Гиперповерхность

Таким образом, концентрационное многообразие, отвечающее условию химического равновесия, имеет размерность п — 2, (Для бинарной равновесной смеси — реагент — продукт — точка равновесного состава для тройной — линия на плоскости для четверной — поверхность в трехмерном пространстве для системы из п веществ — гиперповерхность размерности п — 2 в (fi — 1)-мерном пространстве). [c.194]

На рис. Х.4 показана схематическая гиперповерхность постоянной потенциальной энергии для критически возбужденной молекулы, состоящей иа N атомов и претерпевающей разложение. Эта гиперповерхность является т-мерной, где т = Ломаная линия (заключенная внутри поверх- [c.197]

S внутренних степеней свободы и общую энергию Е gs E — Е ) — общее число квантованных состояний той же самой молекулы, в которой энергия Е локализована в некоторой совокупности нормальных координат, таких, что если она сосредоточится там, то молекула разложится в результате одного колебания, и v — средняя скорость, с которой энергия переходит от одной нормальной координаты к другой. В терминах диаграммы потенциальной энергии (см. рис. Х.4) .,( ) представляет общее число возможных состояний, ограниченных гиперповерхностью энергии Е, в то время как gs E — Е ) представляет собой общее число состояний внутри той же самой гиперповерхности, которые удовлетворяют условию, что в надлежащих координатах имеется энергия, по крайней мере равная Е. В таком случае общая скорость реакции дается умножением к(Е) на вероятность Р Е) нахождения молекулы с общей энергией Е и суммированием по всем энергиям Е Е [c.220]

На диаграмме энергии (см. рис. XI.1) это состояние должно соответствовать седловинной точке гиперповерхности энергии. Предполагается также, [c.222]

Поскольку векторы n совпадают по направлению с градиентами к соответствующим гиперповерхностям, соотношение (IX, 165) можно также переписать в виде [c.533]

В направлении вектора делается один шаг нлн несколько шагов, пока не нарушается условие (IX, 180), после чего производится спуск на гиперповерхность ограничений по направлению ее нормали. [c.538]

По сравнению с рассмотренным выше методом прямого поиска с возвратом, для реализации которого требуется вычисление градиента только для целевой функции ири выполнении одного шага спуска, метод проектирования вектора-градиента зачастую оказывается все же более быстрым, поскольку в данном случае движение к оптимуму происходит вблизи от гиперповерхности ограничений и необходимость возврата на нее возникает значительно реже. [c.539]

Очевидно, что движение вдоль гиперповерхности ограничений продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие [c.543]

В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Определение такого разбиения пространства параметров и характера бифуркаций, происходящих на границах областей, является завершающим этапом качественного исследования динамической системы. [c.137]

Различным электронным состояниям отвечают свои энергетические гиперповерхности, поэтому понятие конформационной изомерии в данном определении теряет смысл при рассмотрении набора электронных [c.140]

Осуществить движение к экстремуму удобнее не по гиперповерхности / ( i, Xfe), а по близкой к ней касательной гиперплоскости, описываемой вблизи исходной точки уравнением (VI-17). Действительно, изменение любого х- в сторону экстремального значения определяется знаком и величиной коэффициента bj- Так, если Ь, положителен и велик, то значительное увеличение Xj приведет к значительному увеличению у, т- е. к перемещению в экстремальную область- [c.186]

Параметр 5 определяет кривизну поверхности. При 5 -> 1 - гиперповерхность (2) линейная, при 5 2 - параболическая, при 5 -> 3 - кубическая пара- [c.40]

Такая схема имеет простую геометрическую интерпретацию в пространстве X задана гиперповерхность, описываемая уравнением [c.93]

Проще всего доказательство провести геометрически. Решение условия (9.11) определяет в п-мерном пространстве однопараметрическое семейство гиперповерхностей. Рас- [c.41]

В данном случае направление Р, является проекцией градиента функции на пересечение гиперповерхностей (IV,101) и дает направление наискорейшего убывания функции в многообразии [c.192]

Обозначим через М подпространство, образованное пересечением гиперплоскостей, касательных к гиперповерхностям == О (i — I,. .., т) в точке и. В области D = [] функция Ф = F и V является в области D точкой минимума функции F. Поэтому для всех допустимых направлений I I М), исходящих из точки V, будут выполняться либо условия (VI,23), либо условия (VI,25). Отсюда направления, на которых возможно выполнение соотношений (VI,26), могут быть только вне подпространства М. [c.236]

Пусть известна в пространстве переменных Ui,. . ., точка i/< (цо,. . ., Ur), в которой выполняются условия (П1,2), т. е., другими словами, точка лежит на т гиперповерхностях, определяемых равенствами (И1,2). В точке f/ проведем т гиперплоскостей, касательных соответственно т гиперповерхностей (111,2). Обозначим через Р подпространство г — т размерности, образованное пересечением этих гиперплоскостей. Найдем в точке / направление наи-быстрейшего изменения функций z при условии, что оно принадлежит подпространству Р. Сделаем по этому направлению достаточно малый шаг в точку С/ -. Тогда в первом приближении можно считать, что координаты данной точки удовлетворяют равенствам (П1,2), так как она лежит в гиперплоскостях, касательных к гиперповерхностям (П1,2) в точке 7 . В точке описанную процедуру повторяем заново и т. д. [c.76]

Начальная точка 7 , лежащая на гиперповерхностях (111,2), также находится минимизацией функции Ф. [c.77]

Здесь уместно заметить, что в трехмерном пространстве (сфера, многогранник) измерение от начала координат осуществляется с помощью семейства поверхностей, а в случае многомерных систем — соответствующих гиперповерхностей. [c.61]

Множитель (1—представляет собой отношенне числа молекулярных квантованных состояний на седловинной точке Lo к общему числу состояний на гиперповерхности энергии Е Е. Это отношение сильно зависит от величины Е и умень-ш ается для любой данной величины Е по мере возрастания Е. [c.210]

Шварц [89] показал, что уравнение (XI.7.10) применимо также в случае реакции мономолекулярного разложения, идущего с разрывом одной связи, когда гиперповерхность не имеет максимума (т. е. седловинпой точки) и потенциальная энергия двух осколков молекулы монотонно уменьшается до нуля по мере увеличения расстояния между ними сверх равновесного значения. [c.224]

На основании сказанного для коррекции нарушений ограничений слсу1ует использовать методы, кото )ые позволяют двигаться от точки нарушения ограничений в панравлении кратчайшего расстояния до гиперповерхности ограничений, т. е. но наиравлению ее нормали. Так как величина нарушений ограничений нри выполнении очередного шага спуска обычно мала, иногда можно применить сле-дуюп ,ш 1 прием для погшдання на гиперповерхность ограничений практически за одрш шаг. [c.533]

Предположим, что, осуществляя спуск по направлению нормали /г к гиперповерхности ограничений (IX,2а), можно попасть в точку д , расположенпую на этой гиперповерхности, для которой выполняется равенство [c.533]

Недостаток расслютрснного метода поиска заключается в том, что когда оптимум целевой функции расположен на значительном удалении от гиперповерхности ограничений, скорость движения к условному оптимуму, находящемуся на гиперповерхности, мала и к тому же существенно замедляется при нриблнжс...... к нему. [c.536]

При решении задачи отыскания минимума целевой функции (лг) при наличии ограничений (IX,2а) (условного минимума) вектор и, характеризующий направление, вдоль которого производится дви- кение по гиперповерхности ограничений, должен отвечать паправ-ленню паибыстрейшего убывания функции (л ). Это значит, что проекция вектора-градиента целевой функции (х) на направление вектора и должна иметь максимальное значение. [c.537]

Таким образом, задача определения направления панскорейшего спуска при движении вдоль гиперповерхности ограничений, описываемой равенствами (IX,2а), может быть сформулирована как задача максимизации функции [c.537]

Существенным достоинством описанного метода является большая скорость движения к условному оптимуму. Недостаток метода - -дово.тьно большой объем вычислспнй, который необ.ходим для выполнения одного шага вдоль гиперповерхности. При использовании этого метода для выполиения о пюго шага требуется рассчитать т градиентов фуикции я переменных уср, (л ) (г-=1,. . ., т) и ( ) [c.539]

Таким образом, согласно условию (IX,195), при пргшенепии любого из изложенных выше методов поиска спуск из любого исходного состояния л < ) происходит по направлению к гиперповерхности ограпичертй. Лишь в 8-окрестности этой гиперповерхности, где неравенство (IX,195) ослабляется, так как на самой гиперповерхности выполнено условие [c.540]

Следовательно, если в процессе спуска сделан шаг, приводящий к значительному нарушению ограничений (IX,2а), то последующие шаги приведут к автоматическому исправлению этого нарушения. Очевидно, что чем больше выбрано значение а, тем в более узкой окрестности гиперповерхности ограничений будет производиться поиск оптимума фуикции Q (х). Поскольку на самой гиисриоверх-пости ограничений функция Q (л ) совпадает с функцией R (л ), положение минимума Q x) при достаточио большом значении а совпадает с положением минимума R (х), определяемого с учетом ограничений (IX,2а), с точностью до размеров е-окрестности, за пределами которой выполняется условие (IX,195). [c.540]

Нетрудно заметить, что обобщенный критерий оптимальности (IX,193) имеет овраг , расположенный вдоль гиперповерхности ограничений, так как при удалении от нее функция аН (л ) и, следовательно, функция Q x) резко возрастают. Размерность этого оврага выражается числом ограничений (IX,2а) и равна п—т. Поэтому для решения оптимальных задач с ограиичепиями типа равенств (IX,2а) с успехом может быть использован метод шагов ио оврагу , рассмотренный выше (см. стр. 518). [c.540]

Необходимо иметь в виду, что, с одной стороны, ири увеличенпп значения а в уравнении обобщенного критерия (IX, 193) овраг становится более узким и если гиперповерхность ограничений обладает значительной кривизной, то сходимость процесса поиска оптимума может существенно замедлиться при больших значениях а. [c.540]

Недостатком рассмотренного метода является сравнительно небольшая скорость поиска при двпжеппп вдоль гиперповерхности ограничений. В особенности это проявляется в тех случаях, когда пскомьп" о[ тимум расположен на границе области X. Процесс поиска вблизи от оптимума существенно замедляется (рис. 1Х-33). [c.543]

Таким образом, для каждого фиксированного Я, т. е. для каждой фиксированной ядерной конфигурации, собственная функция Фт( 1/ ) гамильтониана описывает состояние движения электронов в поле неподвижных ядер. Собственные значения гамильтониана Й , т. е. ет к), называются электронными термами молекулы. Каждый электронный терм представляет собой энергетическую гиперповерхность в ЗК-мерном пространстве ядерных координат. [c.111]

Направление в данном случае является проекцией градиента функции на пересечение гиперповерхностей (IV, 100) и дает направление наиекорейшего убывания функции в многообразии Lg. [c.151]

Основные представления геометрической оптики являются общими для электромагнитных и гравитационных полей [34]. Геометрическая (лучевая) оптика представляет собой простой приближенный метод построения изображений в оптических системах [1]. Фронт электромагнитной волны в четырехмерном пространстве определяется характеристической гиперповерхностью уравнений Максвелла вследствие теоремы Лихнеровича, он совпадает с фронтом гравитационной волны. Траектории распределения электромагнитной волны - электромагнитные лучи можно определить как бихарактеристики уравнений Максвелла они совпадают с гравитационными лучами [34]. На основании вышеизложенного рассмотрим преломление, отражение, рассеяние и поглощение силовых линий гравитационного поля, используя эти же свойства лучей электромагнитного поля. [c.81]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология