Поверхность целевой функции

На рис. 41 показаны схемы достижения экстремума одной и той же поверхности отклика методами крутого восхождения и симплекс-планирования. Рассмотрим движение к экстремуму на примере задачи отыскания наибольшего значения целевой функции двух факторов. Для достижения экстремума методом крутого восхождения (рис. 41, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент 2 (точки 1—4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5—9 до тех пор, пока значение целевой функции не начало ухудшаться. С центром в лучшей точке 7 пришлось вновь реализовать, план 2 (точки 10—13). Новое движение по градиенту (точки 14, 15) приводит к экстремальному значению целевой функции. При использовании симплекс-планирования (рис. 41, б) в исходном симплексе (точки 1—3) худшей оказалась точка 2. Точка 4 является зеркальным отражением худшей точки относительно С) — центра грани 1—3. В новом симплексе 1, 3, 4 худшей оказалась точка 1. В результате применения симплексного метода достигли области [c.222]

На рис. 53 показаны схемы достижения экстремума одной и той же поверхности отклика методами крутого восхождения и симплекс-планирования. Рассмотрим движение к экстремуму на примере задачи отыскания наибольшего значения целевой функции двух факторов. Для достижения экстремума методом крутого восхождения (рис. 53, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент V- (точки 1—4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5—9 до тех пор, пока значение целевой функции не начало ухудшаться. С центром в лучшей точ- [c.229]

Градиент целевой функции в точке х+Ах задается левой частью равенства (4.3.34), если х достаточно близко к х + Ах в том смысле, что квадратичная аппроксимация является адекватной. Для того чтобы X + Ах было точкой локального оптимума на текущем множестве активных ограничений, потребуем, чтобы градиент целевой функции был в этой точке ортогонален поверхности, образованной активными ограничениями. Это означает, что проекция вектора градиента на эту поверхность равна нулю и дальнейшие передвижения не приведут к улучшению. Для того чтобы вектор градиента был ортогонален поверхности, образованной ограничениями-неравенствами, он долл<ен представлять собой линейную комбинацию нормалей к этим ограничениям эти нормали задаются правой частью равенства (4.3.34), Я, и л называются множителями Лагранжа. [c.202]

Итак, для минимизации функции Ь переменных необходимо не менее одного одномерного поиска, если функция вычисляется и с градиентом, и со вторыми производными, и не менее Ь поисков, если она вычисляется с градиентом, но без вторых производных. Если же функция может быть вычислена только сама, но без производных, то требуется не менее одномерных поисков, для каждого из которых, напомним, следует провести несколько вычислений минимизируемой функции. При этом все эти оценки относятся лишь к наиболее благоприятному случаю, когда на пути от исходной точки к точке минимума многомерная поверхность целевой функции близка к поверхности билинейной формы. В общем же случае оптимизацию геометрии считают завершенной (иногда, увы, ошибочно), если в двух последовательных итерациях определены конформации или значения энергии, разли- [c.37]

Проектирование современных химических производств, основанное на принципах системного анализа сложных химико-технологических систем, требует решения задачи многоуровневой оптимизации, на одном из основных уровней которой рассматриваются отдельные виды технологического оборудования, в том числе теплообменные аппараты различного назначения. Основная особенность большинства существующих видов теплообменного оборудования состоит в дискретном характере изменения его конструктивных параметров (площади теплообмена, геометрических размеров и т. д.). о приводит к появлению разрывов на поверхности отклика целевой функции при включении таких параметров в число оптимизирующих факторов при ограниченном количестве типоразмеров теплообменного оборудования и в ряде случаев весьма существенно сказывается на значении найденного минимума критерия оптимальности. [c.360]

При заданном объеме V и расчетном давлении Р внутренняя поверхность и толщина стенки могут быть выражены через диаметр аппарата, Тогда целевые функции будут иметь вид [c.9]

Таким образом, для аппаратов В и С в задаче приближения, 5 является штрафом за несовпадение длин, а для аппаратов А 5 формируется из технико-экономического критерия, определяемого из (4.4.6), и штрафа с весовым коэффициентом Я Лi за несовпадение длин. Выражения для целевой функции в задачах приближения выбраны на основании экспериментальных исследований чувствительности целевой функции к варьируемым параметрам и формы поверхности отклика. Рекомендуемые значения [c.143]

При наличии ограничений типа равенств (IX, 2а) рассмотренный прием изображения целевой функции также можно использовать, если принять во внимание, что каждое из уравнений (IX, 2а) определяет в д-мерном пространстве (п — 1) -мерную поверхность, пересечение которой с двухмерной плоскостью Р имеет вид некоторой линии / (рис. IX-1,6), вдоль которой и ищется оптимальное решение. Правда, случай, когда число ограничений типа равенств больше 1, пересечения поверхности, например двумя ограничениями [c.478]

Рассмотрим одну из поверхностей постоянного уровня функции R(x). Эта поверхность характеризуется тем, что в любой ее точке функция R(x) имеет одно и то же постоянное значение с. Уравнение данной поверхности может быть получено из выражения для целевой функции приравниванием его постоянной величине с [c.482]

Планирование экстремальных экспериментов позволяет решать задачу оптимизации объекта исследования, которая сводится к отысканию таких значений управляемых переменных л , х .. .., х°, при которых целевая функция достигает экстремума. При экспериментальном поиске стационарной точки X в факторном пространстве переменных X осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда экспериментов, специально спланированных вблизи текущей точки. Экстремальное значение отклика достигается с помощью многократной последовательной процедуры изучения поверхности и продвижения в факторном пространстве [3], [c.483]

Рис. IX-6. Изображение поверхности постоянного уровня целевой функции в пространствах двух и трех переменных.

В точке целевой функции, проходящей через точку. х +1 Другими словами, градиент VR(xW) и градиент V ( (ft+1)) отличаются по направлению, что может быть использовано в стратегии изменения шага. Например, в алгоритме (IX, 40) изменение шага A j можно производить в соответствии с правилом [c.492]

Сущность указанных методов заключается в определении значений независимых переменных, дающих наибольшие изменения целевой функции. Обычно это достигается при движении вдоль градиента, ортогонального к контурной поверхности в данной точке. , [c.153]

Важнейшим свойством целевой функции является непрерывность и гладкость получаемой абстрактной поверхности. В общем случае она представляет полином к к к 11 = Ро + 2 [c.70]

ЛИЗ поверхности отклика удобно выполнять путем ее графического представления. Можно также найти точку оптимума и алгебраически, вычислив частные производные целевой функции и на их основе — направление градиента (максимально крутого подъема или спуска) поверхности отклика. В слз чае последовательной оптимизации направление градиента находят экспериментально, не прибегая к количественному описанию зависимости целевой функции от значений факторов. Каждый последующий эксперимент проводят, продвигаясь вдоль направления градиента. Эти две стратегии оптимизации иллюстрирует рис. 12.4-1. [c.495]

Исследуем теперь вторую целевую функцию - число Нуссельта Ыи. Поверхность ее роста показана на рис. 3.19. Анализ уравнения (3.17) при фиксированных ро, Q и 8 показывает, что Ыи увеличивается при уменьшении А и одновременном увеличении числа ребер. Это наиболее заметно при малых 5 (6 = — 1). [c.77]

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей применяются различные математические методы оптимизации. Многие из них сводятся к нахождению минимума или максимума целевой функции. Линии, вдоль которых целевая функция сохраняет постоянное значение при изменении входящих в нее параметров, называются контурными, или линиями уровня. На рис. VI- показана поверхность отклика, выражающая зависимость выхода продукта от температуры и давления. Контурные замкнутые линии дают значения выхода для различных величин температуры и давления. [c.202]

Линии уровня, соответствующие разным значениям целевой функции, не пересекаются. Внутри линии уровня, отвечающей определенному числу у1 (выход продукта), находятся все линии уровня, соответствующие числам у, большим, чем у, в случае максимума и меньшим, чем уи в случае минимума. Целевая функция может быть задана как без ограничений, так и с ограничениями на значения отдельных параметров. На рис. VI- , б представлена поверхность отклика целевой функции, на которую наложены ограничения в виде предельного изменения температур Гпр и давлений Рпр, влияющих на выход продукта. [c.203]

Ограниченность экстраполяции. Двигаясь вдоль градиента, мы основываемся на экстраполяции частных производных целевой функции по соответствующим переменным. Однако форма поверхности отклика может изменяться и необходимо изменять направление поиска. Другими словами, движение на плоскости не может быть продолжительным (см. пример VI-7). [c.227]

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей принимаются различные математические методы оптимизации. Все они сводятся к тому, чтобы найти минимум или максимум, т. е. вершину или впадину на поверхности, описываемой уравнением целевой функции. Эта поверхность обычно называется поверхностью отклика. Линии, вдоль которых целевая функция сохраняет постоянное значение при изменении входящих в нее параметров, называются контурными линиями, или линиями уровня. На рис. И-5 показана поверхность отклика, выражающая зависимость выхода продукта от температуры и давления. Контурные замкнутые линии дают значения выхода для различных значений температур и давлений. [c.116]

Исходя из любой точки (А), намечают на плоскости УхУ (рис. 15-12) вершины равностороннего треугольника и определяют значения целевой функции в этих трех точках. Таким образом, получают в пространстве три точки, определяющие плоскость, которая прилегает к поверхности [g, Ух, У 2]. Минимум отыскивают в направлении, в котором эта плоскость падает наиболее круто. Четвертую точку намечают так, чтобы она с двумя вершинами первого треугольника с меньшими значениями целевой функции образовала новый равносторонний треугольник, расположенный в той же плоскости У1У2. Далее определяется значение целевой функции для четвертой точки и продолжается построение треугольников по изложенному методу в направлении минимума. Если у какой-то из четвертых точек обнаружится приращение целевой функции, то пробуют новую четвертую точку против какой-либо другой стороны последнего треугольника. Путь, который ведет к минимуму, проложен, причем он должен быть по возможности более крутым. [c.333]

Затем составляются компактные таблицы либо строятся графики Ппх1 = [ Пхд, = [(пхд, показывающие связь исследуемых безразмерных величин Ппхс] Пг1х1 с каждой из безразмерных независимых переменных Пх1 при остальных независимых переменных, фиксированных в оптимальной точке (т. е равных единице). На рис. 75 и 76 показаны такие графики. Первые два характеризуют условия работы отдельного аппарата с оребренной поверхностью [56, 57], третий — поведение целевой функции для кожухотрубчатого теплообменника (комплекса аппаратов) [84], четвертый — зависимость приведенных затрат от основных параметров целой установки (системы аппаратов и машин) [37]. [c.302]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

В работе [53], также как и в работе [42], при решении задачи синтеза ТС как ЗОН, предполагается, что каадый поток декомпозируется на тепловые элементы таким образом, что завссимости для расчета целевой функции от поверхности теплообмена можно линеаризовать, т.е. /7 г а, где I- 1,п п - количество тепловых элементов /7 - значения КЭ - поверхность теплообмена ТА, в котором передается количество тепла, равное энтальпии теплового элемента а - константа, полученная статистической обработкой стоимости I м площади теплообмена у ТА различных типоразмеров. Для различных типоразмеров ТА величина отлична, однако в операциях синтеза ТС принимается постоянная величина. Значение. [c.16]

Оптимизация. Существуют две различные стратегии оптимизации — од-новременнсш и последовательная. Стратегия одновременной оптимизации включает в себя выполнение факторного эксперимента, построение соответствующей математической модели и изучение влияния факторов на целевую функцию путем построения так называемой поверхности отклика. Ана- [c.494]

В работе С53], также как и в работе [42], при решении задачи синтеза ТС как ЗОН, предполагается, что каждый поток декомпозируется на тепловые элементы таким образом, что зависимости для расчета целевой функции от поверхности теплообмена можно линеаризовать, т.е. П -а. Pi, где L -1, а п количество тепловых элементов - значения КЭ P - поверхность теплообмена [c.16]

Целевая функция (приведенные затраты) включает две основные статьи затрат капитальные затраты на теплообменник, определяемые величиной поверхности теплообмена, и эксплуатационные затраты, определяемые требуемой мощностью на перекачку тепло госителей через теплообменник. [c.219]

В качестве количественной оценки различных вариантов компоновок или целевой функции задачи АТК может быть предложен целый ряд. показателей минимум общего объема компоновки или поверхностей проектируемого промышленного здания минимум длины связей (сети трубопроводов) или суммарной стоимости сети минимум затрат на транспортировку массопотоков, коэффициент плотности заполнения и др. [c.94]

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей применяются различные математические методы оптимизации. Многие из них сводятся к тому, чтобы найти минимум или максимум целевой функции. Линии, вдоль которых целевая функция сохраняет постоянное значение при изменении входящих в нее параметров, называются контурными линиями или линия-миуровня. На рис. IV- показана поверхность отклика.. [c.203]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология