Собственные функции свойства

Математический аппарат квантовой механики построен таким образом, что экспериментально наблюдаемыми значениями физической величины могут быть только собственные значения уравнения (21), а волновыми функциями системы — только фигурирующие в этом уравнении собственные функции оператора С. Чтобы это условие выполнялось, должен обладать -определенными свойствами, а именно он должен быть линейным и самосопряженным эрмитовым ). [c.38]

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то, что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны ( 7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функцию ф , комплексно сопряженную к г ), и вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим [c.35]

Как уже отмечалось, точное решение уравнения Шредингера получить невозможно, а среди приближенных способов важная роль принадлежит разложению по базисам. Ранее (см. гл. 2, 2) были построены базисные функции (слейтеровские детерминанты), которые отражают лишь свойства антисимметрии полной волновой функции. Продвинемся на один шаг дальше и построим такую систему базисных функций Фs,Ms, (р) > каждая из которых была бы не только антисимметричной, но и собственной функцией операторов 8 и 8 . Для этого рассмотрим полную систему ортонормированных функций 1Рр(т), например систему собственных функций [c.67]

По построению Ф является собственной функцией операторов 8 и 2 и отвечает собственным значениям 5 = 1/ 2 и Л/5 = 1/2. Под термином спиновое спаривание здесь подразумевают некоторое свойство симметрии спиновой функции, в данном случае она симметрична по спиновым переменным а, и Ог. Фиксируем какие-либо значения чисел п, р, ц, I, например п = 8, р = I, д = 4, г = 7. Выразим конфигурационную функцию через определители Слейтера [c.265]

Эти свойства собственных функций были уже показаны при изучении метода интегрального уравнения (см. 7.4 г). Используя выражение (8.236), можно исключить лапласиан из уравнения (8.235) в результате получим следующее соотношение [c.354]

Пространства, где оно неприменимо, но и собственно фундаментальными свойствами степенных рядов [75, 76]. По-видимому, истинная причина такого поведения связана с исчезновением членов ряда, изменяющихся экспоненциально с г. При разложении по обратным степеням г экспоненциальные члены будут потеряны или убывают до нуля быстрее, чем любой ряд по обратным степеням (например, асимптотические ряды для таких функций тождественно равны нулю). Исчезновение экспоненциальных членов в конечном счете приводит к расходимости всего выражения [77]. Таким образом, для случая дальнодействующих сил разложения по обратным степеням г являются асимптотическими. Они удобны и точны при больших г, но неприемлемы для промежуточных и малых значений г. [c.205]

При построении волновой функции (2.41) имеется произвол в выборе функций Хр(о1,. .., ом). В частности, в качестве функций Ху(< 1, ом) можно взять собственные функции операторов 8 и 8г. В этом случае полная функция (2.41) будет автоматически собственной функцией 8 и 82, а свойства симметрии координатной функции определяются требованием антисимметрии полной функции (х1,. .., хм). С другой стороны, в качестве функций х ( 1, ом) можно взять собственные [c.63]

Фундаментальным свойством волновых функций является то, что они могут использоваться в качестве базиса неприводимых представлений точечных групп молекулы [4]. Это свойство и устанавливает необходимую связь между симметрией молекулы и ее волновой функцией. Предыдущее утверждение следует из теоремы Вигнера, согласно которой все собственные функции молекулярной системы принадлежат к одному из типов симметрии данной группы [8]. [c.247]

Мы указывали, что наряду с насыщаемостью типичным свойством валентности является ее направленность. Она может возникнуть в том случае, когда собственная функция электрона не обладает сферической симметрией. В гл. XXI было показано, что s-электроны описываются функциями, обладающими этой симметрией, и поэтому не могут привести к направленной валентности. [c.476]

Уравнение Шредингера — дифференциальное уравнение в частных производных и может иметь множество решений. Однако физический смысл имеют лишь те Ч -функции (так называемые собственные функции), которые удовлетворяют ряду условий. Во-первых, эти функции должны быть непрерывными, конечными, однозначными и обращаться в нуль на бесконечном расстоянии. Наложение перечисленных условий называется нормированием -функции . Во-вторых, собственным -функциям соответствуют не любые, а только дискретные значения полной энергии Е. Как дискретные значения энергии, так и вид собственных Т-функций определяются совокупностью квантовых чисел п, I, т, которые хотя и не содержатся в самом уравнении Шредингера, но вводятся в него при решении. Таким образом, квантование энергии естественно и неизбежно вытекает из коренных свойств материальных объектов и не нуждается в особом постулировании, которое было сделано И. Бором при разработке планетарной модели атома. [c.10]

Важное свойство собственных функций уравнения Шредингера, относящихся к различным собственным значениям, — их взаимная ортогональность интеграл по всему пространству от произведения любой пары собственных функций равен нулю [c.14]

Этот результат для молекулы с одинаковыми ядрами может быть достигнут значительно проще, но здесь на примере Н2 показаны особенности метода, характерные и для расчета более, сложных систем. Для нахождения трех неизвестных величин с,, Сд и были использованы три уравнения (26.15), (26.15 ) и(3.11). Так как вековое уравнение оказалось квадратным относительно Е, были получены два значения для энергии, именно и Е , и два набор 1 коэффициентов Су и С2, именно 1/>/2 и 1/л/2 для с, и 1/у/Т и—1/.у/2дш С2,и соответственно две молекулярные орбитали и Т4. Как следует из свойств собственных функций уравнения Шредингера [см. (3.10)], эти орбитали ортогональны, т. е. [c.97]

Дозволенные решения уравнения Шредингера с соблюдением требований регулярности называются собственными функциями. Функция ф(г, О, ср)—[(п, I, ГП1)—полная собственная функция уравнения Шредингера. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Однако наблюдаемые свойства зависят не от функции а от функции которая всегда положительна. [c.52]

Вероятность нахождения электрона в какой-либо точке пространства определяется не только значением г, но также и величинами углов 0 и ф и, следовательно, зависит как от радиальной / пг(г), так и от угловой У(т(0, ф) частей атомной орбитали. Рассмотрим более подробно сферические гармоники Угт(0, ф) Функции (2.27) являются комплексными, что ясно из вида Ф-функций (2.19). Между тем в большинстве случаев удобнее работать с действительными функциями. Так как функции Угт(0, ф) иУг-т(0, ф) вырожденные, можно воспользоваться свойством вырожденных собственных функций, согласно которому их линейная комбинация также является решением уравнения Шредингера с тем же собственным значением (см. с. 13). Функции У и У(ж" будут решениями уравнения (2.9) [c.32]

Необходимо несколько подробнее рассмотреть свойства этого уравнения. Прежде всего заметим, что если волновая функция есть собственная функция полного оператора Гамильтона [c.43]

При доказательстве учесть, что собственными функциями оператора квадрата момента количества движения являются сферические функции УJ М] обладающие, в частности, следующими свойствами [c.35]

В частном случае, когда W-матрица симметрична и, следовательно, может быть приведена к диагональному виду, достаточно показать, что все ее собственные значения отрицательны, кроме нулевого собственного значения, относящегося к стационарному решению. Это свойство симметрии часто можно вывести из свойства детального равновесия (см. 5.6) и соответствующего разложения по собственным функциям, данного в 5.7. Однако свойство детального равновесия не является универсальным и существует много приложений основных кинетических уравнений с несимметричными W. [c.109]

Определим теперь постоянную N Для этого воспользуемся требованием нормировки Согласно этому свойству интеграл от квадрата собственной функции, взятый по всей области задания функции, равен единице Следовательно, [c.22]

Для вырожденных состояний характерно следующее важное свойство любая линейная комбинация собственных функций вырожденного состояния снова является собственной функцией уравнения Шредингера В самом деле, пусть п функций Ч/ и, Ч/ 2 >. V л отвечают л-кратно вырожденному состоянию с энергией Еу Составим линейную комбинацию [c.27]

В табл. 24 не приведены орбитали -типа (для / = 2, т = О, 1, 2). Однако знание этих орбиталей существенно для понимания свойств комплексных соединений и так называемых переходных металлов. Имеется пять различных собственных функций й-типа в соответствии с пятью возможными значениями магнитного квантового числа. Однако все пять функций соответствуют одному и тому же значению энергии (о вырождении по магнитному квантовому числу мы уже говорили выше). Форма -орбиталей приведена па рис. 228. [c.192]

Особенно удобно описывать свойства линейной системы с помощью отклика на ее собственные функции. Нетрудно показать, что экспоненциальные функции ехр [р1) являются собственными функциями оператора любой не зависящей от времени линейной системы, причем р — произвольная комплексная величина [c.126]

Таким образом, функции ф2 = ао Р и ф7 = рра являются собственными функциями оператора М- Решения для подматриц 2X2 в целом аналогичны решениям прямой задачи для спектров АВ систем. Система АВХ характеризуется следующими общими свойствами [c.56]

В этой связи чувствительность и, соответственно, эффективность кондуктометрического метода измерения содержания влаги в ОК для различных материалов различны и определяются видом зависимости р = р(И в)- На рис. 6.8 схематично представлены примеры возможных видов зависимостей в логарифмическом масштабе. Для большинства материалов выражение 1 (р) = р(И в) характеризуется кривой 2. На начальном участке эту зависимость можно представить линейной функцией, характеризуемой постоянной и достаточно высокой чувствительностью. При дальнейшем повышении влажности наступает некоторое насыщение, характеризуемое повышением нелинейности характеристики и снижением чувствительности метода. В данном случае проводимость материала ОК определяется не столько содержанием влаги, сколько его собственными электрохимическими свойствами. В этой связи диапазон измерения влажности обычно ограничивают линейным участком. [c.518]

Закон композиции (9.16) - весьма специфическое свойство невзаимодействующих цепей. Если бы между участками (/V ) и (]У - /V ) было взаимодействие, то веса нельзя было бы факторизовать на два сомножителя. Технически мы можем убедиться в справедливости уравнения (9.16) с помощью разложения (9.15) по собственным функциям, используя ортогональность функций. [c.280]

Свойства собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр [c.39]

Таким образом, собственные числа и связаны соотношением, которое по форме идентично условию критичности в односкоростном приближении. Попытаемся дать физическую интерпретацию Некоторые замечания, касающиеся этого, перечислим вместе с другимгЕ свойствами собственных значений и собственных функций. [c.354]

Для реальной системы, которая имеет иредноложенные выше геометрию и ядерные свойства, с физической точки зрения приемлемо только одно из решений (8.258). Этим решением является собственная функция (г), отвечающая наименьшему собственному числу. Ясно, что для м > О в ста- [c.358]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

Остановимся на свойствах собственных функций уравнения (3.7). При решенрш задачи о состоянии частицы (системы) мы получаем набор собственных функций )/ , щ, Уз,..., описывающих ряд стационарных состояний. Каждой функции и каждому стационарному состоянию отвечает определенное значение энергии 5, 2, и т.д. Набор допу стимых значений энергии, или дискретный спектр энергии, характерен для частиц, совершающих периодическое движение, подобно электрону в атоме. Для свободно движущейся частицы возможен непрерывный спектр энергии. [c.14]

Значение ортогональных функций определяется тем, что свойством ортогональности обладают собственные функции важных квантово-механических операторов. Физический смысл равенства нулю интеграла S(pm(pndx можно понять, если вспомнить, что квадрат волновой функции есть мера вероятности найти частицу микромира в данном состоянии. [c.55]

Самосопряженные операторы обладают свойством, которое имеет большое значение для квантово-механических расчетов. Собственные функции таких операторов ортогональны, т.е. / фтфпй(л = 0 пригде фт и ф —две собственные функции. Это определение распространяется и на комплексные функции [см. уравнение (4.4)]. Докажем, что функции -ф1 и гра ортогональны, если обе они являются собственными функциями оператора Эрмита и их собственные значения неодинаковы. По условию [c.56]

Упражнение. Рассмотрите правую часть уравнения (8.3.5) как линейный оператор У, действующий на пространство функций, определенных для О < < X < со и удовлетворяющих (8.3.6). Проверьте, что оператор обладает свойством симметрии (5.7.5) и является отрицательно полуопределенным, а единственная собственная функция с нулевым собственным значением определяется формулой (8.3.7). [c.204]

В квантовой механике атомная система описывается волновыми функциями, которые являются решениями хорошо известного уравнения Шредингера. Для дальнейшего рассмотрения введем собственные функции аир протона, соответствующие состояниям т/ = 12 и пг1 = —112. Свойства этих функций мы детально рассмотрим и опишем в гл. V. Пользуясь этими функциями, можно определить энергию спиновой системы в магнитном поле. А сейчас мы будем использовать их просто для обоз-качения энергетических уровней протона. Состояния а и Р для ядра со спином 1/2 имеют одинаковую энергию, т. е. они вырож- дены. Это вырождение снимается только в однородном магнит- ном поле Во за счет взаимодействия ядерного магнитного мо- мента [X с Во- Если направление Во совпадает с осью г, как на V рис. I. 1,6, то возникает разность энергий двух спиновых со-стояний [c.19]

Подобно собственным числам матриц величины называются собственными числами оператора 6 , а аналогом собственных векторов 1 являются собственные функции у Рассмотренная выше задача является частным случаем задачи о собственных значениях и собственных функциях оператора 6 Собственные функции операторов, подобно собственным векторам симметричных матриц, обладают свойством ортого- [c.230]

Вспомним замечание к га 1 о том, что при наличии сопряжения связей некоторые общие результаты можно получить, пользуясь металлической моделью, или моделью одномерного потенциального ящика Обратим внимание на то, что собственные функции соответсг ющей задачи по свойству симметрии чередуются при п = 1 получается симметричная относительно средней линии функция, при л = 2 — антисимметричная, при л = 3 — снова симметричная итд [c.331]

Математическая проблема при анализе этих уравнений состоит в нахождении способа преобразования системы прямоугольных координат. Это включает получение собственных функций, являющихся линейными комбинациями юложений субмолекул. Каждая такая функция поэтому описывает конформацию, которая переходит в равновесное состояние с временной константой, отвечающей соответствующему собственному значению, т. е. отдельному вязкоупругому элементу с характерными для него (зависящими от его констант) свойствами. [c.149]

К пигментам целевого назначения обычно относят пигментьс для термоиндикаторных красок, светящихся и необрастающих составов Эти пигменты не выполняют антикоррозионных и декоративных функций в покрытиях Собственные пигментные свойства их могут быть весьма плохими Однако они обладают особыми специфическими свойствами, которые и определяют области их применения [c.349]