Интеграл контурный

Матвиенко Ю.Г. Экспериментально-расчетный метод определения контурного интеграла //Заводская лаборатория. - [c.106]

Изображение произведения двух функций fi(i) и fi(0, которым отвечают изображения Fi(s) и p2(s), получим, вычисляя контурный интеграл [c.593]

Сущность метода состоит в интегрировании уравнения (1.45) по одной из переменных после умножения на соответствующее ядро интегрального преобразования. Так, при умножении на ехр(—рт), где р — некоторое произвольное комплексное число, и интегрировании по времени от нуля до бесконечности (преобразование Лапласа) уравнение (1.45) преобразуется в уравнение в полных производных, но относительно некоторой новой искомой функции — изображения искомой концентрации, которое оказывается функцией только координаты. После аналогичного интегрального преобразования граничных условий определяется вид дифференциального уравнения для изображения и его правая, неоднородная часть, получающаяся из функции, соответствующей неравномерному начальному распределению концентрации в твердом теле. Неоднородное уравнение решается, после чего совершается обратный переход от изображения к искомой концентрации целевого компонента. Основная трудность при использовании метода интегральных преобразований состоит в математической процедуре этого обратного перехода. Правда, в большинстве стандартных случаев оказывается возможным использовать существующие таблицы обратного перехода, но в общем случае необходимо совершать операцию вычисления контурного интеграла на комплексной плоскости [5]. [c.54]

Следует отметить, что истинные кривые интенсивности поглощения или испускания можно получить лишь в том случае, если внесены поправки на все ошибки, связанные с аппаратурой, в виде так называемой аппаратурной функции F (X). Для данного прибора эта функция определяется как распределение бесконечно узкой спектральной линии, даваемое его детектором. Экспериментальные кривые /(X) и [л(Х) можно представить в виде контурного интеграла истинных кривых и функции F(l). Функция F никогда не известна точно, однако в случае двухкристального спектрометра 5 [c.131]

Неожиданности начинаются, когда под знаком контурного интеграла оказывается аналитическая функция. В этом случае интеграл по замкнутому контуру равен нулю, если функция аналитична во всех точках контура и внутри него Благодаря указанному свойству интеграл по незамкнутому контуру можно деформировать в широких пределах, не изменяя его величины. Во многих случаях это позволяет вычислять или исследовать обычные вещественные интегралы, например оценивать их или находить для них асимптотические формулы. Можно также получать неожиданные равенства между вещественными интегралами, совершенно не похожими друг на друга. [c.71]

Кручение — еще одна характеристика ленты. Чтобы определить этот параметр, проведем осевую линию, проходящую по поверхности ленты и равноудаленную от ее краев. Для любой точки осевой линии определим х как вектор, направленный по касательной к этой линии в данной точке. Пусть другой единичный вектор и перпендикулярен х и задает прямую, пересекающую оба края ленты (рис. Г). Величина кручения определяется величиной угла поворота и относительно х при движении вдоль ленты. Полное кручение Т есть результат интегрирования угла закручивания на всем протяжении ленты, деленный на 2т. Если через ы мы обозначим угловую скорость (на единицу длины осевой линии) поворота вектора и относительно х, а через — приращение длины этой линии, то Т будет представлять собой контурный интеграл [c.392]

Энергию интегрального за год взаимодействия в системе уровень—атмосферное давление за счет нормальных напряжений характеризует контурный интеграл (3.63) [260]. На рнс. 5.20 представлены результаты расчета (3.63) для северных частей океанов. Зоны максимальных значений 8 г Ра) приурочены к краевым районам океана в средних широтах и, как правило, соответствуют ЭАО. В этом смысле зоны максимумов 3(г Ра) можно считать механическими ЭАО. Область положительных значений 5(т]Ра) занимает центральную часть всех океанов и вытянута вдоль меридиана. Здесь значительно уменьшается динамический компонент годовых колебаний уровня и последние определяются в основном стерической составляющей, которая имеет одинаковый знак и близкую фазу на одной широте. В результате фазовый сдвиг между уровнем и давлением в центральных районах океанов меняет знак по отношению к краевым областям. [c.238]

Посмотрим, как выражение для (0 стремится к своему граничному значению при Для этого надо оставить п(0 записанным в виде контурного интеграла. Он равен тождественно интегралу, действительно вычисленному вдоль контура по ф (т. е, найденному ие с помош,ью теории вычетов), минус тот вычет. [c.280]

Приравнивая (П.3.5) и (П.3.6) и используя формулу преобразования контурного интеграла в интеграл по площади [c.22]

Вычислим контурный интеграл (9) при следующих условиях (5) [c.440]

Так как аналитическая функция по существу полностью определяется характером и распределением ее особых точек, то можно высказать суждения о поведении различных функций, имеющих сложные интегральные представления например, по особым точкам изображения по Лапласу можно судить об асимптотическом поведении оригинала, не прибегая к вычислению соответствующего контурного интеграла. [c.523]

Контурный интеграл обладает свойствами обычных вещественных криволинейных интегралов. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла интеграл от суммы функций равен сумме [c.525]

Перейдем теперь к случаю, когда вычисление вещественного интеграла приводится к вычислению контурного интеграла от многозначной функции. Рассмотрим интеграл [c.543]

Итак, будем вычислять контурный интеграл [c.545]

Если же решение некоторой задачи получено в виде контурного интеграла, который не вычисляется в конечном виде, то теория вычетов дает возможность выразить этот контурный интеграл через обычные интегралы по действительной переменной. Такое интегральное представление решения часто делает более обозримым его поведение и облегчает численные расчеты. [c.548]

Этот контурный интеграл может быть легко преобразован в вещественный интеграл интегрированием подынтегрального выражения по контуру, состоящему из отрезка мнимой оси, разреза, соединяющего точки ветвления 5 = 0и5 = оо, и левой полуокружности (рис. 15.14). Так как внутри этого контура подынтегральная функция не имеет особенностей, то искомый интеграл равен просто интегралам вдоль берегов разреза (интегралы по полуокружности исчезают., согласно лемме Жордана, при стремлении радиуса полуокружности к бесконечности). Имеем [c.549]

Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, вка-ком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл. При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контурном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде. [c.550]

Полученные предельные соотношения позволяют по известному изображению F s), не вычисляя контурного интеграла, обращающего преобразования Лапласа, определить значения функции f (х) при т = О и 1= сю, если известно, что /(+0) и /(оо) существуют. В задачах теории теплопроводности существование этих значений может быть часто установлено из физических соображений. Например, если из условий задачи очевидно существование стационарного температурного поля, то оно может быть определено по изображению решения с помощью соотношения (2). [c.554]

Наиболее ценными для нас были бы теоремы, которые позволили, бы по известному изображению F (s), исходя из его аналитических свойств, т. е. по положению и характеру особых точек, определить без вычисления соответствующего контурного интеграла асимптотическое поведение оригинала f (х) при оо. [c.563]

Теорема об асимптотическом разложении оригинала по известному разложению изображения особенно важна в тех случаях, когда последнее имеет очень сложный вид и соответствующий контурный интеграл не может быть вычислен. [c.570]

Матрица плотности Р для достаточно широкого класса молекул с точностью до коэффициента совпадает с оператором проектирования Е на подпространство, натянутое на собственные векторы, соответствующие. положительным собственным числам матрицы А. Оператор проектирования В является простейшей фушщией от матрицы А. Если РСк)—функция от комплексного параметра X, анал итичная в окрестности точек спектра 2 , то матрица может быть представлена в виде контурного интеграла [c.47]

Интеграл (95) вычисляется с помощью контурного интегрирования для электролитов, содержащих ионы двух различных видов. Хотя следует заботиться о сходимости ввиду наличия дальнодей-ствующих кулоновских сил, тем не менее возникающие трудности могут быть преодолены. Для радиальных функций распределения получаются следующие формулы [c.32]

Контурные интегралы такого вида тесно связаны с преобразованием Лапласа. При больших значениях параметра (Rea-> + oo) подынтегральное выражение в (27) будет очень быстро колебаться из-за наличия в нем множителя eiim[a/t(z)] изменяющегося с частотой, пропорциональной а. Эти колебания делают практически невозможным прямое вычисление интеграла (27). Поэтому естественно попытаться деформировать контур интегрирования, не пересекая особых точек и, следовательно, не меняя значения интеграла согласно теореме Коши таким образом, чтобы свести к минимуму колебания подынтегральной функции, особенно на тех участках, которые вносят наибольший вклад в интеграл. Значение интеграла будет, очевидно, определяться тем участком контура интегрирования С, на котором модуль = е е[аЛ(г) будет принимать наибольшие из возможных значений. [c.561]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология