Циклические граничные условия. Циклические системы

В теории твердого тела циклические граничные условия понимают прежде всего как математический прием, который оказывается удобным, если мы не изучаем поверхностные эффекты как таковые. При этом наглядность самой циклической модели несущественна, просто циклические условия оказываются удобнее других граничных условий, так как позволяют, по крайней мере в принципе, осуществить предельный переход от конечной циклической системы с симметрией Ф< > к бесконечному кристаллу с симметрией пространственной группы Ф. [c.45]

Модель конечной молекулы, которая представляет основной интерес, в простейшем приближении сводится к исследованию спектральных характеристик конечных МГ, состоящих из N элементарных подграфов описанного выше типа. Эти графы схематично представлены на рис. II.5, а. Однако, как отмечалось ранее, ввиду вычислительных сложностей обычно переходят к бесконечной модели макромолекулы и исследуют спектральные характеристики периодических графов. В свою очередь эта задача может быть сведена к изучению спектров конечных макроциклических систем, что эквивалентно введению циклических граничных условий. В этом случае вводят фиктивные связи между некоторыми вершинами крайних фрагментов и переходят к макроциклической системе, представленной на рис. II.5, 6. Конечная модель сопряженной углеводородной макромолекулы в приближении Хюккеля и циклическая модель приводят к одинаковым средним значениям различных спектральных характеристик при стремлении числа элементарных фрагментов N к бесконечности. В частности, средние значения полных [c.60]

Решение этой системы при циклических граничных условиях имеет вид [c.29]

Рис. 1.9. Циклические граничные условия в одномерном одноатомном кристалле — число атомов в циклической системе, R — радиус циклической системы) а — = 3, R= а, б — N = э, в — N = 4, - а. Пунктиром

Если одномерный кристалл не является одноатомным, а также для двумерного и в особенности трехмерного случая введение циклических граничных условий невозможно описать наглядно, как в рассмотренном простом примере одноатомной цепочки. Однако общий характер подхода сохраняется циклические системы строятся из целого числа примитивных (мини- [c.47]

Последние две задачи целесообразно решать одновременно, что позволит существенно увеличить эффективность расчетов. Использование численных методов в задачах циклической оптимизации имеет ряд особенностей по сравнению с классическими задачами оптимизации, обусловленных периодическими граничными условиями, когда не известны ни начальное, ни конечное состояния системы, ни оптимальная продолжительность периода. Вторая особенность возникает при рассмотрении различных интегральных ограничений на средние показатели процесса. [c.292]

Предположим, что сначала циклическая система образована тремя атомами цепочки (рис. 1.9,а). В одномерном случае наложение циклических граничных условий можно представить наглядно как замыкание цепочки на краях, т. е. расположение трех атомов по окружности радиуса За/2л. Если в незамкнутой цепочке. максимальное расстояние между атомами равно 2а (атомы 1—3, рис. 1.9,а), то при замыкании оно ока- [c.46]

Для циклических систем нз 8, 18 и 32 атомов Яц равен соответственно Я, 2Я н 3/ , т. е. при построении матричных элементов гамильтониана вокруг каждого атома должны учитываться одна, три и пять сфер соседей (в гексагональной решетке в сферу радиуса 2Я попадают атомы не двух, а трех координационных сфер (см. рнс. 1.10)). Величина Яц, конечно, не зависит от того, как построена циклическая система — расширением примитивной или симметричной ячейки, но при ее определении удобнее расширенная симметричная ячейка. Как и в одномерном случае, учет циклических граничных условий при построении матрицы гамильтониана приводит к замене матричных элементов или приравниванию некоторых нз них нулю. [c.48]

Наконец, дополнительные усложнения возникают в системах с фазовыми переходами (например, жидкая вода — пар) возникают нестабильности, циклические вариации давления и скорости в трещинах даже при неизменных граничных условиях объясняется это тем, что несмачивающая фаза (пар) не может поддерживать давление, достаточное для ее непрерывного потока, и жидкая фаза временно перекрывает самые узкие каналы, заставляя давление пара увеличиваться — до прорыва узкого места . Вместе с тем, перемещение паровой фазы возможно и путем фазового перехода пар конденсируется на входе в водяную пробку , а вода испаряется на выходе из нее [31 ]. [c.63]

Именно так и поступают в зонной теории твердых тел циклические граничные условия вводятся для одной системы (основной области кристалла), а фактически рассматривается лишь примитивная ячейка. Существенное понижение порядка вековых уравнений сопровождается при этом появлением решс-точных сумм в матричных элементах. [c.50]

Заметим, что ортогональные конечные группы симметрии С определяют разбиение объекта на максимальное число эквивалентных частей, равное порядку группы п. Симметрические надгруппы 8пи В (С), не увеличивая числа частей, добавляют в структуру системы лишь дополнительные соотношения связи. Помимо групп 8п представляют извест-ныи интерес и их подгруппы не совпадающие с Н (С) они могут описывать симметрию динамических структур, перестановочные свойства частей которых ограничены некоторыми условиями. Заметим, что группы 8 можно ввести и для дискретных пространственных групп типа РЗт а Роо тт, если ограничить их порядок п введением циклических граничных условий. [c.47]

Вместо указанных выше граничных условий для молекулярного кластера в модели квазимолекулярной расширенной элементарной ячейки (КРЭЯ) вводят циклические граничные условия, что приводит к появлению периодичности и позволяет учесть ряд особенностей квантовых состояний системы, связанных с пространственной симметрией кристалла. Эти циклические граничные условия могут, так сказать, замыкать выделенный молекулярный кластер на себя, когда условиями цикличности оказываются связаны только атомы кластера. В этом случае получается модель периодического кластера . Собственно же в модели КРЭЯ вводится сначала основная область кристалла, состоящая из достаточно большого числа Ы) повторяющихся молекулярных кластеров, далее для нее вводятся [c.483]

Приведенные выше соотношения были получены для системы, состоящей из N атомов. В реальном случае приходится иметь дело с образцами, содержащими настолько большое число атомов, что можно считать N— оо. Обсуждение динамики решетки бесконечно большого кристалла сильно упрощает построение теории, так как полная периодичность идеальной решетки является следствием отсутствия границ. Однако в этом случае величйны, относящиеся ко всему кристаллу, оказываются бесконечно большими. Но такие величины можно нормировать на конечный объем надлежащим выбором граничных условий [2, 3]. Для этого необходимо рассмотреть бесконечно протяженный кристалл, разделенный на макрокристаллы, каждый из которых содержит Ь ХЬ ХЬ=М элементарных ячеек. Любой из этих макрокристаллов можно рассматривать как физический кристалл, колебательные свойства которого мы исследуем. Циклические граничные условия (условия Борна — Кармана) представляют собой требование периодичности смещений атомов в соответствии с периодом макрокристалла, т. е. [c.15]

Принципиальное отличие модели периодического кластера от модели КРЭЯ состоит в том, что в первой вся основная область кристалла заменяется периодическим кластером (циклической системой сравнительно небольших размеров). Симметрия модели ПК ограничивается лишь совокупностью Gl операций симметрии циклической системы, содержащей L примитивных ячеек кристалла, в то время как в модели КРЭЯ рассматривается вся группа симметрии основной области кристалла с отнесением части трансляций к точечной группе Как уже отмечалось, совокупность Сь операций симметрии любой циклической системы не образует группу, так как трансляции, выводящие за пределы циклической системы, искусственно заменяются входящими в Оь трансляциями вследствие введения циклических граничных условий, т. е. предположения, что /л, а, = о ( = 1, 2, 3 L = LiL2L — [c.114]

В модели КРЭЯ симметрия самой ячейки не является фактической симметрией объекта, так как рассматривается циклическая система. Благодаря введению циклических граничных условий точечная симметрия КРЭЯ всегда совпадает с точечной симметрией кристалла, если соответствующая РЭЯ построена симметричным расширением. [c.150]