Особые точки дифференциальных уравнений

Рис. 136. Типы особых точек дифференциальных уравнений

Вблизи от регулярной особой точки дифференциальное уравнение обычно можно решить следующим образом. Вместо того, чтобы степенной ряд начинать с постоянного члена, используем ряд вида [c.71]

По качественной теории дифференциальных уравнений [159] тип особой точки дифференциального уравнения (XXI,21) определяется знаком детерминанта А характеристического уравнения, которое имеет вид [c.193]

Для построения фазовой плоскости процесса определим число и топологический тип особых точек дифференциального уравнения (УП-42), чтобы судить о возможных равновесных режимах процесса и их устойчивости при малых внешних и параметрических возмущениях. [c.389]

В соответствии с терминологией теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости по А.М.Ляпунову, устойчивому стационарному состоянию соответствует особая точка — устойчивый узел (см. разд. 18.1). [c.344]

Если перейти к фазовой плоскости / — 0 , то стационарные состояния будут соответствовать особым точкам дифференциального уравнения [c.78]

Рис. IS. I. Диаграмма разных типов устойчивости особых точек системы линейных дифференциальных уравнений dx/dt = ах + Ьу, dy/dl = сх + dy (по Ляпунову)

Всюду, за исключением особых точек, дифференциальные уравнения траекторий удовлетворяют требованию однозначности. Через любую обыкновенную (регулярную) точку Хо= Хко) фазового пространства проходит одна и только одна траектория. Решения Х/(Х1) являются единственными только в регулярных точках. В особых точках // 5) = О траектории могут пересекаться. Если точке Хо соответствует момент времени to, то часть траектории, проходимая за время и (или I С. (о), называется положительной (или соответственно отрицательной) полутраекторией. Полутраектории могут начинаться или оканчиваться в бесконечности (фиг. 3.3, а). Вследствие однозначности решения никакая траектория, исходящая из Хо в момент /о, не может к конечному моменту времени tl при Ф 1о достигнуть какой-либо особой точки Х = Х1 . .., Xf . Так как Х< > представляет решение для любого момента времени, в том числе и для 1, то точке Х( >, соответствовали бы две интегральные кривые, что противоречит исходному предположению. Это утверждение, однако, не справедливо для /-> оо. Если полутраектории имеет предел при /-> оо, то этому пределу соответствует особая точка (фиг. 3.3,6). Таким образом, система достигает (или покидает) стационарные состояния только в пределе, Следовательно, не существует дви- [c.46]

Для несжимаемой жидкости дс с изменением температуры без особой погрешности можно считать постоянной. Если к по длине не меняется, то дифференциальное уравнение можно интегрировать [c.48]

Исследование локальных закономерностей — первый этап в изучении процессов разделения. При этом наиболее существенное значение имеет исследование локальных закономерностей около тех точек диаграммы, которые являются особыми для дифференциальных уравнений процессов поверхностного разделения. Такие точки для системы (11.4) отвечают условиям x°=Xi ( =1, 2,. .., п— ), и в них нарушается непрерывность поля направлений. Важность исследования линий поверхностного разделения в окрестности особых точек обусловлена тем, что около них поведение траекторий процесса наиболее сложно и, кроме того, знание поведения линий поверхностного разделения только в окрестности особых точек позволяет качественно предсказать всю диаграмму поверхностного разделения. [c.31]

Для правомерности замены полной системы уравнений вырожденной необходимо, чтобы независимо от начальных условий изображающая точка полной системы быстро переходила на изоклину вертикальных касательных F(x,y) = 0. Это означает, что начальные условия Хо должны попасть в область влияния особой точки присоединенного уравнения г dx/dt = F[x,y), поскольку особые точки этого уравнения как раз расположены на кривой F x,y) = 0. Иными словами, необходимо, чтобы решение х = х у) алгебраического уравнения F x,y) = О было в то же время устойчивой изолированной особой точкой присоединенного дифференциального уравнения edx/dt = F x, у) при всех значениях у, где у уже играет роль параметра (теорема А. Н. Тихонова, 1952). [c.52]

До сих нор рассматривались методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, когда начальное условие задано только в одной точке а = Жц. Решение таких уравнений обычно не вызывает особых затруднений. [c.379]

Решение подобных дифференциальных уравнений в частных производных для нестационарного потока жидкости в трубопроводе в общем случае очень трудно, и даже если бы это решение удалось получить, то оно не имело бы практической ценности из-за его сложности. Учитывая сказанное, будем проводить расчет передаточных функций длинного трубопровода для некоторых особых случаев, рассматриваемых с точки зрения их значения для динамики регулируемых систем. [c.175]

Для систем, изучаемых в статистической термодинамике, фазовое пространство имеет очень большое число измерений. Так, для одного моля одноатомного газа, состояние которого определяется ЗЛ д координатами и ЗЛ/д импульсами, фазовое пространство будет иметь бЛ д, т. е. - 36 10 измерений. Естественно, что для таких систем нельзя ни определить экспериментально положение фазовой точки (микросостояние) в данный момент времени, ни проинтегрировать дифференциальные уравнения механики. Это и вызывает необходимость применения особых методов статистической механики, которые заключаются в рассмотрении множества микросостояний, совместимых с заданными внешними условиями, и вычислении по этому множеству средних значений физических величин. [c.286]

К недостаткам метода дифференцирования по параметру следует отнести возможность в некоторых случаях при решении системы дифференциальных уравнений на интервале О с с 1 встретить особые точки, обход которых связан с усложнением вычислительной схемы. [c.73]

Согласно теореме Коши о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений (в интересующем нас случае - обыкновенных), через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория (интегральная кривая), наклон которой в этой точке определяется уравнениями (8.131). Это не имеет места только в особых точках, для координат и, 2 ,.. ., х , где одновременно [c.231]

Химическую реакцию можно выразить соответствующей математической моделью, решения которой должны согласовываться с экспериментально наблюдаемым поведением данной химической системы. Кроме того, если некоторые решения будут описывать поведение системы, не наблюдавшееся до сих пор, необходимо поставить эксперимент так, чтобы получить предсказываемое моделью поведение системы и тем самым подтвердить правильность математической модели реакции. Динамические системы, такие, как химические реакции, моделируются дифференциальными уравнениями. Состояния химического равновесия представляют собой устойчивые особые точки, соответствующие решениям системы дифференциальных уравнений, моделирующей реакцию. Решения моделей могут изменяться как угодно в зависимости от вида дифференциальных уравнений. Кроме решений, соответствующих устойчивым состояниям, могут быть и решения периодические. Хотя в реакциях наблюдаются различные виды колебательного поведения, эти [c.7]

Бифуркационный анализ. Так как дифференциальные уравнения достаточно просты, они могут быть непосредственно использованы в бифуркационном анализе. Единственная особая точка системы при А+Х У—X—ВХ=0 и ВХ—Х =0 соответствует значениям Хо==А и о = В1А. [c.52]

Во всех точках пространства, где р и отличны от нуля, имеются регулярные решения дифференциального уравнения (7) и через каждую точку (xq, у о) проходит лишь одна интегральная кривая этого уравнения у = у(х уо, xq). Точки же, где и числитель, и знаменатель в правой части (7) одновременно обращаются в нуль, носят название особых точек, причем в зависимости от поведения и р при стремлении (дг, у) к особой точке (xq, уо) можно ввести дополнительную информацию о характере интегральных кривых. [c.488]

Анализ дифференциального уравнения (IV.2) с граничными условиями (IV.3) — (IV.6) показывает, что при х = г кривая y = f x, а, 0) имеет особую точку. При определенных значениях х = г предельные значения функции y = f(x, а, 6), существующие слева и справа от х = г, могут быть не равны между собой, так как значения y = f (x, а, 0) слева определяются поверхностным натяжением на границе кристалл — расплав ви а справа— поверхностным натяжением на границе расплав — среда выращивания Ста, которые имеют разные значения. [c.104]

Закономерности, свойственные окрестностям особых точек, можно назвать локальными. Для исследования локальных закономерностей воспользуемся одним из методов качественной теории дифференциальных уравнений, а именно подберем систему дифференциальных уравнений, имеющую те же качественные свойства, что и система (П,3), но более простую, затем с помощью найденной приближающей системы изучим свойства рещений системы (11,3) в окрестности ее особых точек. [c.25]

Проведем общее исследование особых точек для системы второго порядка. Имеем два нелинейных дифференциальных уравнения [c.489]

I =оо указывают на то, что уравнение (3.67) обладает существенно нелокальными свойствами. Остановимся на этом моменте более подробно. Рассмотрим для определенности малую окрестность особой линии = 0. Напомним, что на этой линии (3.67) вырождается в обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение, решением которого является функция /(f,. 0). В окрестности линии J = О можно построить ряд Тейлора по переменной дпя искомого решения/( ,. Коэффициенты этого ряда зависят от переменной f и также удовлетворяют обыкновенным интегро-дифферен-циальным уравнениям. Однако в общем случае такое решение ле будет удовлетворять условию (3.71) и будет особым в окрестности линии f =< . Так, не исключен случай, когда lim 7 = lim / = < . Отсюда вытекает [c.111]

Поведение решений системы (X, 1) вблизи рассматриваемой особой точки определяется свойствами системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (X, 4). Решение последней по общему правилу ищут в виде [c.433]

Из качественной теории дифференциальных уравнений известно, что при определенных условиях свойства решений систем (И, 5) и (И, 8) в окрестности особой точки оказываются одинаковыми. Указанные условия будут, например, выполнены [16], если характеристическое уравнение относительно Я, [c.26]

Теорема о корнях характеристического уравнения в качестве следствия обосновывает возможность применения системы первого приближения (П,8) для исследования поведения дистилляционных линий. Фактически следствие можно сформулировать в более развитом виде, так как свойства систем типа (И,8).хорошо изучены в качественной теории дифференциальных уравнений. В частности, известно [16] если корни характеристического уравнения вещественны и не равны нулю, то особые точки системы [c.31]

Особые точки 4-компонентных систем, расположенные на границе концентрационного тетраэдра, рассмотрены выше. Перейдем к обсуждению поведения дистилляционных линий в окрестности внутренних особых точек тетраэдра, т. е. выясним возможные типы 4-компонентных азеотропов [22], В 4-компонентном азеотропе концентрации х°, х , х , х° отличны от нуля и никаких упрощений в системе дифференциальных уравнений (III, 1) может не быть. Исследование системы (III, 1) по обычному образцу вполне возможно, но довольно громоздко. Отметим, однако, что в данном случае оно не является необходимым, так как для внутренних особых точек отпадает специфика, связанная со способом размещения особой точки на границе тетраэдра. Поэтому для изучения свойств решений системы (III, I) выгодно сразу воспользоваться известными результатами качественной теории дифференциальных уравнений [16]. [c.46]

Поведение дистилляционных линий около особых точек в -компонентных системах можно выяснить с помощью системы дифференциальных уравнений [c.54]

Бифуркационный анализ этой системы подробно разобран в работе Рея [87]. Решениями системы являются три особые точки и предельные циклы, характеризующие колебательное поведение реакции. Следует отметить, что математическая модель системы гликолиза, изученная Сельковым, дает очень похожие (топологически) на получаемые в модели ППР три особые точки и предельные циклы, хотя и сами системы, и дифференциальные уравнения их моделей весьма различны (см. разд. 3.5). [c.28]

Рассмотрим варианты, которые могут представиться, когда особая точка соответствует -компонентному азеотропу и является, следовательно, внутренней точкой концентрационного симплекса. При этом нет необходимости проводить интегрирование системы (HI, 16) и можно воспользоваться, как и ранее, результатами [16] из теории систем дифференциальных уравнений. [c.54]

Для каждой особой точки диаграммы можно составить определитель, образованный из коэффициентов [см. соотношение (И, 10)] дифференциальных уравнений первого приближения [c.105]

Остановимся, прежде всего, на понятии об особых точках дифференциальных уравнений непрерывной ректификации. Будем относить к особым те точки диаграммы интегральных кривых, в которых dxiIdH = dyiIdH = О, i=l, 2,. .., n—l. В ректификационных колоннах достаточной высоты (эффективности) с наличием особых точек связано образование зон постоянного или почти постоянного состава. Условие возникновения особых точек будет вы- полнено в следующих случаях 1) для всех компонентов /С /ст, = 1, причем y] = Vi и = 2) для части компонентов K o фl, но у[ = у, = 0 и л = л , = 0, а для части — справедливо равенство Первый случай соответствует особой точке, лежащей внутри концентрационного симплекса, второй — особой точке, расположенной на одном из его граничных элементов. [c.137]

Выше при анализе поведения системы в окрестности особой точки применяли линеаризованные дифференциальные уравнения, поэтому при неустойчивой системе колебания, возникающие в ней, будут неограниченно возрастать. Однако в нелинейной системе могут установиться автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствуют устойчивые предельные циклы. Предельным циклом называют изолированную замкнутую фазовую траекторию, т. е. такую траекторию, в сколь у1одно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем а сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям. [c.182]

Если определить модель по требованиям экономичности работы с ней и возможности переноса данных на оригинал, то в конце концов несущественно, какими средствами это достигается. Так возникает математическая модель. Такая модель в простейших случаях бесспорно выгодна гораздо проще и дешевле считать, чем моделировать и экспериментировать. Однако по мере усложнения процессов усложняются и их модели, и наступает момент, когда точные расчеты делаются не под силу ни человеку, ни даже машине (ЭВМ). Особо сложные математические модели и описывающие их системы нелинейных дифференциальных уравнений (например, для процесса смешения эластомеров [62]) могут успешно решаться с разумной точностью с помощью аналоговых вычислительных машин (АВМ) с соответствующей подстройкой по данным лабораторного эксперимента коэффициентов интегросуммирующих и функциональных блоков, [c.47]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология