Уравнение Орра Зоммерфельда

Первые исследования устойчивости ламинарных течений жидкости опубликованы около ста лет тому назад. Современная линейная теория устойчивости, учитывающая вязкий механизм взаимодействия возмущений с течением, применяется для анализа устойчивости вынужденных течений уже около пятидесяти лет. В большинстве исследований рассматривались двумерные плоские потоки. Основные уравнения теории устойчивости — уравнения Орра — Зоммерфельда — являются линейными относительно параметров возмущений. В работе [123] в них было учтено влияние выталкивающей силы на устойчивость течения около вертикальной изотермической поверхности с температурой to, расположенной в неподвижной среде с температурой to - [c.11]

Эти уравнения выписаны полностью, чтобы сделать более понятными характер и результаты последующих приближений. Уравнения Орра — Зоммерфельда получаются из них с помощью обычных методов. При этом сделаны следующие предположения [c.13]

Теперь вернемся к приведенному выше предположению 4, которое позволяет получить рассматриваемые здесь уравнения Орра — Зоммерфельда для амплитудных функций возмущений Ф и 5. Во-первых, считается, что эти функции аналогично параметрам основного потока и / зависят только от переменной подобия т], т. е. Ф = Ф(т]) и s = з(г]). Во-вторых, предполагается, что производные по х пространственного коэффициента усиления возмущения а, и длины волны возмущения к (или волнового числа г) пренебрежимо малы. [c.16]

При подстановке соотношений (11.2.26) — (11.2.29) в уравнения (11.2.17) — (11.2.20) получаются уравнения Орра — Зоммерфельда для амплитудных функций возмущения Ф(г1) и s(t]). Вместе с ними ниже приводятся также граничные условия, которые соответствуют условиям в покоящейся окружающей среде [c.17]

Расчет характеристик устойчивости развивающихся при естественной конвекции течений различного типа, которые рассматривались в разд. 11.2, 11.8—11.10 и 11.12, основан на обычных предположениях теории пограничного слоя и параллельности течения. С помощью этих предположений из системы полных уравнений устойчивости (11.2.11) — (11.2.13) были получены путем исключения некоторых членов порядка 0(0- ) уравнения Орра — Зоммерфельда (11.2.30) и (11.2.31). Члены такого же порядка малости исключались и из уравнений основного осредненного течения. Можно показать, что эти члены уравнений содержат производные более низкого порядка, чем члены в правой части уравнений (11.3.30), (11.2.31), и поэтому ими можно пренебречь. [c.109]

Некоторые данные об устойчивости свободных течений в плоском факеле получены в работе [58], где использованы уравнения Орра — Зоммерфельда, в которых учитывались эффекты, связанные с изменением параметров основного течения по потоку. Соответствующие члены подчеркнуты в приведенных ниже уравнениях (11.11.1) и (11.11.2). Первое из них представляет собой уравнение завихренности, получаемое из уравнений (11.2.10)— [c.110]

Первый член ряда представляет собой волновое число, которое определяется с помощью уравнений Орра — Зоммерфельда, а остальные члены ряда, расположенные с учетом их важности, связаны с влиянием изменения соответственно амплитудной функции, собственных значений в зависимости от числа Грасгофа, системы координат. Мнимая часть выражений [c.115]

УРАВНЕНИЕ ОРРА—ЗОММЕРФЕЛЬДА [c.48]

Подставляя (3.11) в уравнение Навье — Стокса и пренебрегая нелинейными членами, получаем уравнение Орра — Зоммерфельда (3.7). Как было замечено выше, приближенное уравнение (3.11) справедливо, когда малы амплитуды и длины волн. В этом случае понятия полной и конвективной неустойчивости эквивалентны. [c.52]

Полученное уравнение Орра — Зоммерфельда с соответствующими граничными условиями используется в рамках линейной теории устойчивости для определения волновых параметров [90—93]. [c.52]

Окончательно задача определения нестационарного возмущения сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с комплексными коэффициентами (уравнение Орра-Зоммерфельда) для функции зависимости возмущения от нециклической координаты. Для каждой пары значений (Ке, к) решение этой задачи дает собственную функцию и комплексное собственное значение ш. Знак мнимой части ш определяет устойчивость или неустойчивость возмущенного решения. При и>г < О возмущение экспоненциально затухает, а при Шг > О экспоненциально растет. Правда, экспоненциальное увеличение неустойчивого возмущения гарантируется лишь на начальной стадии, где справедлива линейная постановка задачи. На стадии нелинейного развития возмущение может возрастать менее быстро и даже вообще стабилизироваться. [c.175]

Уравнепия для определения возмущений точения в пограничном слое на плоской пластине, обтекаемой однородным потоком несжимаемой жидкости, сводились, как мы видели, к системе (1.2.11), эквивалентной одному уравнению четвертого порядка для величины Ф, связанной с вертикальной скоростью для возмущения, называемому уравнением Орра — Зоммерфельда [c.39]

Уравнение Орра — Зоммерфельда имеет четыре линейно независимых решения ф(, фг, фз, ф4- Выясним их асимптотическое поведение при у Уравнение (2.1.2) при у принимает вид [c.40]

Обш,ее решение уравнения Орра — Зоммерфельда будет [c.40]

Уравнению Орра — Зоммерфельда в безразмерном виде (2.1.2) соответствует система уравнений для вектора Ф [c.40]

Элементы вектора Ф следующим образом определяются через решения уравнения Орра — Зоммерфельда [c.40]

СТРУКТУРА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ОРРА ЗОММЕРФЕЛЬДА [c.79]

Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения aa связано, по-видимому, с не самосопряженным характером уравнения Орра — Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад уравнения Орра — Зоммерфельда описывается величиной iaMeOD W, роль которой возрастает с ростом a3 e. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. 10.5, для неса- [c.184]

Кроме того, те же вычисления, проводимые для частных случаев, когда уравнение Орра — Зоммерфельда становится самосопряженным (например, в случае одномерного потока, когда О = onst) приводит к равномерной сходимости. Дело в том, что при О = onst спектр собственных значен-ий может быть вычислен точно и затем сравнен с результатами приближенных вычислений. Во всех таких случаях Платтен получил превосходное согласие с точными результатами. [c.185]

Первые члены этого ряда Фо, Sq удовлетворяют уравнениям Орра— Зоммерфельда. Коэффициент Л( ) является слабой функцией I и позволяет в некоторой степени учесть изменение по х волнового числа и собственных функций. Члены ряда 81Ф1 и 8iSi, где ei = (GQ) , корректируют решение. [c.114]

Подставляя уравнение (9) в уравнение (10), получаем так называемое уравнение Орра-Зоммерфельда для двухдгерного возмущеггия потока в первоначально находящейся в покое среде [c.216]

Подставляя (3.6) в (3.4), можно показать, что амплитуда возмущения зависит от времени. В зависимости от того, будет ли величина 2яа1Д положительной или отрицательной, возмущения будут расти или затухать во времени. Исключая давление и продольную компоненту возмущения скорости и, систему (3.5) можно упростить, сведя к единственному уравнению, известному под названием уравнения Орра — Зоммерфельда [c.49]

Первое теоретическое исследование стабилизирующего влияния поверхностно-активных веществ на течение в пленке было проведено Бенджамином [101]. Он решал задачу об устойчивости в линейном приближении, т. е. применял подход, основанный на использовании уравнения Орра — Зоммерфельда. Предполагалось, что поверхностно-активное вещество является нерастворимым. Основной результат состоит в том, что стабилизирующий эффект связан с поверхностной упругостью. К аналогичным выводам пришли Уитекер и Джонс [111], теоретически изучавшие стабилизирующее влияние растворимых и нерастворимых поверхностно-активных веществ с помощью численного решения уравнений Навье — Стокса. Подобное же исследование провел Линь [102], решая линейное уравнение (3.7). Он нашел, что стабилизирующий эффект проявляется слабее, если поверхностно-активное вещество является растворимым. Этот вывод легко объясним, поскольку в случае растворимых поверхностноактивных веществ градиент поверхностного натяжения на поверхности пленки относительно невелик благодаря компенсации неоднородной и неравновесной поверхностной концентрации за счет массообмена с объемом жидкости (см. уравнение (2.80)). [c.58]

Некоторые данные об устойчивости свободных течений в плоском факеле получены в работе [58], где использованы уравнения Орра—Зоммерфельда, в которых учитывались эффекты, связанные с изменением параметров основного течения по потоку. Соответствующие члены подчеркнуты в приведенных ниже уравнениях (11.11.1) и (11.11.2). Первое из них представляет собой уравнение завихренности, получаемое из уравнений (11.2.10) — (ПДЛй) путем линеаризации параметров возмущенного движения и обычного введения завихренности с помощью уравнений неразрывности и движения , Завихренность основного течения определяется выражением % дх)/дх — дй1ду, а возмущение завихренности — выражением I = дь дх ди ду. Уравнение [c.110]

Уравнения (99), (100) и другие аналогичные им уравнения называются уравнениями Орра — Зоммерфельда. Если решить такое уравнение, то по зависимости функции ф от времени можно судить о затухании или возрастании возмушений скорости основного потока Игь о, и тем самым о его устойчивости или неустойчивости. Однако решить уравнение Орра — Зоммерфельда очень трудно ввиду зависимости величины от г в уравнении (100) или от г, т и 8- в уравнении (99). При различных попытках приближенного решения уравнения (100) найденное таким путем критическое значение числа Рейнольдса оказывалось далеким от наблюдаемых его значений или же обнаруживалась полная устойчивость потока Пуазейля по отношению к малым возмущениям. Предполагается, что наблюдаемая при больших числах- Рейнольдса неустойчивость потоков Пуазейля и Куэтта вызывается нелинейными, не бесконечно малыми возмущениями. При их учете в уравнение Орра — Зоммерфельда добавляются нелинейные члены порядка что не сказывается на числе определяющих критериев, но значительно усложняет это уравнение. [c.76]

Даже при отсутствии решения уравнения Орра — Зоммерфельда из его структуры видно, какие критерии могут определять устойчивость рассматриваемого ламинарного течения. В дальнейшем критические значения этих критериев могут быть найдены опытным путем. Впрочем, нередко случалось, что такие эксперименты выполнялись задолго до составления и исследования соответствующего уравнения Орра — Зоммерфельда. Экспериментами О. Рейнольдса и его последователями установлено, что ламинарный стационарный поток (поток Пуазейля) в длинных трубах или в длинных щелевых каналах устойчив при числах Рейнольдса Ке = или Ке = 2Яиорм , меньших крити- [c.76]

Нарушение устойчивости ламинарного течения и возникновения турбулентности или иных вихревых форм движения — весьма сложный процесс, и вряд ли его можно истолковать как следствие изменившегося соотношения между силами инерции и вязкого сопротивления, тем более, что для этого приходится вводить в рассуждения весьма необоснованные, гипотетические течения, чтобы представить число Рейнольдса, как соотношение между инерционным и вязким сопротивлением. При этом следует заметить, что для многих других встречающихся в технике более простых явлений условия потери устойчивости формулируются достаточно сложным образом. Примеры этому неоднократно встречаются в следующих главах. Что касается потока Громеки, то при больших значениях инерционного числа ( Э- > 20) профиль скорости основного ламинарного течения О-о становится автомодельным, т. е. подобным самому себе в отношении параметра и выражается соотношением (76). Тогда при переходе к координатам = 8-г и = (0,5 —г ) уравнение Орра — Зоммерфельда (99) приводится к виду [c.77]

Исследованиями уравнения Орра — Зоммерфельда (100) для стационарных потоков жидкости при исчезающе малой ее вязкости, т. е. при весьма больших числах Рейнольдса, установлено, что устойчивость ламинарного движения нарушается, если профиль скорости основного потока имеет зоны встречного движения. На практике такие потоки действительно оказываются малоустойчивыми. Вместе с тем это правило отнюдь не универсально в колебательных потоках Громеки согласно соотношениям (70) и рис. 15 в течение части периода колебаний наблюдается возвратное течение жидкости и тем не менее такие потоки очень устойчивы. К сожалению, очень мало известно о том, какие значения числа Рейнольдса достаточно велики для того, чтобы названное правило было справедливым для тех или иных потоков. [c.79]

Перейдем в (2.1.1) к безразмерным ве.иичинам. Скорости будем измерять в единицах а все длины (включая и волновое число а)—в единицах б, где Ь = Ъ 1 х/и — толщина пограничного слоя. Уравнение Орра — Зоммерфельда примет следующий вид [c.39]

Введем такую фундаментальную систему функций уравнения Орра — Зоммерфельда ф , которая имеет при оо асимптотику [c.40]

Итак, исследуем решения уравнения Орра — Зоммерфельда, ограниченные при у На основании (2.1.4) видно, что ограниченные и конечные при у возмущения существуют лишь в случае, когда либо а, либо X являются чисто мнимыми величинами. Если а и А — комплексные числа с отличными от нуля действительными частями, ограниченные при у оо решения обращаются там в нуль. Поэтому нри а и Я комплексных мы имеем решение задачи (1), а в случае чисто мнимых значехшй либо а, либо X — решение задачи (2) о возбуждении фоном в набегающем потоке. [c.41]

Задача о развитии во времени начального возмущения в плос-хадпараллельиом пограничном слое несжимаемой жидкости впервые рассмотрена в работе [56]. Позднее, в работе [49] сформулирована биортогональная система векторов для уравнений Орра — Зоммерфельда при развитии возмущений во времени и доказано, что формальное разложение решения уравнений по этой системе совпадает с решением за,дачи, данной в [56]. Этот способ конструктивного доказателвства полноты биортогональных систем векторов использовался авторами работы [57] в случае пространственного развития возмущений в нограшгчном слое сжимаемой среды. С целью сохра-неиня единого подхода рассмотрим заново задачу о развитии во времени начального возмущения. [c.51]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология