Два уравнения Шредингера. Описание состояния

Количественная теория химической связи развивается в настоящее время на основе выводов и методов квантовой механики. Теория ковалентной связи, предложенная Гейтлером и Лондоном (1927) первоначально для описания молекулы Нг, при дальнейшем развитии получила распространение и на другие случаи ковалентной связи. Она описывает ковалентную связь, рассматривая состояние электронов данной электронной пары с помощью уравнений волновой функции Шредингера. Такое рассмотрение получило название метода валентных схем (ВС) или метода локализованных электронных пар. Можно показать, что при образовании связи с помощью -электронов необходимо, чтобы электро- [c.66]

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что для описания состояния каждого электрона в атоме необходимо че- [c.48]

Совершенно иная картина получается при рассмотрении вопроса с квантово-механической точки зрения. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к системе волновых функций, которые являются математическим описанием состояния системы, и к ряду энергетических уровней, определяемых простым выражением [c.294]

Подведем итог сказанному. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же важную роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Описание состояния частицы в квантовой механике характеризуется волновой функцией у, являющейся решением уравнения Шредингера (3.9). Эта функция описывает стационарное состояние, указывая распределение вероятности нахождения частицы в пространстве, не зависящее от времени. Плотность вероятности определяется квадратом модуля нормированной функции lyi . Каждому стационарному состоянию физической системы отвечает определенное значение энергии, вследствие чего для частицы или. системы частиц существует набор физически допустимых значений энергии. Существование стационарных состояний и прерывность значений энергии в квантовой механике являются следствием волновых свойств частиц, а не постулатом, как в теории Бора. [c.16]

Два уравнения Шредингера. Описание состояния [c.14]

Уравнение Шредингера описывает состояние электрона в трехмерном пространстве. В соответствии с этим состояние электрона задается посредством трех квантовых чисел. Однако электроны обладают еще и спином, который не связан с движением в трехмерном пространстве, но может иметь различные независимые ориентации. Поэтому спиновое число вводится как дополнительная и независимая характеристика состояния электрона. Таким образом, полное описание состояния электрона осуществляется с помощью набора четырех квантовых чисел п, I, т., т . Поскольку может принимать значения -1- и-- одинаковых п, I, т могут быть [c.38]

Добавление второго электрона к молекулярному иону приводит к появлению в гамильтониане члена, соответствующего отталкиванию электронов, что затрудняет прямое решение уравнения Шредингера. Для водорода и более сложных молекул нужно прибегнуть к приближенному решению. Обычно используемое приближение аналогично по операции методу, описанному в гл. 2, когда электронная структура атомов строится с применением атомных волновых функций в виде произведения водородоподобных АО. Аналогично для молекулы водорода в первом приближении опускают член, соответствующий отталкиванию движущихся электронов, так что в уравнении Шредингера оказывается возможным разделить координаты двух электронов. Это приводит к двум уравнениям, эквивалентным уравнению молекулярного иона водорода. На основе этого волновые функции Нг и более сложных двухатомных молекул могут быть представлены произведением соответствующих орбиталей Н . Например, если в приближении ЛКАО используют волновые функции для водорода в основном состоянии, получается выражение [c.126]

Решением уравнения Шредингера для водородо подобного атома является функция (4.3). Эта одноэлектронная волновая функция х называется атомной орбиталью (АО). Атомная орбиталь дает описание состояния электрона в водородоподобном атоме. Это состояние задано тремя квантовыми числами и, / и т , от которых зависят множители в (4.3) и сама функция (4.3) [c.21]

Общепринятая интерпретация волн де Бройля дана Бором (1926), Согласно этим представлениям описание состояния частицы в квантовой механике дается посредством волновой функции 11з, являющейся решением уравнения Шредингера. При этом квадрат ее, умноженный на элемент объема, определяет вероятность обнаружения частицы в этом объеме. [c.47]

Решения уравнения Шредингера, пригодные для описания поведения электрона в атоме, должны удовлетворять целому ряду требований (условие конечности и непрерывности волновой функции, однозначности решения и др.). В силу этих требований уравнение Шредингера можно решить точно лишь для очень простых систем, например для атома водорода. Волновые функции, для которых уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие необходимым требованиям, называются собственными функциями. Каждое из них описывает состояние (орбиталь), в котором в атоме могут находиться два электрона. Число решений указывает, сколько существует орбиталей с данной энергией. Орбитали определяются набором квантовых чисел п, I и т. [c.17]

В отличие от упомянутых в предыдущем параграфе модельных, наглядных представлений о химической связи квантовомеханический подход есть способ математического описания состояния (энергетического, пространственного) электрона в той или иной-системе (атоме, молекуле, кристалле и т. п.). Естественно, что может существовать и на самом деле существует несколько математических методов решения одной и той же квантовомеханической задачи о движении электрона. Эти методы не очень строго называют теориями химической связи, хотя они тождественны в своей физической основе и опираются на один и тот же расчетный аппарат волновой механики при этом, однако, различаются исходные позиции и из-за вынужденной приближенности расчетов (как уже отмечалось в гл. 4, уравнение Шредингера точно решается в настоящее время только в случае одноэлектронной задачи) отличаются количественные результаты, получаемые при различных степенях приближения. Поэтому в зависимости от объекта рассмотрения (конкретной молекулы) или поставленной задачи используются разные более или менее равноправные методы. Здесь будут рассмотрены два из них метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО) первый благодаря его большей наглядности и связи с предыдущими теориями хид и-ческой связи, в частности с теорией Льюиса—Ленгмюра электронных пар, а второй — из-за лучшего описания строения и свойств, молекул при использовании его простейшей формы. [c.107]

Расчет волновой функции я]5, т. е. полное описание состояния электронного облака, в квантовой физике осуществляется с помощью уравнения Шредингера [c.39]

Выяснилось, что процессы Оже играют большую роль не только в рентгеновской области, но также в области оптических спектров атомов и молекул, спектров твердого состояния вещества, в ядерной физике и даже в физике элементарных частиц. Следует подчеркнуть, что представления о резонансе Ферми (или возмущениях) и о процессе Оже оказались бы излишними, если бы можно ыло всегда работать с точными решениями строгих уравнений Шредингера для рассматриваемых здесь систем. Однако для понимания наблюдаемых явлений и их упрощенного описания эти. представления все же имеют важное значение. [c.179]

Для описания переходов между состояниями подсистемы Q необходимо решать нестационарное уравнение Шредингера [c.93]

Итак, существуют три мира явлений. Мир одних, провозглашенный в физике Ньютоном в 1687 г., качественно неизменен. Мир других, провозглашенный в термодинамике Клаузиусом в 1850 г., деструктивен. И, наконец, мир третьих, провозглашенный в биологии Дарвиным в 1859 г. и в естествознании Пригожиным в 1980 г., созидателен и склонен к эволюционному саморазвитию. Три мира - три научных мировоззрения - три языка, на которых человечество одновременно ведет диалог с природой. Явления первой и второй групп, как уже отмечалось, подчиняются принципиально разным законам природы (детерминистическим и статистическим соответственно), совокупности которых образуют их научные фундаменты. Представления, выработанные для описания явлений одной группы, не могут быть использованы для описания другой. Так, термодинамические функции состояния (температура, энтропия, свободная энергия и др.) теряют смысл для объектов и явлений, изучаемых классической физикой и квантовой механикой. В то же время такие физические понятия, как координаты, импульсы и траектории движения микрочастиц, волновая функция, уравнение Шредингера и др., неприемлемы для равновесной термодинамики. Явления третьей, промежуточной, группы не потребовали для своего описания раскрытия новых фундаментальных законов природы. Новизна рождающихся в результате статистико-детерминистических процессов структурных образований не в особых, ранее неизвестных свойствах микроскопических элементов, а в макроскопических организациях этих элементов с упорядоченной системой связей. Качественные изменения, происходящие при спонтанном переходе системы от хаоса к порядку, возникают благодаря кооперативному эффекту, проявляющемуся в процессе реализации возможностей микроскопических [c.23]

Если изучаемая система имеет стационарные состояния, то для их описания можно воспользоваться не зависящим от времени уравнением Шредингера [c.120]

С помощью оператора Гамильтона Н М0Л Н0 проследить за непрерывным изменением состояния от Фа (—оо) до Ч а(оо). Гайзенберг высказал мнение, что такое подробное описание не является необходимым. Для описания процессов рассеяния и реакций достаточно знать асимптотическое поведение волновых функций до столкновения и после него, когда сталкивающиеся и разлетающиеся частицы являются свободными. В этом случае можно отказаться от уравнения Шредингера и понятия гамильтониана н рассматривать равенство (118,1) как определение оператора 5. При таком подходе оператор 5 и его матричные элементы, с помощью которых вычисляются вероятности различных процессов, являются основными величинами теории. Пока еще не удалось на этой основе построить последовательную теорию (без введения уравнения Шредингера), способную описать как реакции, так и все связанные состояния. По-видимому, теория, содержащая только 5-мат-рицу, не будет достаточно полной. [c.551]

Основой квантовомеханического описания состояния атомов служит уравнение Шредингера (1926 г.) —дифференциальное уравнение в частных производных для функции состояния или волновой функции Ч. Для стационарных, т. е. не зависящих от времени, состояний частицы, например электрона, оно имеет вид [c.401]

Теория многоэлектронных атомов. Точное решение уравнения Шредингера не получено для атома с двумя и более электронами. Орбитали многоэлектронных атомов отличаются от орбиталей атома водорода. Однако можно ожидать, что их число и характер угловых частей будут тождественны орбиталям атома водорода. Поэтому при описании электронного строения многоэлектронных атомов используются орбитали атома водорода, заполняющиеся в порядке уменьшения их стабильности электронами данного атома в соответствии со следующими правилами ) каждую орбиталь могут занимать не более двух электронов с противоположно направленными спинами (принцип Паули) 2) на орбиталях с одинаковой энергией размещается сначала по одному электрону с одинаковым спином, так как при этом достигается более стабильное состояние вследствие того, что энергия взаимного отталкивания электронов будет меньше. [c.17]

Интеграл К определяет так называемую обменную часть энергии взаимодействия и носит название обменного интеграла. Эта часть электростатического взаимодействия электронов не может быть наглядно истолкована, так как обменная энергия не имеет аналога в классической электродинамике. Наличие двух членов в выражении для энергии электростатического взаимодействия электронов, чисто кулоновского и обменного, связано с тем, что описание атома уравнением Шредингера не является точным. Уравнение Шредингера не содержит спинов. Последние учитываются лишь косвенным образом. Накладывая требование антисимметрии на полную волновую функцию системы электронов, мы выделяем для каждого значения 5 только часть состояний движения, допускаемых уравнением Шредингера. Так, спину 5=г1 соответствует антисимметричная координатная волновая функция Ф , а 5 = О — симметричная Ф" . [c.156]

Если отбросить последний интегральный член в левой части уравнения, то оставшееся уравнение можно рассматривать как уравнение Шредингера для электрона во внешнем потенциальном поле и поле остальных электронов. Первый интегральный член представляет собой как бы потенциальную энергию электрона в поле его партнера, находящегося в том же состоянии, а Ур — потенциальную энергию от всех прочих электронов, размазанных с плотностью р. Подобные уравнения были получены впервые Хартри (см. раздел 8 гл. XIV) на основании наглядных представлений без установления связи их с уравнениек Шредингера в конфигурационном пространстве. Уравнения с добавочным интегральным членом, вносящим энергию квантового обмена, получены Фоком и названы им уравнениями самосогласованного поля с обменом. Им же было показано, что уравнения Хартри также могут быть обоснованы путем вывода их из вариационного начала, если волновую функцию системы брать в форме произведения одноэлектронных функций. Таким образом, наличие обменных членов есть следствие надлежащей симметрии волновой функции, следуемой из принципа Паули. В методе Фока достигается наибольшая точность описания, совместимая с представлением об одноэлектронных состояниях в системе. [c.419]

Спиновые квантовые числа не требуются для решения уравнения Шредингера, но необходимы для однозначного описания состояния электронов в атоме. [c.17]

Довольно значительное количество исследований энергетических спектров электронов в тугоплавких соединениях было выполнено методом сильной связи (ЛКАО), основанным на предположении о сильной локализации всех валентных электронов вблизи ядер. Не касаясь существа этого метода, детально описанного во многих специальных руководствах (см., например, [19—21]), отметим лишь, что он не может обеспечить точного решения уравнения Шредингера, поскольку волновые функции, соответствующие связующим электронным состояниям, не образуют полного набора. Кроме того, следует иметь в виду, что в пространстве между атомами форма потенциала довольно гладкая, поэтому здесь состояние электронов должно описываться почти плоскими волнами. Суперпозиция же атомных функций с учетом их перекрывания в обсуждаемых областях может приводить к всплескам электронных плотностей. В связи с этим подобный подход к исследованию полосной структуры менее корректен, чем используемый в методах ППВ и ОПВ. Тем не менее метод сильной связи, являясь технически более простым, может быть успешно использован для изучения электронных состояний в произвольных точках зоны Бриллюэна. Он интересен и тем, что описание волновой функции электрона в виде суперпозиции волновых функций атомов позволяет [c.268]

Ковалентная связь. Метод валентных связей. Мы уже знаем, что устойчивая молекула может образоваться только при условии уменьшения потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов. Для описания состояния электронов в молекуле следовало бы составить уравнение Шредингера для соответствующей систе.мы электронов и атомных ядер и найти его решение, отвечающее минимальной энергии системы. Но, как указывалось, в 31, для многоэлектронных систем точное решение уравнения Шредингера получить не удалось. Поэтому квантово-механическое описание строения молекул получают, как и в случае многоэлектронных а-то-мов, лишь на основе приближенных решений уравнения Шредингера. [c.119]

Уравнение состояния, описывающее систему с позиций квантовой механики, называется волновым уравнением или иначе уравнением Шредингера, по фамилии австрийского ученого Э. Шредингера, который в 1926 г. составил волновое уравнение для описания микросистемы. Волновое уравнение может быть составлено для описания любой системы. Однако для описания макросистем достаточно точным приближением являются гораздо более простые уравнения состояния в рамках классической механики, например для моля идеального газа рассмотренное выше уравнение газового состояния. Поэтому уравнение Шредингера составляют лишь для описания микросистем, на которые законы классической механики не распространяются, в частности для описания отдельных атомов и молекул. [c.19]

Уравнение Шредингера. Выше, в 3 гл. IV, было показано, что возможно приближенное разделение электронного движения, колебания ядер и вращения молекулы как целого. При этом приближенное описание возможных колебательных состояний молекулы дается уравнением Шредингера для колебаний ядер, имеющим следующий общий вид [c.314]

Таким образом, описание стационарного состояния электрона в водородоподобном атоме дает атомная орбиталь — одноэлектронная волновая функция, характеризуемая совокупностью трех квантовых чисел п, / и /И/. При помощи ее можно рассчитать распределение электронной плотности в атоме и определить форму электронного облака вероятности. Атомные орбитали, являющиеся собственными функциями уравнения Шредингера, ортонорм 1лррваны, т. е. подчиняются условию (3.12) [c.23]

У электронов в состояниях, соответствующих определенным дискретным значениям энергии, дискретен и ряд физических величин. Р1х значения выражаются квантовыми числами. Каждое энергетическое состояние электрона характеризуется набором квантовых чисел. Всего их четыре. Три из квантовых чисел характеризуют волновые свойства электрона и появляются при ре шении уравнения Шредингера в соответствии с тремя степенями движения. Помимо уже упомянутого главного квантового числа п имеются еще побочное I и магнитное гп1. Свойства таких микрочастиц, как электрон, протон и т. п., полностью могут быть учтеньг лишь при одновременном описании их с позиций двух теорий— волновой и корпускулярной. При рассмотрении только с какой-либо одной упускаются из вида некоторые важные характер1 стн-ки. Четвертое квантовое число — спин электрона отражает его корпускулярные свойства. Рассмотрим физический смысл и зна чение каждого из этих чисел. [c.55]

Так обстоит дело при строгом подходе. Но практически, точно решить уравнение Шредингера для систем с. двумя и более электронами до сих пор не удалось. Поэтому для описания атомных и молекулярных многоэлектронных систем приходится обращаться к тем или иным приближениям, из которых наиболее распространенным является одноэлектронное или (другое название)-орбшиалькос. В его основе лежит представление о существовании индивидуальных состояний каждого электрона, которые представляют собой стационарные состояния движения электрона в некотором эффективном поле, создаваемом ядром (или ядрами) и всеми остальными электронами. Эти стационарные состояния описываются соответствующими одноэлектронными функциями. Иными словами, в рамках такого приближения каждый электрон многоэлектронной системы полагается как бы независимым. Одноэлектронная функция называется орбиталью, если она зависит только от пространственных координат, или спин-орбиталью, если наряду с тремя пространственными включает также спиновую переменную. [c.72]

Для описания состояния локализованного электрона в ионном кристалле необходимо найти решение уравнения Шредингера, в котором учтены как периодический потенциал кристалла, так и плавно меняющийся потенциал поляризованной решетки. Подобное уравнение обычно не удается решить точно. Поэтому Пекар [3] использовал обходной путь, построив приближенное решение общего случая с помощью решения некоего вспомогательного уравнения, в котором периодический потенциал кристалла непосредственно не учитывался. По смыслу своему это уравнение также является уравнением Шредингера, только записанным для частицы, мa ia которой определенным образом выражается через посредство коэффициентов. Эта величина получила в дальнейшем рассмотрении название эффективной массы и является параметром теории, зависящим от свойств конкретной системы. [c.19]

Вследствие тесной аналогии между уравнением Шредингера для стационарных состояний и уравнениями нормальных колебаний колеблющихся тел читателю может показаться, что собственные значения для сложных молекулярных систем можно было бы находить путем построения соответствующих механических моделей и определения частот их нормальных колебаний (т. е. путем нсио.пьзования метода аналогов ). Но мы покажем, что молекулярные системы всегда приводят к появлению частей с отрицательными натяжениями или отрицательными плотностями в соответствующих механических аналогах. Одной из причин неприменимости метода аналогов для решения уравнения Шредингера является трудность построения моделей с такими частями. Другой причиной является трудность введения аналога электростатических взаимодействий между электронами и ядрами в механическую модель. Следует указать, что описанное ныше поведение имеет также некоторые аналогии в оптике. Так, например, известно, что, если свет проходит из среды с высоким показателем преломления на пограничную поверхность среды с малым показателем преломления под углом больше некоторого критического значения, будет происходить полное отражение от пограничной поверхности. Одиако ири решении электромагнитного волнового уравнения для этого явления оказывается, что перед отражением свет будет проникать на небольшое расстояние (порядка одной длины волны) в среду с малым показателем преломления. [c.148]

Монее общей, но более содержательной теоретической конструкцией является квантовая механика. Если эта теория пренебрегает процессами излучения, то в ней возникает понятие о механической системе, например, об атоме, ее массе, заряде, стационарных состояний (уровнях энергии). Пренебрежение релятивистскими эффектами ведет к динамическому описанию физических процессов, которое дается в уравнении Шредингера. [c.37]

Для нахождения электронных состояний димера необходимо рещить уравнение Шредингера с гамильтонианом, описываемым уравнением (7.47). Это трудная задача. Для простоты будем считать взаимодействие настолько слабым, что волновой функцией основного состояния по-прежнему будет г. волновые функции вида и все еще смогут служить хорошим приближением для описания возбужденных состояний димера. Мы потребуем лищь, чтобы собственные функщш для возбужденного состояния были стационарными. Это означает, что гамильтониан не должен предсказывать переходы между возбужденными состояниями. Заметим, что в случае двух невзаимодействующих димеров [c.48]