Кривая распределения случайных значени

Рис. П-8. кривые нормального распределения случайных ошибок для различных значений меры точности Л (/ 1 > / 2 > hз).

Случайную переменную можно характеризовать также с помощью функции распределения вероятностей. При графическом ее изображении на ось абсцисс по-прежнему наносятся полученные путем измерения значения х, а ординатами служат суммы вероятностей всех предыдущих значений х до данного Х[. Функция распределения вероятностей обозначается через (х). Ее график называют интегральной кривой распределения вероятностей. [c.250]

При отсутствии систематических ошибок, когда число измерений (п) очень велико (стремится к бесконечности), наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по оси абсцисс откладывают значения определяемой величины (д ), а по оси ординат — соответствующие вероятности получения их при анализе. Из приведенной на рис. 12 кривой видно а) наиболее [c.53]

График функции <р(х) называется теоретической кривой плотности распределения случайной величины. Вместо законов распределения Р( 1) и ф(- ) количественной характеристикой может служить интегральная функция распределения F x)—вероятность того, что случайная величина X имеет значение, меньшее х, т. е. [c.15]

Причинами больших (грубых) погрешностей могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерений или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре. Несмотря на то, что появление очень больших случайных погрешностей теоретически маловероятно, например, четыре на 1 млн. измерений, они все же возможны. Не исключена возможность, что уже одно из первых измерений будет содержать такую погрешность. Теоретически кривая распределения по мере увеличения значения 5 только асимптотически приближается к оси абсцисс. Практически же очень большие погрешности из ряда результатов исключаются как нехарактерные. Учет их при ограниченном числе наблюдений мог бы исказить результат в значительно большей степени, чем это соответствует действительности, и чем это было бы при неограниченно большом числе наблюдений. [c.84]

Таким образом, теоретические функции для эмпирического распределения подбирают в следующем порядке по опытным данным строят эмпирическую кривую, определяют параметры эмпирического распределения выдвигают гипотезу о функции плотности распределения случайной величины, исходя из внешнего вида экспериментальной кривой и влияющих на ее вид значений технологических факторов. Эмпирическую кривую выравнивают по теоретической, сравнивают по одному из критериев согласия эмпирической и теоретической (выравненной) кривой принимают функцию, дающую наилучшее согласие и по ней определяют искомые параметры. [c.119]

Ошибки (погрешности) классифицируют на систематические и случайные. Их наложение, обычно наблюдаемое на практике, дает суммарную ошибку определения. Взаимосвязь ошибок подтверждена надежными статистическими данными как правило, большое число малых систематических ошибок приводит к увеличению случайной ошибки. Систематической ошибкой называют направленное отклонение полученных значений от теоретического. Таким образом, систематическая ошибка всегда имеет знак и на результаты измерений она оказывает одинаковое влияние получаемые результаты или постоянно занижены, или постоянно завышены. Систематическая ошибка характеризует правильность результата. Случайные ошибки определяют его точность и воспроизводимость. На гауссовой кривой нормального распределения случайные ошибки располагаются около наиболее часто встречающегося (наиболее вероятного) значения, которое обычно является средним арифметическим. [c.434]

V. Конкретный вид кривых нормального распределения случайной величины X однозначно определяется параметрами ц и о. Для заданного а и трех разных значений ц (рис. XIV. 6, а) кривые имеют идентичный вид и отличаются лишь положением абсциссы максимума кривой. При заданном л значение пара- [c.826]

Однако в приведенных примерах общность не исчерпывается статистическим подходом и вытекающим из него методом исследования конкретных задач. Существенно, что сам закон распределения случайных величин оказывается общим. Если число параллельных анализов и число молекул газа в каждой из соответствующих совокупностей достаточно велико, то распределение результатов анализа по отдельным значениям и молекул газа по скоростям можно описать одной и той же плавной кривой плотности вероятности ф(х), приведенной на рис. 27. Кривая характеризуется симметрией относительно вертикальной линии, проходящей через абсциссу X = М(х) = ц [здесь и в дальнейшем символ будет для краткости употребляться вместо М(д )]. В аналитической форме функция плотности вероятности имеет вид [c.78]

Функции распределения исчерпывающим образом характеризуют случайные погрешности с вероятностной точки зрения. Вид кривых распределения погрешностей при заданном законе распределения зависит от числовых значений параметров, входящих в математические выражения функций распределения. [c.34]

При первых же исследованиях форсунок было замечено, что факел распыленного топлива состоит из капель различного размера. Обычно причину неоднородности состава факела объясняют действием ряда случайных явлений, а для математического описания распределений размеров используют законы теории вероятностей и уравнения статистических кривых. Согласно определениям теории вероятности, факел распыленной жидкости представляет собой статистическую совокупность (коллектив), где диаметр является аргументом, а его отдельные значения образуют ряд совокупности. Хотя каждой совокупности соответствует своя кривая распределения, число таких кривых ограничено. [c.103]

Важнейшее свойство этой кривой состоит в следуюш,ем вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежаш,ее промежутку ( 1 х ), равна плош,ади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках х = х ж х — х (рис. ХХ1-2). [c.623]

Для уточнения положения левой ветви кривой усталости в той или иной области при необходимости дополнительно испытывались несколько элементов. По среднему значению предела выносливости и его среднему квадратическому отклонению генерируется выборка из ста значений, для которых затем строится эмпирическая функция распределения в предположении нормального закона распределения. Гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины а 1 проверяется по критерию согласия [c.454]

В соответствии с законом распределения случайных величин скола двух третей всех экспериментальных результатов расположено в интервале т 5. Проверить, является ли разброс результатов случайным, можно, если число полученных экспериментальных данных п) достаточно велико. Для этого данные разбивают на отдельные группы, в каждой из которых располагаются близкие значения, например 1 0,1% 1,2+0,1% 1,4 0,1% . .. 5,0 0,1%, затем строят кривую распределения, откладывая на одной оси число экспериментальных данных [К), попавших в отдельную группу, на другой — среднее значение для каждой группы. Если разброс данных случаен, кривая распределения должна иметь форму кривой Гаусса (рис. 3.1) с максимумом при значении концентрации, равном т, причем в диапазоне 5 от этого значения должно находиться около 65% данных от общего числа определений. Если расширить эти пределы до ts (где >1), то из полного числа данных (п) в этих пределах окажется, например, до 90%. Следовательно, можно утверждать, что вероятность того, что результат отдельного определения попадает в пределы m ts, -равна 90%, или что девяносто из каждых ста результатов должны быть заключены в этих пределах. [c.46]

На рис. 3,11 представлены регуляризованные решения при двух уровнях погрешности задания кольцевых и меридиональных напряжений. Кривые 1 VI 2 отвечают значениям относительных случайных ошибок с нормальным законом распределения, не превышающим соответственно 5 и 10% от величины напряжений в узловых точках S . Рисунок иллюстрирует устойчивость регуляризованных приближений к возмущению исходных данных (кривая 3 — точное значение искомой температуры). [c.86]

Состав взвешенных частиц характеризуют концентрацией и дисперсностью. Концентрацию дисперсной фазы чаще всего представляют как массу частиц в единице объема дисперсионной фазы. Дисперсностью называют совокупность размеров всех частиц гетерогенной системы, которую для удобства описания разбивают на интервалы. Частицы с размерами, составляющими какой-либо интервал, относят к соответствующей фракции. Совокупность всех фракций аэрозоля называют фракционным составом его дисперсной фазы, которую можно представлять графически. Откладывая по оси абсцисс значения интервалов, составляющих фракции, а по оси ординат - доли или процентные содержания частиц соответствующих фракций, получают гистограммы - ступенчатые графики фракционного состава. С уменьшением интервалов фракций гистограммы приближаются к плавным кривым. Иногда такие кривые бывают близки по форме к кривой нормального распределения случайных величин, которая описывается двумя параметрами -средним диаметром частиц D и стандартным отклонением а от него [c.24]

Если рассматривать диаметр частицы как одномерную случайную величину, то дисперсность частиц можно описывать функцией распределения iV частиц по размерам. Функция N (ё) равна выраженному в процентах отношению числа всех частиц, диаметр которых меньше к общему числу частиц. Графически функция N (< ) изображается в виде кривой распределения. Для этого по оси абсцисс откладывают значения диаметра частиц, а по оси ординал — содержание (%) всех частиц, диаметр которых меньше d. [c.15]

Математически можно показать, что при очень большом числе определений (я->оо), когда распределение случайных ошибок строго следует Гауссовой кривей, 68% отдельных определений отличаются от действительного значения на величину, меньшую стандартного откловения, т. е. X/ = X 5 . В интервал X 25 попадает 95% определений, а в интервал X 2,5SJ— 99% из них. На практике, однако, вероятность того, что определение находится в интервале X 23 меньше 95% по двум причинам. С одной стороны, аналитик проводит конечное, а то и очень ограни1 енное число определений, а, с другой стороны. Гауссово распределение справедливо только при отсутствии систематических ошибок, которых при анализе нельзя избежать полностью. Поэтому нельзя быть уверенным в том, что среднее арифметическое измерений истинно приближается к действительному значению. Тем не менее, благодаря статистической обработке можно определить, какова вероятность того, что действительное значение лежит в определенном интервале, т. е. найти доверительный интервал, в котором находится искомая величина с определенной статистической вероятностью. Доверительный интервал ,1 можно определить по зависимости [c.455]

Большое практическое применение в м,атематической статистике получил закон нормального распределения с параметрами х = 0 и ст=1. Кривая нормального распределения с принятыми параметрами изображена на рис. 15.2. Центр рассеивания случайной величины соответствует началу координат, кривая расположена симметрично относительно оси у, максимум кривой имеет постоянное значение, равное- На оси абсцисс нанесены только целые значения [c.235]

Полимерные модели со случайным распределением звеньев были получены гидролизом синдиотактического полиметилметакрилата (93% синдио-диад) в концентрированной серной кислоте [23]. Данные по кинетике гидролиза четырех полимерных моделей разного состава хорошо описываются кинетическими кривыми, рассчитанными для значений констант Но=1,Ы0 , 1=2,8-10 " и 2=3,7-10- мин-1, -р. е. 0 1 2 = 1 2,5 3,4. [c.200]

Статистические отклонения при радиоактивном распаде подчиняются определенным закономерностям. Во-первых, вероятность появления малых отклонений больше вероятности больших отклонений от среднего, иначе говоря, вероятность Р х) появления статистических отклонений есть убывающая функция их величины. Во-вторых, если число распадающихся ядер достаточно велико, то вероятность появления случайных отклонений не зависит от их знака, т. е. отклонения, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто. Значение истинной скорости распада может быть получено лишь как среднее при достаточно большой продолжительности наблюдений (если, конечно, можно пренебречь уменьшением количества радиоактивного изотопа за выбранное время). Различия в скоростях распада за равные промежутки времени при постоянной средней скорости распада называются радиоактивными флуктуациями. Кривая распределения радиоактивных флуктуаций изображена на рис. 28. [c.57]

Зная V n (III.79) и соответствующие значения г (III.80), строят интегральную кривую распределения (III.75), типичный вид которой представлен на рис. 111.13а. Чтобы избежать случайных погрешностей, интегральную кривую выравнивают (т. е. усредняют) и после этого с помощью графического диф- [c.166]

Графически функции распределения изображаются в виде кривых распределения. Для такого изображения по оси абсцисс откладываются в выбранном масштабе (равномерном или неравномерном) значения одномерной случайной величины, в нашем случае — значения диаметра б частиц или какой-либо его функции, а по оси ординат — процентное содержание всех частиц, диаметр которых меньше или больше б, т. е. значения функций 0(6) и (б). [c.21]

Воспроизводимость методики анализа связана с величиной стандартного отклонения, т. е. зависит от случайных ошибок. Чем выше воспроизводимость анализа (меньше стандартное отклонение), тем уже интервал распределения ошибок, тем реже встречаются большие ошибки. Например, на рис. 8 приведены три кривые распределения ошибок для трех различных значений стандартного отклонения 5. Кривая 1 отвечает самому малому стандартному отклонению, а следовательно, методике анализа с самой высокой воспроизводимостью. Кривая 3 — методике с самой низкой воспроизводимостью. Принято воспроизводимость характеризовать величиной, обратной относительному стандартному отклонению Зг, где г — относительное стандартное отклонение, равное отношению стандартного отклонения к измеряемой концентрации. [c.19]

ЭТИ данные теперь уже на миллиметровую бумагу полученную таким образом интегральную кривую распределения можно дифференцировать. Следует отметить, что значение Ь, дающее наиболее прямую линию на вероятностной бумаге, не является случайным, а имеет некоторый смысл, так как для ряда систем функция распределения, полученная при помощи рассмотрения кинетики процесса, имеет такой же вид, как и уравнение (18). Сравнение величины показателя степени при х, полученной графически при помощи вероятностной бумаги, и рассчитанной на основе результатов кинетических исследований, было использовано для проверки правильности последних данных. Однако Бойер указывает и на серьезные недостатки этого способа. [c.96]

Вообще следует отметить, что согласно закону нормального распределения случайных ошибок Гаусса, выражающимся кривой (рис. 105), малые отклонения от среднего значения результата более вероятны, чем большие. На кривой нормального распределения случайных ошибок по оси абсцисс отложены значения вправо х- -(Р, а влево х — сР, а по оси ординат доверительная вероятность каждого из значений результата. Этот график наглядно показывает, что нахождение истинного результата а внутри участка оси, отмеченного стрелкой - - более вероятно, чем вне его. [c.305]

Краткое отступление. На языке статистики результаты для каждого ступенчатого распределения (рис. 105) представляют собой выборку из генеральной совокупности, которая распределена в соответствии с непрерывной кривой распределения. Такая выборка содержит ограниченное число х, взятых из генеральной совокупности, имеющей все возможные х. Все распределения случайной величины полностью характеризуются средним ее значением и дисперсией. Положительное значе- [c.282]

Для обычных тщательных аналитических методов среднее значение х предполагается идентичным с истинным значением, а наблюдаемые ошибки приписываются неопределенно большому числу источников малых ошибок, действующих случайно. Среднее квадратичное отклонение 5 зависит от этих источников малых ошибок и может принимать любое значение. Среднее значение измеряемой величины и среднее квадратичное отклонение, вообще говоря, независимы, и, таким образом, может существовать бесконечно большое число кривых распределения. Как мы уже видели, в рентгеновской эмиссионной спектроскопии испускание квантов регистрируемого излучения рассматривается как беспорядочный процесс, и этим она резко отличается от обычных методов анализа. При идеальных условиях изме- [c.289]

Зная V (III. 69) н соответствующие значения т (III. 70), строят интегральную кривую распределения (III. 65), типичный вид которой представлен на рис. III. 12а. Чтобы избежать случайных огни-бок. интегральную кривую выравнивают , усредняют и после этого с помощью графического дифференцирования строят дифференциальную кривую распределения (рнс. III. 126). По дифференциальной кривой легко определить отиосигелыгую долю пор любых размеров в данном пористом теле (т. е. объем конкретной фракции пор). Например, площадь, заключенная между осью абсцисс, дифференциальной кривой и ординатами п и Г2 определяет объ- [c.138]

Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно оси У, то есть относительно вертикали, проходящей через точку, соответствующую 5 = 0. Это означает, что погрешности, имеющие равные абсолютные значения, но разные знаки, имеют одинаковую плотность распределения. Площадь, заключенная между кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице. Вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал, например, (61, 62), равна площади, 01 раниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах интервала. [c.79]

Знание кинетики макромолекулярных реакций и характера распределения звеньев в полимере имеет большое практическое значение. С одной стороны, определив константы скорости реакции и рассчитав по ним распределение звеньев, можно предсказать некоторые химические и физико-механические свойства полимерных продуктов реакции. С другой стороны, изменяя условия реакции, а вместе с ними и значения соответствующих кинетических констант, можно получать полимерные продукты, обладающие заданными свойствами. Однако в случае макромолекулярных реакций, характеризующихся не одной, а тремя константами скорости, определение этих констант по опытным данным существенно осложняется. Один из возможных подходов к решению задачи— экспериментальное определение значений N0, М и N2. Зная суммарную скорость реакции и значения N0, Л ь N2, т. е. мольные доли триад ААА, ААВ и ВАВ не менее, чем в трех точках кинетической кривой, можно рассчитать эти константы по уравнению (II. 1). Этот путь, однако, не всегда возможен, поскольку определение концентраций триад, например, методом ЯМР-спектроскопии пока практически возможно лишь для весьма ограниченного числа полимеров. Концентрации триад можно рассчитать в том случае, если удается подобрать такие условия реакции, при которых она протекает без эффекта соседа. Тогда при любой конверсии продукты представляют собой сополимеры со случайным распределением звеньев, для которых легко можно рассчитать значения N0, N1 и N2. Если три таких сополимера с разным относительным содержанием прореагировавщих и непрореагировавших звеньев взаимодействуют в условиях, в которых проявляется эффект соседа, то можно [в соответствии с уравнением (11.1)] по наклону начального участка кинетических кривых и известным значениям N0, N1, N2 определить константы ко, к и 2 (метод полимерных моделей). [c.55]

Гистограммы представляют собой графическое изображение функций распределения случайной величины, принимающей после экспериментального определения ряд дискретных значений. По оси абсцисс при построении гистограмм откладывают замеренные значения dji для отдельных фракний, а по оси ординат — либо содержание соответствующих фракции Р (d), либо суммарное (накопленное) содержание фракций Г (d) не более В перном случае получают так называемую дифференциальную кривую распределения частиц, во втором — интегральную (или кумулятивную) кривую (рис. 5.2). В иределах одной фракции или класса 4, принимают постоянным. Интервал значений d для отдельных фракций можно принимать одинаковым или разным. Второй случай онределяется необходимостью более точного отображения вклада фракций с наименьшими значениямп d . Обычно по мере возрастания размеров частиц диапа- [c.148]

НИЯ. Такое определение величины 5 основано на анализе кривой распределения ошибок, показанной выше, и, следовательно, на более реалистическом подходе к установлению меры точыссти результатов измерений. Можно показать, что при случайном распределении ошибок (или, правильнее сказать, отклонений) одно стзидартиое отклонение s указывает границы выше и ниже среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26% вероятности обнаружить результат любого измерения. Стандартное отклопепне вычисляется по формулам [c.515]

В большинстве стандартных методов расчета циклонов принимается в основу среднее (медианное) значение кривой разделения, соответствующее такой скорости осаждения, при которой отделяется 50% частиц. Для определения медианного диаметра частиц пыли необходимо знать фракционный состав пыли. Зная фракционный состав пыли (по массе частиц), можно построить кривую распределения частиц пыли на логарифмически вероятностной сетке. По оси абсцисс откладываются значения диаметра частиц й (или его функции) как одномерной случайной величины, а по оси ординат— процентное содержание всех частиц, диаметр которых меньше или больше й. Методы определения функций распределения м.ассы дисперсного материала по диаметрам частиц приведены в литературе, в частности, в монографии Коузова [24]. [c.153]

Рис. 105. Кривая нормальвого распределеняя случайных ошябок (Гаусса) (др — среднее арвфмети-чесное ряда вариант d — отклонение область более вероятного обитания истинного значения определяемой величины обозначена ч— ).

Как видно из рис. 17, кривые распределения по 1 т имеют симметричную форму относительно среднего значения, близкую к гауссовой. Это указывает на случайный характер распределения логарифма долговечности вокруг наивероятнейшего значения. Причиной этого следует считать, очевидно, случайную вариацию условий разрущения в различных образцах за счет изменения от образца к образцу а и Г, а также различия однородности и дефектности строения твердых тел. [c.53]

Выше уже рассматривался вопрос о том, что отношение средних молекулярных масс часто иапользуется для арактеристики ММР. Теперь следует дать более строгую формулировку ширину дифференциальной кривой распределения можно охарактеризовать набором моментов. Помимо этого существуют и другие методы характеристики кривых. Например, можно охарактеризовать ширину кривой так называемой дисперсией, т. е. квадратичным отклонением случайной величины от ее среднего значения. Для кривой ММР дисперсия равна [c.135]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология