Уравнение Пуассона — Больцмана и его решение

Уравнение Пуассона — Больцмана и его решение [c.55]

Рис. 2. Области применения различных способов решения уравнения Пуассона — Больцмана теории Дебая — Гюккеля.

Решение уравнения Пуассона —Больцмана при этих граничных условиях дает [c.161]

Для оценки электростатического взаимодействия частиц с искривленной поверхностью необходимо установить строение ДЭС в зазоре между частицами, т. е. решить в соответствующей системе координат уравнение Пуассона— Больцмана. При решении этой задачи для произвольных значений потенциала 115 не удается получить аналитический результат. [c.144]

Плоский двойной слой. Некоторые точные решения уравнения Пуассона—Больцмана [c.17]

Решение уравнения Пуассона—Больцмана для области III дано Кирквудом [c.541]

Чтобы определить зависимость Пе от Л, необходимо провести интегрирование уравнения Пуассона — Больцмана. Решение упрощается в [c.549]

Для высоких потенциалов и больших расстояний от поверхности [2фб /(/ Г) > 1 и 2ф /(/ ) 1] решение уравнения Пуассона — Больцмана приводит к следующей зависимости потенциала от расстояния [c.57]

В случае сильных взаимодействий теория Дебая — Хюккеля совершенно не согласуется с фактами, но их можно объяснить в рамках другого подхода к решению уравнения Пуассона — Больцмана [уравнение (17)], который был предложен Бьеррумом [22]. Этот подход основывается на следующих соображениях 1) ионы, находящиеся на большом расстоянии от данного иона, оказывают значительное влияние на его энергию, так как число ионов на расстоянии г пропорционально 2) непосредственно окружающие ионы противоположного знака также оказывают значительное влияние, поскольку сила взаимодействия изменяется обратно пропорционально г 3) в непосредственном окружении число ионов того же знака вследствие взаимного отталкивания столь мало, что их влияние незначительно 4) на промежуточных расстояниях влияние ионов обоих знаков невелико, так как ни число ионов, ни энергия взаимодействия не являются значительными. ь [c.257]

Решение уравнения Пуассона — Больцмана при указанных выше граничных условиях имеет вид (см., например, [7]) [c.418]

Популярность методов определения и использования этой величины при решении самых разнообразных задач, часто без учета исходных положений теории ДЭС (плоский слой, отсутствие перекрытия диффузных слоев в порах и др.), заставляет (как и в случае теории БЭТ) провести критический анализ теории электрокинетических явлений. Согласие различных методов вычисления t не доказывает истинности находимых значений, поскольку эти методы не являются независимыми — все они базируются на одном фундаменте (уравнения Пуассона— Больцмана, гидродинамики, закон Ома и др.). [c.229]

При этом существенное значение имеет соотношение между толщиной пленки g и толщиной двойного электрического слоя 5 в ней. Соотношение (3.5.66) имеет смысл только для толстых пленок (g 5). Полезно установить закон, по которому изменяется потенциал в окрестности границы соприкосновения геля и раствора электролита. Его нахождение, как и в предыдущих случаях, требует решения уравнения Пуассона — Больцмана для фазы геля, в которой концентрация ионогенных групп Сп в слое геля не зависит от величины потенциала [c.615]

Если при разложении в ряд по 1 о учесть следующий (кубический) член, то, как было показано Мартыновым [4], решение уравнения Пуассона-Больцмана для сферы можно представить в виде [c.72]

Для определения зависимости от толшины прослойки h необходимо установить зависимость Ф от й, а для этого нужно найти второй интеграл уравнения Пуассона-Больцмана. Мы теперь ограничимся случаем, когда Zi =1,22=2, так как только при этом решение сводится к эллиптическим интегралам. [c.95]

В том же предположении Ф 1 решением линеаризованного уравнения Пуассона—Больцмана будет [c.111]

При таких условиях решения уравнения Лапласа и уравнения Пуассона—Больцмана становятся, естественно, весьма сложными. Один из вариантов представляет собой суперпозиция решений, получен[ ых для индивидуальных зарядов, т. е. в случае уравнения Лапласа [ср. с уравнением (26-21)] [c.540]

Поскольку нет возможности рассмотреть граничные условия (в этом случае нет никаких границ), мы можем просто использовать решение уравнения Пуассона—Больцмана, даваемое уравнением (26-47). Так как должно стремиться к нулю на большом расстоянии от полииона, где все г—г стремятся к бесконечности, то каждое значение Б следует положить равным нулю. В каждой особой точке Ь должно приближаться к величине, даваемой уравнением (26-8), а это условие требует, чтобы каждая величина равнялась д. Тогда конечный результат представляет собой следующее выражение [c.550]

Обычно уравнение Пуассона — Больцмана решают применительно к конкретным граничным условиям. Ниже приводится его решение при условии малости потенциала диффузного слоя (фв<с25 мВ). [c.69]

Решение. Для слабозаряженной поверхности потенциал ф в любой точке двойного электрического слоя определяется из линеаризованного уравнения Пуассона —Больцмана [c.161]

В 1910 г. Ж. Гуи и независимо от него в 1913 г. Д. Чапмен предложили теорию диффузного слоя. В теории Гуи —Чапмена ионы рассматривались как математические точки, которые находятся под действием теплового движения и одновременно притягиваются или отталкиваются заряженной поверхностью электрода. Математически эта теория построена точно так же, как возникшая позже теория Дебая —Гюккеля (см. гл. III). Однако в теории Гуи — Чапмена рассматривалось влияние электрического поля только вдоль одной координаты (перпендикулярной поверхности электрода). Это обстоятельство упрощало задачу и позволяло получить точное решение уравнения Пуассона — Больцмана [c.162]

Приближенное решение уравнения Пуассона — Больцмана для сферических частиц радиуса г было проведено Дебаем и Хюккелем для слабозаряженных частиц, когда гефо/кТс и зЬ(2ефо/кТ) 2ефо/кТ. Для этого случая уравнение Пуассона—Больцмана принимает вид [c.186]

Вскоре после опубликования теории Дебая и Гюккеля Бьеррум, учитывая математические трудности полного решения уравнения Пуассона — Больцмана в форме, данной Гронволом, Ла-Мером и Сэндведом, предложил [c.54]

Решение уравнения Пуассона — Больцмана для перекрывающихся ДЭС отличается от рассмотренного ранее в подразделе 3.5.1 значением постоянной интег- [c.620]

В этом случае вместо одномерного уравнения Гуи-Чепмана необходимо найти решение уравнения Пуассона—Больцмана для случая сферической симметрии. Для бинарного симметричного электролита оно имеет вид [c.71]

Удалось только несколько повысить предел концентрации, например для одио-одновалентного электролита, до 0,1 н. раствора. Принципиального улучшения приложимости электростатической теории таким способом не удалось получить. КрС -ме того, исследования показали, что точные решения уравнения Пуассона—Больцмана ведут к яесамосогласованным результатам. [c.183]

Уравнение Гронвелла—Ламера—Сандвела описывает эксперии нтальные данные значительно лучше,чем уравнение Дебая. Однако и оно не применимо для области высоких концентраций. Удалось только несколько повысить предел концентрации, например, для одно-одновалентного электролита до 0,1 н. раствора. Принципиального улучшения приложимости электростатической теории таким способом не удалось получить. Кроме того, исследования показали, что точные решения уравнения Пуассона-Больцмана приводят к несогласующимся результатам. [c.111]

Эти попытки велись в двух направлениях. Во-первых, был дан более последовательный статистический вывод формул термодинамики разбавленных растворов сильных электролитов, основанный на общих принципах статистической механики. Указанная работа была выполнена Крамерсом [13]. Во-вторых, были найдены более точные решения основного уравнения теории Дебая— Хюккеля—уравнения Пуассона—Больцмана. Такие решения были получены в 1927 г. Мюллером [14] и в 1928 г. Гронвеллом, ла Мером и Сандведом [15]. Однако в дальнейшем выяснилось, что точные решения уравнения Пуассона—Больцмана противоречат физическим основам теории Дебая—Хюккеля и ведут к несамосогласованным результатам. Наиболее строгий вывод уравнений теории разведенных растворов сильных электролитов принадлежит [c.426]

В статистико-механической теории растворов электролитов обычно используется модель раствора, в которой явному рассмотрению подлежит лишь подсистема, состояш,ая из ионов растворенного веш,ества, а наличие растворителя учитывается путем введения макроскопической диэлектрической постоянной в закон взаимодействия ионов друг с другом. Даже в такой упрощенной постановке проблема остается весьма сложной. До недавнего времени основой теории растворов электролитов служил метод Дебая— Гюккеля [1—6]. Критическому анализу допущений, лежащих в основе этого метода, были посвящены работы Фаулера [7], Онзагера [8] и Кирквуда [9]. Из этих работ следует, что принцип суперпозиции, с которым связано уравнение Пуассона—Больцмана для среднего потенциала, выполняется только для линейной теории Дебая—Гюккеля. Попытки более точного решения основного уравнения приводят к несамосогласованным результатам [10]. [c.5]

Уравнение (27-3) известно под названием уравнения Пуассона—Больцмана, и для его решения без приближения (27-7) Дебая—Хюккеля были затрачены большие усилия ). Гронвелл [c.104]

Чтобы завершить пример, нужно показать, что в некотором случае, когда потенциалы Ф (г) и Фг(А ) определяются из решения уравнения Пуассона—Больцмана, равенство (29-2) нарушается. Простейшим случаем является несимметричный электролит (задача 1). Для симметричных электролитов равенство (29-2) не нарушается. Между тем это не означает, что в данном случае против основной модели нет возражений. Процессы заряжения по Дебаю и Гюнтельбергу по-прежнему дают различные значения 1г,эл. [c.106]

Александрович [36] и Александрович и Качальский [13 провели детальный анализ применения правила аддитдв ности для растворов полиэлектролитов на основе разви тых ими фундаментальных представлений об электрохимй-ческом потенциале и о распределении малых ионов вокруг полимерной молекулы. Поскольку для растворов полиэлектролита с добавками низкомолекулярного электролита не получено точного решения уравнения Пуассона — Больцмана, пришлось сделать допущение о том, что электростатический потенциал слагается из потенциала внутренней области непосредственно примыкающей к макроиону, где электростатическое поле сильное, и потенциала внешней области довольно удаленной от макроиона. В области, примыкающей к макроиону, предполагается отсутствие коионов, так как они электростатически отталкиваются от заряженной полимерной молекулы. [c.30]

Увеличение энергии электростатического отталкивания в макромолекуле с ростом а, обусловливающее увеличение рК, частично компенсируется уменьшением энергии системы полимер— растворитель за счет более сильного притяжения к цепи низкомолекулярных противоионов, удерживаемых вблизи макромолекулы ее электростатическим потенциалом. Формально указанный эффект может быть описан как уменьшение взаимодействия заряженных групп цепи из-за их экранировки противоионами. Приближенная теория влияния на ДрЛГ взаимодействия макромолекулы с противоионами развита в работе Котина и Нагасава [Э ], в которой степень связывания противоионов ионизованной цепью вычислялась на основе решения нелинеаризованного уравнения Пуассона — Больцмана. [c.339]

Между тем Сенгупта [26] показал, что даже для весьма разбавленных растворов эта величина >1. Вероятно именно поэтому метод решения уравнения Пуассона — Больцмана, разработанный Грон-воллом, Ла-Мером и Зандвед [23], расширяет область применения теории до более высоких концентраций. [c.16]

В. последние два десятилетия Накайима [27], Г. И. Микулин [28, 29] и Гуггенгейм [30] разработали усовершенствованные численные методы решения уравнения Пуассона — Больцмана и составили специальные графики и таблицы для вычисления термодина- [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология