Пуассона Больцмана

Уравнение Пуассона — Больцмана и его решение [c.55]

После такого преобразования уравнение Пуассона — Больцмана принимает следующую форму [c.56]

Для высоких потенциалов и больших расстояний от поверхности [2фб /(/ Г) > 1 и 2ф /(/ ) 1] решение уравнения Пуассона — Больцмана приводит к следующей зависимости потенциала от расстояния [c.57]

Из сопоставления уравнений Пуассона (П. 86) и Пуассона— Больцмана при малых ср (11.91) следует [c.59]

Сопоставляя уравнение Пуассона (И. 86) с соотношением Пуассона — Больцмана при малом значении потенциала (П. 91) [c.327]

Для оценки электростатического взаимодействия частиц с искривленной поверхностью необходимо установить строение ДЭС в зазоре между частицами, т. е. решить в соответствующей системе координат уравнение Пуассона— Больцмана. При решении этой задачи для произвольных значений потенциала 115 не удается получить аналитический результат. [c.144]

Решение уравнения Пуассона —Больцмана при этих граничных условиях дает [c.161]

Это уравнение называется уравнением Пуассона — Больцмана. Первое интегрирование выполняют при граничных условиях [c.199]

Подстановка (ХП. 5) и (ХП. 6) в (ХП.7а) дает уравнение Пуассона — Больцмана [c.183]

Подстановка (ХП.5) и (ХП.6) в (ХП.7а) дает уравнение Пуассона—Больцмана [c.202]

Популярность методов определения и использования этой величины при решении самых разнообразных задач, часто без учета исходных положений теории ДЭС (плоский слой, отсутствие перекрытия диффузных слоев в порах и др.), заставляет (как и в случае теории БЭТ) провести критический анализ теории электрокинетических явлений. Согласие различных методов вычисления t не доказывает истинности находимых значений, поскольку эти методы не являются независимыми — все они базируются на одном фундаменте (уравнения Пуассона— Больцмана, гидродинамики, закон Ома и др.). [c.229]

Для двойного слоя у плоской поверхности уравнение Пуассона— Больцмана можно записать в виде [c.181]

Этот первый интеграл уравнения Пуассона—Больцмана при подстановке в него условия (VI —17) дает выражение для заряда диффузного слоя на единицу поверхности [c.182]

Второе интегрирование уравнения Пуассона—Больцмана проводим, учитывая, что [c.182]

Однако следует иметь в виду, что при высоких потенциалах поверхности на малых расстояниях от нее выражение (VII—23а) нужно заменить более точным (VII—21а), учитывающим строение плотной части слоя противоионов, в том числе их собственный размер. Нетрудно видеть, что предельное выражение (VII—23) может быть получено, если интегрирование уравнения Пуассона—Больцмана распространить до самой поверхности твердой фазы х—0, т. е. если считать, что центры ионов могут подходить непосредственно к поверхности. Вместе с тем это не отражается существенно на характере распределения потенциала на больших расстояниях от поверхности (особенно в тех слу- [c.185]

Проведенное выше рассмотрение относится к плоскому двойному слою на границе раздела фаз для дисперсных систем оно применимо, когда размер частиц дисперсной фазы значительно превышает толщину ионной атмосферы и двойные слои могут считаться плоскими. Если это условие не соблюдается, уравнение Пуассона—Больцмана следует записывать в полном виде [c.186]

Строгий расчет формы этой ближней потенциальной ямы связан со значительными трудностями. В частности, сильно усложняется интегрирование уравнений Пуассона — Больцмана на таких малых расстояниях, где свойства дисперсионной среды (как отмечалось в гл. VII) существенно отличаются от объемных. Однако очевидно, что на глубину этой ямы долл<ны влиять размер частиц и их заряд чем больше размер частиц и чем ниже их заряд, тем больше глубина ближней потенциальной ямы. [c.300]

Используя гиперболические функции, можно упростить уравнение Пуассона — Больцмана для плоского слоя, записав его в виде [c.219]

Интегрирование уравнения Пуассона—Больцмана для прослойки электролита дает [c.92]

Уравнение Пуассона—Больцмана [c.14]

Плоский двойной слой. Некоторые точные решения уравнения Пуассона—Больцмана [c.17]

Обычно ренюине уравнения Пуассона — Больцмана проводят применительно к конкретным граничным условиям. Ниже приводится его решение ири условии малости потенциала диффузного слоя (фв <С 25 мВ). [c.56]

Для мицеллярных растворов неионогенных Пу В 0. В растворах ноногенных ПАВ, например анионного, находящегося в растворе одно-одновалентного электролита, поверхность мицеллы сильно заряжена. В этом случае сро может быть найдено с помощью уравнения Пуассона— Больцмана и соотношения, связывающего объемный и поверх-постпый заряды. В конечном виде взаимосвязь сро с концентрацией про- [c.139]

Решение. Для слабозаряженной поверхности потенциал ф в любой точке двойного электрического слоя определяется из линеаризованного уравнения Пуассона —Больцмана [c.161]

В 1910 г. Ж. Гуи и независимо от него в 1913 г. Д. Чапмен предложили теорию диффузного слоя. В теории Гуи —Чапмена ионы рассматривались как математические точки, которые находятся под действием теплового движения и одновременно притягиваются или отталкиваются заряженной поверхностью электрода. Математически эта теория построена точно так же, как возникшая позже теория Дебая —Гюккеля (см. гл. III). Однако в теории Гуи — Чапмена рассматривалось влияние электрического поля только вдоль одной координаты (перпендикулярной поверхности электрода). Это обстоятельство упрощало задачу и позволяло получить точное решение уравнения Пуассона — Больцмана [c.162]

Формулу (111.47) можно получить также двумя другими способами. В первом из них, описанном в оригинальной работе Дебая и Гюккеля, Аи рассчитывали на основе мысленного процесса заряжения центрального иона и всех ионов, входящих в ионную атмосферу. При этом в процессе заряжения учитывалось перераспределение ионов, возникающее благодаря нх электростатическому взаимодействию. Работа заряжения, рассчитанная этим способом (процесс заряжения по Дебаю), относилась ко всем ионам системы, а потому для нахождения величины Аи ее нужно было продифференцировать по числу ионов данного вида I. Во втором способе, который получил название процесса заряжения по Гюн-тельбергу. предполагалось, что процесс мысленного заряжения ионов не сопровождается их перераспределением (предполагалось, что они уже до заряжения приобрели окончательное распределение, характерное для заряженной ионной атмосферы). Этот способ эквивалентен процессу заряжения конденсатора, состоящего из центрального иона и окружающей его сферической оболочки с постоянным радиусом 1/х. Работа заряжения по методу Гюн-тельберга сразу дает величину АО. Следует подчеркнуть, что различные способы расчета изменения энергии центрального иона вследствие его взаимодействия с ионной атмосферой дают совпадающие результаты лишь при выполнении соотношения (111.31). В условиях нелинейной зависимости р от ф различные способы расчета АЬ приводят к разным результатам. До сих пор не установлено, какой способ является более точным, так как уравнение Пуассона — Больцмана, получающееся при подстановке (111.30) в (111.27), не имеет строгого обоснования в статистической механике. [c.43]

Приближенное решение уравнения Пуассона — Больцмана для сферических частиц радиуса г было проведено Дебаем и Хюккелем для слабозаряженных частиц, когда гефо/кТс и зЬ(2ефо/кТ) 2ефо/кТ. Для этого случая уравнение Пуассона—Больцмана принимает вид [c.186]

X — на x — d). При сближении заряженных поверхностей до расстояний, соизмеримых с толщиной ионной атмосферы <5 = 1/ж (см. гл. VII), происходит изменение распределения потенциала в зазоре между поверхностями, и в центре зазора появляется минимум потенциала (рис. IX-8, сплошная кривая). Как и при рассмотрении одиночного диффуз1Юго слоя в полубесконечной среде, чтобы найти распределение потенциала, надо решить уравнение Пуассона—Больцмана, но с новыми краевыми условиями d оо, а при j = h 2, где (р (hj2) Ф 0. Это изменение краевых условий вызывает некоторые математические усложнения (появление эллиптических интегралов). Однако на достаточно больших расстояниях от обеих пове- [c.308]

Было сделано несколько попыток улучшить предельный закон, но действительная проблема лежит глубоко в структуре самой модели. Основной иедосгаток состоит в использованни комбинации распределения Больцмана с уравнением Пуассона. Цель этой комбинации — показать, что потенциал, возникающий из распределения заряда р(г), является не суммой потенциалов, обусловленных отдельными зарядами, а некоторо усложненной экспоненциальной функцией. Это противоречит электростатике, которая требует, что ири наличии ряда заряженных частиц потенциал просто равен сумме или линейной суперпозиции потенциалов, обусловленных каждой частицей. Предельный закон соблюдается потому, что экспоненциальная функция разлагается в ряд и остается только первый, линейный член. Следовательно, любая попытка объяснить теорию активности нонов на основании уравнения Пуассона— Больцмана прп высоких концентращ1Ях обречена, так как она противоречит принципам электростатики. [c.362]

Это обстоятельство позволяет значительно упростить задачу. Последовательные подстановки уравнений (1.12) — (1.15) в уравнет ние (1.11) приводят к основному уравнению теории Гуи—Чепмана, так называемому уравнению Пуассона—Больцмана (ПБ) [c.15]

Существуют многочисленные экспериментальные доказательства правильности теории ионно-электростатического отталкивания в той области концентрации электролитов и потенциалов двойного слоя, которая отвечает условиям применимости уравнения Пуассона—Больцмана. Как это не парадоксально, но первые свидетельства правильности этой теории содержатся в работах Дерягина и Кусакова 1936—1937 гг. [55] по исследованию равновесных смачивающих пленок, выполненных еще до создания самой теории [1]. В более поздних работах разных авторов [56], измерявших равновесные толщины смачивающих пленок очень разбавленных растворов электролитов на поверхностях кварца и слюды, были получены результаты, полностью подтверждающие данные Дерягина и Кусакова [55] в области толщин порядка 0,1 мкм и выше. В этой области расстояний молекулярные силы пренебрежимо малы по сравнению с ионно-электростатическим отталкиванием, и задаваемое давление в пленке действительно соответствует ионной составляющей расклинивающего давления. [c.187]

Коагуляция и устойчивость дисперсных систем (1973) -- [ c.0 , c.14 , c.23 , c.29 ]

Ионный обмен (1968) -- [ c.0 ]

Курс коллоидной химии Поверхностные явления и дисперсные системы (1989) -- [ c.68 ]

Равновесие и кинетика ионного обмена (1970) -- [ c.206 , c.297 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология