Сглаженные спектральные оценки

Равенство (3 2 21) является важным результатом, который будет использован в гл 6 для вычисления ковариации между сглаженными спектральными оценками [c.99]

Оно называется выборочной сглаженной спектральной оценкой на частоте f [c.289]

Отсюда сглаженная спектральная оценка равна [c.292]

Следовательно, разделение записи длины Т па к частей длины М = — Т1к каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6 3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна [c.292]

Спектральные окна и сглаженные спектральные оценки [c.293]

МЫСЛЬ О том, чтобы рассмотреть более общие сглаженные спектральные оценки вида [c.294]

Это спектральное окно представляет собой прямоугольник в частотной области, щирина которого равна h, таким образом, ширина полосы частот этого окна Ь = h Из (6 4 13) получаем дисперсию сглаженной спектральной оценки, использующей это спектральное окно. [c.309]

Математическое ожидание сглаженной спектральной оценки. [c.297]

Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок 299 [c.299]

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК [c.299]

Ковариация сглаженных спектральных оценок [c.300]

В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (52 6)), что любой случайный процесс (X(i) со спектром Ухх(П можно представить в виде белого шума Z (г ), пропущенного через линейный фильтр Воспользовавшись этим фактом и формулами разд 6 3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок [c.300]

Ковариация сглаженных спектральных оценок. Из (6 3 30) сглаженную спектральную оценку Схх if) для процесса X (t) можно записать в виде [c.302]

Равенство (6 4.11) показывает, что ковариация сглаженных спектральных оценок пропорциональна площади перекрытия спектральных окон с центрами в /i и /г- Следовательно, если спектральные окна почти не перекрываются, ковариация будет очень малой Некоторые численные значения для ковариаций сглаженных спектральных оценок при использовании различных окон будут даны в разд 7 2. [c.303]

Дисперсия сглаженных спектральных оценок. Если /,=/2=/, то (6 4 10) сводится к [c.303]

Это показывает, что дисперсию сглаженной спектральной оценки можно уменьшить, выбрав точку отсечения М корреляционного окна малой. Но, как указывалось в разд. 6.3 5, при уменьшении М увеличивается смещение, искажающее теоретический спектр, так как спектральное окно при этом расширяется. В таком случае, как показывает формула (6 4 10), спектральные оценки на соседних частотах будут сильнее коррелированы из-за более полного перекрытия спектральных окон Поэтому точный выбор М является очень важным вопросом. Этот вопрос обсуждается в гл. 7 Заметим, что поскольку Var[Схл-(/)] величина [c.303]

Было сделано несколько попыток определить сглаженные спектральные оценки, которые были бы оптимальны в некотором смысле Идея такого подхода состоит в выборе такого корреляционного окна т и) на интервале которое минимизировало бы некоторую величину, характеризующую погрешность оценки Обычно еще накладывают практическое ограничение г ) и) =0 при ы > М, для того чтобы вычислять ковариации лишь до запаздывания М Так как большая часть времени при вычислениях уходит на подсчет ковариаций, то представляется разумным выбирать М малым по сравнению с длиной записи Т. Один критерий оптимальности корреляционного окна, упоминавшийся в разд 6 3 5, заключается в минимизации среднеквадратичной ошибки [c.24]

Дисперсия сглаженной спектральной оценки [c.27]

Влияние изменения формы окна при фиксированной точке отсечения можно проиллюстрировать, построив график коэффициента корреляции между сглаженными спектральными оценками н частотах /ь 2 Из (6 4 11) этот коэффициент корреляции равен [c.34]

Ковариационную матрицу сглаженных спектральных оценок можно вывести с помощью матрицы (9 1 22) Например, для больших Г из (9 1 22) следует, что [c.137]

Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спектра когерентности и фазового спектра Эта последняя матрица выводится в следующем разделе [c.138]

Рис. 3-3. Графическая иллюстрация получения сглаженной спектральной оценки при помощи весовой функции.

Ковариацию сглаженных спектральных оценок можно получить следующим образом Так как [c.180]

Формулой (П9 I 27) можно воспользоваться для вывода обобщенной матрицы ковариаций сглаженных спектральных оценок Как отмечалось в разд 9 2 1, эта матрица совпадает с матрицей (9 1.22), за исключением того, что множитель W (—) надо заменить на I T, где [c.182]

Наконец, взяв аналогичную (10 3 12) формулу для сглаженных спектральных оценок, можно найти сглаженную оценку спектра щума [c.198]

Сглаженные оценки наименьших квадратов. Уравнения для сглаженных оценок частотных характеристик получаются при замене спектральных оценок в (114 37) на соответствующие сглаженные оценки Аналогичным образом получаются из (11 4 39) или из (114 40) сглаженные спектральные оценки остаточных ошибок [c.263]

Учитывая, что подробное обсуждение сглаженных спектральных оценок, проведенное в гл. 3, в целом остается справедливым и для оценок, получаемых по дискретным данным, а специфика образования соответствующих дискретному представлению оценок спектральной плотности достаточно ясна из примера рассмотрения усеченной оценки, приведем без доказательства основные результаты теории для наиболее распространенных видов сглаженных спектральных оценок. [c.109]

В табл. 5-1 для различных видов сглаженных спектральных оценок приведены формулы, характеризующие [c.199]

Корреляционная функция сглаженной спектральной оценки 00 [c.229]

Один общий класс сглаженных спектральных оценок. Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6 3.27). Это наводит на [c.293]

Предположим, например, что точка отсечения М равна 0,1Г. Тогда для окна Бартлетта //Г = 7з (0,1) = 0,067. Следовательно, беря точку отсечения на расстоянии 10% длины записи, мы снизим дисперсию сглаженной спектральной оценки до 6,77о от дисперсии оценки, соответствующей выборочному спектру. Соответствующие величины для окон Тьюки и Парзена равны 7,5% и 5,4% соответственно Следовательно, при фиксированном М из трех рассматриваемых окон наименьщую дисперсию дает окно Парзена. Это объясняется тем, что, как видно из рис 6 13, окно Парзена является более широким и плоским, чем два остальных В результате оно приводит к большим смещениям. Поэтому сравнения окон, сделанные только с учетом дисперсии, могут ввести в заблуждение, как мы увидим позднее [c.304]

Схх Ф1Гхх ( ) распределена приближенно как с V степенями свободы, где v>2 Это означает, что сглаженные спектральные оценки будут иметь гораздо больше степеней свободы, чем оценка, соответствующая выборочному спектру, что приводит к уменьшению их дисперсии [c.305]

Таким образом, сглаженная спектральная оценка является взвешенной суммой случайных величин Схх(112Т) на субгармонических частотах II2T. Эти случайные величины распределены как t двумя степенями свободы Следовательно, пользуясь результатами разд 3 3 5, распределение величины xxif) можно приблизить с помощью распределения величины ах ,. где а — константа, и [c.305]

В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В разд. 7.1.1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик. Затем в разд. 7.1.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция rxj (/) сравнивается с Txx(f) и xxif) с Гл (/) в случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка. Чтобы подготовить приведенное в разд. 7.2 [c.7]

Простую интерпретацию формулы (7 3 4) можно получить, рассматривая сглаженные спектральные оценки, отстоящие по частоте на ширину полосы частот Ь спектрального окна Ковариация этих оценок приблизительно равна нулю, так как при таком расстоянии по частоте спектральные окна почти не перекрываются Поэтому число независимых сглаженных спектральных оценок в полосе частот от О до 1/2А равно ( /2А)Ь = Ь 2Ь, так что Ь = Ь ГА Однако несглаженные спектральные оценки, отстоящие на 1/Г = 1/Л Д, распределены как независимые х -величины с двумя степенями свободы Поскольку в интервале от О до 1/2А содержится 7 /2А таких независимых несглаженных оценок, полное число степеней свободы, относящееся к каждой сглаженной оценке (тек каждому оцениваемому значению спектра), равно V = 2(7 /2А)/(1/2б1) = 2b NjL Следовательно, N = v ./2Ьl [c.37]

Ковариация сглаженных спектральных оценок. Сглаженная спектральная оценка Сг] () получается из СгзЦ) с помощью равенства [c.180]

ЗхдЦг) уменьшается с ростом Т. Это обстоятельство лежит в основе построения сглаженных спектральных оценок вида [c.122]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология