и у. Если надо представить результаты одного опыта при помощи ступенчатой диаграммы, то придется прибегнуть к трудному для построения трехмерному изображению. Оси переменных х и у лежат в этом случае в основании фигуры. А частоты откладываются на вертикальной оси. Из-за сложности такого представления отдельные точки наносят на (двумерную) плоскость х-у и судят о распределении по плотности точек. Максимум поверхности в пространстве находится там, где в двумерном изображении обнаруживается наибольшая плотность точек. Вообще, все значения лежат внутри некоторого эллипса или круга. Такие распределения, в которых рассматриваются частоты двух взаимосвязанных случайных величин, называют двумерными распределениями. Двумерные распределения также характеризуются средним и рассеянием. Эти показатели вычисляются отдельно для каждой из случайных величин х и /.Точка М х,у) лежит в месте теоретически о кидаемого максимума частоты. Общий разброс 5 получается как сумма квадратов (по теореме Пифагора) двух единичных разбросов (значит, суммируются дисперсии). Подробности можно найти у Смирнова и Дунина-Барковского [9]. [c.41]

Информацию об истинном значении измеряемой величины (а) несут результаты измерений, полученные отдельными независимыми наблюдениями. Наиболее вероятной оценкой определяемого параметра а является среднее арифметическое значение результатов измерений. Но х, выраженное одним числом, представляет точечную оценку измеряемой величины, тогда как при решении практических задач X вычисляют на основании опытных данных — случайных величин, следовательно, среднее арифметическое значение также является случайной величиной. Отдельные наблюдения эксперимента разбросаны относительно среднего арифметического значения, но это не значит, что х ближе к истинному значению, чем результаты каждого отдельного наблюдения. Выделить эти результаты из общего числа наблюдений невозможно, поэтому более правильной оценкой истинного значения определяемой величины является доверительный интервал. [c.237]

По первому из названных выше методов анализа результаты холостого опыта должны иметь близкие значения при переходе от пробы к пробе. Разброс значений холостого опыта должен соответствовать случайно ошибке метода анализа вблизи границы обнаружения. При выполнении этих услови11 можно особенно точно определить значение холостого опыта первым из описанных выше методов, так как тогда может быть использовано очень большое число анализов. (Для практических целей проводят >25 анализов.) Второй способ применим всегда, так как каждое значение анализа сочетается со своим значением холостого опыта. Недостатком в этом случае является то, что значение холостого опыта получают из сравнительно малого числа определений, что часто оказывается ненадежным. Поэтому эти методы используют только тогда, 1ч0гда значения холостого опыта столь сильно разбросаны при переходе от пробы к пробе, что нельзя дать общего значения холостого опыта, так как это делается при первом способе. Как способ 1, так и способ 2 дают границу обнаружения в размерности измеряемой величины (например, экстинкции) . [c.77]

Поскольку результаты отдельных измерений являются случайными, среднее арифметическое значение тоже будет случайным. Действительно, разобьем результаты измерений (см. рис. 1.1) на отдельные группы (выборки) от а до а от 05 до аг от ад до 012 и т. д. и вычислим для каждой группы среднее арифметическое (01-4, аз-8, 9-12). Из рис. 1.1 видно, что групповые значения средних арифметических будут, так же как и результаты отдельных измерений, располагаться на числовой оси вокруг истинного значения данной величины, хотя их разброс и будет несколько меньше. Поэтому, как и в случае отдельных измерений, можно рассматривать доверительный интервал и доверительную вероятность для средних арифметических. Из сказанного вытекают два вывода [c.17]