Квадратичная аппроксимация

В методах, которые рассмотрены в этой главе, используются свойства квадратичной аппроксимации минимизируемой функции, однако они не требуют вычисления матрицы вторых производных. Мы здесь обсудим два тина методов — методы сопряженных направлений и методы переменной метрики (квазиньютоновские методы). Последнее название обусловлено следующими причинами. [c.33]

Градиент целевой функции в точке х+Ах задается левой частью равенства (4.3.34), если х достаточно близко к х + Ах в том смысле, что квадратичная аппроксимация является адекватной. Для того чтобы X + Ах было точкой локального оптимума на текущем множестве активных ограничений, потребуем, чтобы градиент целевой функции был в этой точке ортогонален поверхности, образованной активными ограничениями. Это означает, что проекция вектора градиента на эту поверхность равна нулю и дальнейшие передвижения не приведут к улучшению. Для того чтобы вектор градиента был ортогонален поверхности, образованной ограничениями-неравенствами, он долл<ен представлять собой линейную комбинацию нормалей к этим ограничениям эти нормали задаются правой частью равенства (4.3.34), Я, и л называются множителями Лагранжа. [c.202]

Квадратичную аппроксимацию можно осуществить также, зная три различных значения функции. В этом случае необходимо составить и решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными о, Ь и с. [c.201]

Отсюда для того, чтобы решение реальных задач оптимизации ХТС могло быть выполнено в приемлемые сроки, нужно использовать самые эффективные методы оптимизации. В Приложении описаны один из наиболее эффективных методов минимизации — метод Ньютона и некоторые его модификации. Итерации в методе Ньютона строятся на основе применения квадратичной аппроксимации минимизируемой функции. Основной недостаток метода Ньютона — это необходимость использования вторых производных минимизируемой функции, получение которых в реальных задачах чрезвычайно затруднено. [c.33]

В квадратичной аппроксимации экспоненциальный член за менен квадратичным выражением переменной. 5 [c.21]

Для квадратичной аппроксимации зависимости мольного объема жидкости от температуры необходимо иметь три экспериментальные точки. Следует обратить особое внимание на то, чтобы ожидаемое значение равновесной температуры многокомпонентной системы находилось внутри интервала экспериментальных данных. Экстраполяция квадратичной зависимости за пределы этого интервала весьма рискованна. Если же экстраполяция необходима, то лучше предположить, что исходные мольные объемы жидкости получены при двух температурах. В этом случае программа обрабатывает данные по линейной зависимости. Линейная экстраполяция более надежна, а часто и более достоверна. [c.88]

Для неконденсирующихся компонентов мольный объем представляется в виде функциональной зависимости от температуры. При наличии трех точек используется квадратичная аппроксимация, двух —линейная. Константы Л< для каж- [c.118]

Квадратичная аппроксимация (адиабатический случай) (КАА) [c.151]

Квадратичная аппроксимация (неадиабатический случай) (КАНА) [c.152]

Чтобы показать возможность применения экспоненциальной н квадратичной аппроксимаций, сравним решения, полученные с помощью этих аппроксимаций, с приближенным решением Тодеса [9], а также с полным решением, выраженным через экспоненциальный интеграл. Сначала сравним члены функций, выраженных в явном виде, а затем для типичного случая произведем численное сравнение. [c.28]

КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Заменив экспоненциальный член приближенным значением [c.29]

Фиг. 2 показывает, что во всех практически встречающихся случаях значение критического роста температуры можно брать в любой точке области 6 < 1, 2 > Это как раз та область, в которой экспоненциальная и квадратичная аппроксимации наилучшим образом с ответствуют ехр(— / 7 ). Мы ожидаем, что наши приближенные решения в этом случае будут очень близки к решению, которое дается точным выражением. Это подтверждается результатами, представленными в табл. 2 и 3. [c.29]

Величину шага в процессе поиска, как правило, меняют с учетом не только значений частных производных, но и результатов предыдущего поиска. С приближением к оптимуму величина шага уменьшается . Для уточнения положения оптимальной точки применяют иногда факториальный метод определения производных, вычисление градиента на каждом шаге, квадратичную аппроксимацию. В некоторых случаях производится нормализация как независимых переменных, так и величины шага . Каждую переменную относят к своему интервалу изменения, а частные производные — к длине градиента или модулю максимальной частной- производной. Критерий окончания поиска — получение достаточно малого шага по всем переменным или достаточно малое изменение целевой функции между двумя вычислениями градиента. [c.131]

Для оптимального проектирования трубчатого аммиачного реактора использовался симплексный метод 176], хорошо приспособленный к существенно двумерной задаче оптимизации. Последовательность вычислений, изображенная графически в плоскости переменных — температуры ка входе и охлаждающего фактора (две переменные, оставленные на усмотрение проектировщика), — представляет собой цепь смежных треугольников (двумерных симплексов), вытянутую в направлении точки оптимума и в конце концов окружающую эту точку. Окончательное расположение оптимума уточняется путем квадратичной аппроксимации заключителыюй гексагональной системы точек симплекс-метода. [c.176]

Из табл. 8 видно, что для всех экспериментальных условие (111,113) выполняется. Возможно, что лучшие результаты, нежели линейная аппроксимация (111,111), даст квадратичная аппроксимация для параметра экранирования [c.80]

Когда этот способ замедляется, применяется метод квадратичной аппроксимации. Для этого вычисляются значения F ( г ) в специально расположенных [c.418]

Самым грубым приближением к у (х h) было бы Ь hf (а, Ъ). Для более точной квадратичной аппроксимации нужно вычислять частные производные функции / [х, у) в точке (а, Ь). Это, однако, неудобно. Поэтому обычно пользуются другим методом, известным как метод Рунге — Кутта, позволяющий аппроксимировать у х h) с точностью до первых четырех членов ряда Тейлора путем вычисления ироизводной в нескольких определенным образом [c.114]

Уайт [8] показал, как эта задача решается методом наискорейшего спуска при квадратичной аппроксимации окрестности минимума и при использовании множителей Лагранжа для учета ограничений. [c.171]

Для однозначного реш.ения поставленной задачи использована программа поиска, реализующая метод Дэвидона— Флетчера— Поуэлла (ДФП) и осуществляющая квадратичную аппроксимацию. Применение метода ДФП для определения констант модели дало хорошие результаты — максимальная относительная ошибка отклонения расчетных данных от экспериментальных по коксу и кислороду не превышает 7%.. [c.98]

Замечание. Квадратичная аппроксимация /о или i o может быть проведена не только посредством их разложения в ряд Тэйлора, но и с использованием методов приближения функции по ее значениям в избранных точках. [c.151]

Находят квадратичную аппроксимацию [c.152]

Для точного описания термодинамического равновесия бинарных и многокомпонентных систем необходима информация о температурной зависимости мольного объема чистых компонентов в жидкой фазе. В примерах расчета использовались данные о мольном объеме компонентов, представленные в Приложении. Основными источниками таких данных являются работы Фактически все сведения о мольных объемах компонентов, содержащиеся в Приложении, относятся к трем температурам, перекрывающим наибольший из возможных диапазонов составов. По трем точкам подпрограмма ввода рассчитывает константы квадратичной аппроксимации, а мольный объем компонента при любой температуре определяется как [c.75]

После того как рассчитано давление насыщенного пара PHIS, по квадратичной аппроксимации вычисляется объем жидкой фазы компонента VLIQ при температуре Т. Затем находится относительная фугитивность FREFER как фугитивность чистых компонентов при заданной температуре и стандартном давлении (в данном случае равном нулю). На этом заканчивается расчет докритических компонентов. [c.137]

Изменение распределения концентрации внутри капли с течением времени. Диффузионный поток вещества через поверхность капли. 1Иетодом разделения переменных с последующим определением собственных значений в задаче Штурма — Лиувилля с привлечением квадратичной аппроксимации по функции с ( , ) по методу Ритца можно построить решение краевой задачи (4.6) — (4.10) в виде [c.301]

Эффективность метода сопряженных направлений объясняется тем, что при его применении используется квадратичная аппроксимация функции. При этом непосредственно вторые производные не вычисляются. Информация о них находится в несколько итераций. Ясно, в свяэи с этим, что скорость сходимости метода ниже скорости сходимости метода Ньйтона, однако, трудоемкость выполнения каадой итерации меньше. Кроме того, при втом не вносятся погрвашости, связанные с явным вычислением вторых производных. [c.44]

Если способ определения ак выбран, то итерации (17) продолжают до выполнения тех или иных критер1 ев окончания счета. В качестве таких критериев можно использовать, например, следующие условия < е, или — /(ж ) < или < б и другие. Можно пробовать комбинировать пред.доженные критерии. Здесь следует отметить, что выполнение этих критериев не гарантирует нахождение ответа в исследуемой задаче — предложенные условия могут выполняться и вдали от искомой точки минимума. С другой стороны, при достаточно близком подходе к точке минимума градиент оптимизируемой функции становится мал и продвижения по минимизирующей последовательности не происходит. Для того, чтобы избежать таких затруднений в достаточно малой окрестности оптимума, следует использовать более чувствительные итерационные методы оптимизации, основанные на квадратичной аппроксимации целевой функции. [c.21]

Для минимизации энергии в заданном направлении было проверено два алгоритма метод золотого сечения и вычисление минимума путем квадратичной аппроксимации с предварительной локализацией положения минимума [128]. Второй метод позволяет сократить число вычислений энергии, что приводит к уменьшению суммарного счетного времени в среднем на 30%. Конечный результат минимизации не зависит от алгоритма одномерного спуска, если правильно подобрана величина так называемой константы адаптации начального шага. В библиотечных подпрограммах начальный шаг в заданном направлении на каждой итерации вычисляется как произведение константы и всего расстояния, пройденного на предыдущей итерации. Сделано это для коррекции величины начального шага в процессе минимизации. Проверка на тетрапептидных тертнл- [c.236]

Следует также отметить статьи Грея, Харпера и Светта, помещенные в этом же разделе. В первой статье авторы рассма тривают тепловую теорию индукционного периода и периода задержки зажигания. Эта работа интересна тем, что для упрощения решения уравнения теплопроводности с химическим источником в отличие от известного разложения функции ехр (—EjRT) в ряд Франк-Каменецкого вводится квадратичная аппроксимация, в которой экспоненциальный член заменяется квадратичным выражением переменной. Сопоставление решений для стационарного и нестационарного случаев показывает, что предложенная авторами аппроксимация позволяет с достаточной точностью решать задачи подобного типа. [c.6]

В настоящей статье рассматриваются основные уравнения теплопроводности и. две аппроксимации (экспоненциальная и квадратичная). Затем эти аппроксимации используются для получения окончательных решений нескольких задач. Стационара ные условия, соответствующие условиям, найденным Семеновым и Франк-Каменецким, получаются из общего уравнения как предельный случай. Общее нестационарное уравнение интегрируется с помощью квадратичной аппроксимации, давая явные функции для периодов задержки зажигания в неравномерно нагретой среде. Наконец, получены функциональное и численное решения для конкретной нестационарной задачи, ил1еющей также точное решение, и эти решения сопоставляются. Согласие является вполне удовлетворительным, поэтому используемые аппроксимации должны быть весьма полезными при решении других задач такого типа. [c.19]

Обратим внимание, что правая часть уравнения (10.65) разделена на два вектора 51 и 52. Вектор 51 является мерой отклонения рассчитанных точек Q , и Qp от истинно равновесных точек (из-за ошибок, возникающих при квадратичной аппроксимации поверхности энергии Гиббса), тогда как вектор 52 описывает влияние изменения общего состава (его элементы пропорциональны длине вектора dX°). Такая форма представления удобна, поскольку вычисление равновесных составов, соответствующих точке Р служит проверкой истинности значений равновесных сосков точки Р. Если отклонение превышает установленную точность, то уравнение Z = (Л) 51 можно использовать для итераций при сохранении неи> менным общего состава. Если итерация будет сходиться или расходиться слишком медленно, то в крайнем случае следует использовать метод, описанный выше. [c.263]

Опытная проверка отмеченной последней работы, основанной на неопубликованной работе Бокса, привела к выводу, что некоторые методы, подразумевающие сходимость второго порядка, в действительности были не в состоянии показать ее, однако метод Дэвидона обеспечил эту сходимость. Имеются также некоторые сомнения относительно того, будут ли методы, основанные на квадратичной аппроксимации функции Р, хорошо применимы на некотором удалении от оптимума (см. примечание к разд. 2.7 на стр. 103). Дальнейшие попытки использования метода, изложенного в работе [25], очевидно, потребуют дополнительного подтверждения надежд его авторов. С этими оговорками упомянутые выше статьи, по-видимому, отражают отчетливый прогресс в методах вычислительной техники. [c.148]

Пауэлл [120J использовал метод квадратичной пр01Г0нки вдоль линии связи в направлении минимума функции цели, Давидон [120] применял квадратичную аппроксимацию поверхности оптимизации для того, чтобы определить направление, в котором должен идти поиск оптимума. Шаблонное решение уравнения Пауэлла и диагональный определитель Лоу являются наиболее реальным методом, используемым в исследованиях. [c.160]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология