Методы численного интегрирования

Решение уравнений (П1.6) и (III.7) даже при использовании методов численного интегрирования представляет [c.42]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Решения для ступенчатого возмущения применительно к прямотоку и противотоку было дано методом характеристик. Приводятся решения через частотную характеристику для прямотока Имеются также решения для полного перемешивания газа в непрерывной фазе. Было представлено решение через частотную характеристику и для противотока с обратным перемешиванием результаты решения были использованы для определения (методом численного интегрирования) отклика на ступенчатое возмущение для модели противотока с обратным перемешиванием нри отсутствии адсорбции трасера на твердых частицах. Полагают что при наличии адсорбции перенос адсорбированного газа происходит с зернистым материалом, опускающимся в непрерывной фазе и обмениваемым между последней и газовым облаком. Будем называть массу газа, адсорбированного единицей объема твердых частиц (без учета просветов между частицами, но включая объем их внутренних пор), концентрацией с . [c.304]

Уравнения (XV,3), (XV,15) и (XV,24) решаются методом численного интегрирования. Следовательно, чтобы удовлетворить заданному перепаду Сдавления на насадке Ар, расчет скоростей газа и твердых частиц ведется методом проб и ошибок. Типичные результаты такого расчета представлены на рис. ХУ-6 в виде [c.584]

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.149]

Уже отмечалось, что производные 1 по х ж х можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстремали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см- поиск экстремума функции многих переменных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи. [c.214]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Поэтому наряду с аналитическими методами широкое распространение получили методы численного интегрирования. Развитие этих методов получило распространение особенно с внедрением ЦВМ в практику расчетов. [c.207]

Разнообразие методов численного интегрирования обусловлено стратегией выбора точек разбиения, обеспечивающей в каждом конкретном случае минимально возможную ошибку. Возможны два способа выбора точек разбиения исходного интервала. Первый способ заключается в том, что число интервалов фиксируется зара- [c.208]

Метод Симпсона является одним из наиболее распространенных и часто применяемых методов численного интегрирования. В отличие от метода трапеций подынтегральная функция аппроксимируется в пределах двух прилежащих интервалов разбиения квадратичной зависимостью, поскольку для вычисления коэффициентов параболы необходимо располагать тремя значениями функции. Общее число интервалов разбиения при этом должно быть четным. [c.211]

Методы численного интегрирования дифференциальных [c.352]

Метод численного интегрирования уравнения Дюгема—Маргулеса в видоизмененной форме, включающей относительную-летучесть, был предложен Гала с сотрудниками [193]. [c.169]

Первый из них (наиболее очевидный, но требующий больших затрат времени) — метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. Это удобно, если требуется проверить конкретное начальное условие или результат, полученный другим методом. Как указывалось выше, метод коллокации применим к модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом и трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом. Но может быть использован и другой вычислительный аппарат. [c.239]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (67) — (68) или (69) — (70) возможно при помощи разнообразных методов численного интегрирования, при условии, если известны численные значения коэффициентов С . .. Сз. Практически решение потребует огромной вычислительной работы, которую можно облегчить, применяя машинную вычислительную технику. Однако для получения правильных кинетических заключений нет нужды в проведении скрупулезного решения и достаточно будет в первом приближении решения упрощенной задачи. [c.135]

При низких давлениях проверка развитой выше теории радикально-цепного крекинга алканов, начинающегося на стенках и замедленного влиянием продуктов крекинга в объеме, была проведена расчетным путем для газообразных алканов в кандидатской диссертации И. Ф. Бахаревой [203). Для решения нелинейных дифференциальных уравнений (83), (92) и др. был впервые применен метод С. А. Чаплыгина [209], что позволило в отличие от других методов численного интегрирования получать решения в аналитической форме и оценивать погрешность расчета, а также оценить точность метода квазистационарных концентраций [210], широко применявшегося выше и вообще при исследовании разнообразных задач химической кинетики. [c.149]

Определить характеристику градирни, пользуясь методом численного интегрирования. [c.307]

Г. е. уточненное значение характеристики градирни менее чем на 2% отличается от значения, иолученного методом численного интегрирования. [c.308]

Замечания к принятым допущениям. При выводе приведенных выше зависимостей, как уже было сказано, не учтено изменение кривой относительной потери давления х вследствие закрывания клапана, а коэффициент давления потока Рр принят постоянным, не зависящим от положения пластины по высоте подъема. Для выяснения порядка связанных с этим погрешностей на рис. УП.87 даны кривые х, полученные с учетом закрывания клапана, а также кривые скорости движения о и перемещения /г = /г — АЛ при ходе пластины к седлу. Все кривые вычислены методом численного интегрирования при переменном рц. [c.381]

Методом численного интегрирования вычислены также нанесенные штрихами кривые величин х, v и h при пружине, усиленной всего [c.381]

Если химический процесс состоит из двух или нескольких последовательных реакций, то кинетика его описывается системой дифференциальных уравнений. Решение этой системы в общем случае может быть получено лишь методами численного интегрирования. Могут быть проинтегрированы в квадратурах лишь системы дифференциальных уравнений, описывающих кинетику любой совокупности последовательных реакций первого порядка, а также кинетику двух последовательных реакций, если первая из них является реакцией второго порядка, а вторая — реакцией первого порядка. [c.190]

В общем случае число стадий может быть больше двух. Кинетика последовательных реакций описывается системой дифференциальных уравнений, которая может быть решена лишь методами численного интегрирования. В аналитическом виде получаются решения только для совокупности последовательных реакций первого порядка. [c.264]

Таблица 1.6. Сопоставление результатов двух методов численного интегрирования

IX. 3) осуществляется каким-либо методом численного интегрирования с абсолютной погрешностью [c.233]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Если подытегральная функция имеет относительно простой вид и не требует большого объема вычислений, то выбор того или иного метода численного интегрирования не имеет принципиального значения, поскольку необходимая точность всегда может быть обеспечена увеличением числа узловых точек. [c.218]

Музиль и Брейтенхубер [194], исследовав метод численного интегрирования уравнения Дюгема—Маргулеса, пришли к выводу, что интегрирование всегда следует производить в направлении увеличения общего давления. Кроме этих способов, было предложено также рассчитывать равновесие по общему давлению, используя различные эмпирические зависимости неидеальной доли изобарного потенциала смешения [195] или коэффициентов активности [196—198] от состава. [c.169]

Дифференциальное уравнение (5.77) может быть проинтегрировано одним из известных методов численного интегрирования, если известна зависимость между температурой Т парогазовой смеси в ядре потока и температурой Tf поверхности конденсации. Нахождение такой эавигимости, однако, сопряжено с большими трудностями, так как на величину Г/ оказывают влияние многие факторы. [c.171]

Величина площади под кривой 1/(Я,, — На) на рис. 15.20 соответствует характеристике градирни K iV/L . В табл. 15.3 приведены результаты численного определения характеристики градирни, основанного на использовании метода численного интегрирования. Полученная величина KaVILw равна 2,184, [c.307]

Триплет — триплетная аннигиляция. Триплет — триплетная аннигиляция наблюдается при увеличении концентрации триплетных молекул. Явление триплет — триплетной аднигиляции наблюдается для антрацена при увеличении его концентрации или увеличении энергии вспыш ки. Осциллограмма гибели триплетов антрацена снимается на длине волны 425 нм. Кинетическая обработка данных проводится методом графн>ческого дифференцирования. Строится зависимость Ig от AD, из которой находится константа первого порядка k и отношение /гг/е. Принимая во зннмание значение е = 6,3-10 , определяется 2- Константы к и 2 могут быть также определены методом численного интегрирования [c.193]

Используя методы численного интегрирования и данные реологичес-кюс исследований нефти скважины 7950 Арланского месторождения, вычислили значения Цц при различных градиентаи давления. При этом было принятв, что распределение проницаемости пласта подчиняется закону М.М.Саттарова [ю] с параметрами распределения а = О и 0,155 мкм . [c.108]

Переход от уравнений Хартри — Фока к матричным уравнениям Рутана вносит в заданной системе базисных функций. определенные численные ошибки. Для атомов значения этих ошибок известны, так как атомные расчеты могут быть вьшолнены методом численного интегрирования (хартри-фоковский предел точности) и по схеме Рутана. Для молекул хартри-фоковский предел устанавливается несколько умозрительно. Тем не менее разработанные в последние годы методы численного интегрирования уравнений Хартри - Фока для двухатомных молекул позволяют для этих систем устранить эффект конечности базиса. Молекулярная орбиталь записьшается в сфероидальных координатах в виде [c.241]

Пример 2а. Используя метод численного интегрирования (метод трапеций), определить заряды поверхности электрода д1 и д2, соответствующие потенциалам —0,7 и —1,4 В, если дифффен-циальная емкость двойного электрического слоя на ртути в 0,1 н. растворе СзР имеет следующие значения [c.252]

Устойчивость методов численного интегрирования, Суммируя выражения, соответствующие частичным интервала и, для каждого из рассмотренных выше методов получпм формулу вида [c.22]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология