Поиск минимума функции

Рис. П-22. Поиск минимума функции методом градиента.

Задача поиска глобального минимума многоэкстремальной функции значительно сложнее, чем поиск минимума функции, имеющей единственный минимум. В литературе рассмотрен ряд алгоритмов поиска указанного глобального минимума. Остановимся на одном из этих алгоритмов. Идея его состоит в следующем. [c.72]

Укажем, что решение нелинейного уравнения с одним неизвестным / (х) = О можно рассматривать как задачу поиска минимума функции F (х), для которой / (х) = dF x)/dx. Такая задача решается поисковыми методами (половинного деления золотого сечения, стохастической аппроксимации), рассмотренными в главе VI. [c.143]

Для преодоления неглубоких локальных минимумов может быть использована одна из модификаций градиентного метода — метод тяжелого шарика [61], в котором при определении координат очередной точки в процессе спуска кроме вектора текущей точки и градиента минимизируемой функции в ней учитываются также значения этих величин в одной или нескольких предшествующих точках. Аналогичный результат обеспечивает применение метода сглаживания . В этом методе выражение минимизируемой функции 3 сглаживается таким образом, чтобы процесс дальнейшего поиска минимума функции 3 одним из обычных методов оказался малочувствительным к неглубоким локальным минимумам. Отыскание абсолютного минимума возможно также путем применения несколько видоизмененного метода покоординатного спуска. Модернизация состоит в том, что спуск по каждой координате производится не до локального, а до абсолютного минимума. Заметим, что определение абсолютного минимума одномерной функции — задача разрешимая. [c.154]

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ В ФОРМЕ НЕРАВЕНСТВ [c.78]

Поиск минимума функций при наличии ограничений [c.82]

Таким образом, задача поиска минимума функции / в области D (при наличии ограничений равенств и неравенств) свелась к поиску в области >2 т. е. только при наличии ограничений типа неравенств, либо стационарной точки внутри и на границе упомянутой области, либо точки локального минимума (на границе области D ) функции [c.98]

Задача определения кинетических констант сложной реакции обычно формулируется как задача поиска минимума функции многих переменных (предэкспонент, энергий активации и др.). Подобную экстремальную задачу можно решать различными способами. Опыт показывает, что эффективными при этом являются методы нелинейного программирования. Большой объем вычислений и нелинейность функций при решении таких задач требуют применения для разработки кинетических уравнений (этапы 4 и 5) АВМ либо ЦВМ (для очень сложных систем используют ЦВМ, чтобы избежать ошибок вследствие невысокой точности АВМ). В общем случае может оказаться полезным способ, при котором часть процедур выполняют на АВМ (качественный анализ выбранного механизма и вычисление ориентировочных значений констант в кинетических уравнениях), а окончательный расчет осуществляют на ЦВМ. Постановка и содержание задачи составления кинетических уравнений предопределяют также возможность использования аналого-цифрового комплекса для построения кинетических моделей. [c.87]

Такой процесс последовательных приближений может оказаться невыгодным, поскольку при малых Д[х придется много раз минимизировать функцию (у, [х). Поэтому лучше сделать так Д х брать не малыми, а в случае, когда при каком-то (х будет выполняться неравенство (У,43), просто делить шаг по х пополам, минимизировать функцию Р (у, + А[х /2) и т. д. Можно пойти еш е дальше и шаг по х увеличивать, если, скажем, в двух последовательных точках (Хй и Хй+1 неравенство (У,43) не выполнялось, т. е. для поиска у применять несколько видоизмененную известную технику поиска минимума функции одной переменной. [c.100]

Пусть задача поиска минимума функции f при наличии ограничений (У,6.6) решается с использованием множителей Лагранжа. Прежде всего отметим, что при решении конкретных задач нет необходимости вводить вспомогательные переменные 2 . Действительно, решая совместно п т уравнений (У,66) и (У,69), получим значения неизвестных и (/ = 1,. . ., ге) и X (I = 1,. . ., т). Подставляя эти значения в уравнения (У,70), найдем значения Хг- Далее искомые производные подсчитываются с помош,ью формул (У,71) и (У,72). Таким образом, если разбираемая задача решается посредством множителей Лагранжа, производные (У,60) находятся без труда. [c.105]

Авторами [2] были разработаны алгоритм и программа поиска минимума функции цели Ф(а,%ст) методом случайного поиска, который не всегда давал достоверные значения. [c.90]

Нами разработан алгоритм целенаправленного поиска минимума функции цели Ф(а,у,а) при аппроксимации экспериментальных значений расчетными [c.90]

Поиск минимума функции (13.2) по отношению к внутренним степеням свободы Q (длинам связей, валентным и диэдральным [c.362]

Выбор метода поиска минимума функции Ф(а) [c.234]

Использование методов случайного поиска минимума функций типа (IX. 7) также мало оправдано, так как приводит к резкому увеличению затрат машинного времени, не гарантируя повышения скорости сходимости a t) к a. [c.234]

Процесс поиска минимума функции Ф(а) существенно ускоряется, если известны начальные значения достаточно близкие к Для нахождения этих значений следует преобразовать [c.238]

Поиск минимума функции Ф по переменным ка, Е осуществлялся градиентным методом. В процессе решения задачи было установлено, что Ф имеет овраги . Для движения по их дну применялся метод оврагов . Частные производные Ф(йо,, Ё) находились по разностной схеме. Решение системы дифференциальных уравнений (XI, 36), (XI. 37) производилось методом Рунге — Кутта с шагом, равным Vie объема реактора. Затраты машинного времени ЦВМ типа М-20 на поиск минимума составляли не менее 1,5—2 ч при достаточно хороших начальных приближениях. Минимальное значение Ф при использовании данных табл. XI. 4 и XI. 5 равно 4,2. [c.306]

Поиск минимума, функции Ф[/г2(7 ), 4(7)] осуществлялся методом оврагов . Вначале производился градиентный спуск из начальных точек а = = [c.267]

По значениям а (4), 7" (4) можно с помощью метода наименьших квадратов определить коэффициенты разложения (XI. 10). Число членов ряда (XI. 10) подбирается рассмотренным выше способом. Найденные значения следует использовать в качестве начальных приближений <7° при поиске минимума функции (XI. 11) итерационным методом. [c.283]

Задача определения кинетических параметров уравнений (XI. 36) сводится, как и обычно, к поиску минимума функции десяти переменных [c.305]

Математическое описание (XI. 36), (XI. 37) предназначено для построения системы автоматического управления платформингом, обеспечивающей наибольший выход катализата и ароматических углеводородов. Вследствие этого в процессе поиска минимума функции а>(Ий,Е) значение со было увеличено до 192, а величина (Од уменьшена до 0,25 (весовые множители Юа и ют были приняты равными 1 и 0,008 соответственно). Подобное изменение весовых множителей обеспечивает более высокую точность приближения экспериментальных данных А, и г1 решениями уравнений (XI.36), (XI. 37) по сравнению с точностью аппроксимации и Т, Те, Т%. [c.305]

Для нахождения оптимального режима из множества с[х , дс ] решается задача поиска минимума функции, отражающей расход сырья иа получение 1 т МВА, и расходы, связанные с его рециркуляцией [c.98]

Для выбора оптимального режима в схеме с разрезной колонной, кроме общего числа тарелок, и номера тарелки питания необходимо изменять следующие переменные номера тарелок промежуточных вводов в укрепляющей и в исчерпывающей секциях степени отбора отгонного пара и извлеченной жидкости температуры, являющиеся пределом охлаждения отгонного пара и нагревания извлеченной жидкости. Вследствие значительной технической трудности решения задачи поиска минимума функции нескольких переменных температура отгонного пара после теплообменника 9 и температура извлеченной ж ид-кости после теплообменника 1 были приняты постоянными равными соответственно 202,77 °К и 255,2 °К. [c.333]

Рассмотрим схему поиска минимума функции 5 методом ИЗП второго порядка при наличии линейных ограничений типа равенств и неравенств. [c.185]

После решения системы линейных уравнений (VII,45) необходимо вернуться к переменным s по формуле, обратной к выражению (VI 1,44). Новые значения параметров можно рассчитать по уравнению (VII,9). Итак, соотношения (VII,45)—(VII,49) позволяют организовать итерационный поиск минимума функции отклонений д.чя центрированной нелинейной модели методом второго порядка. Если не вычислять М< , а ограничиться матрицами и получается центрированный (и масштабированный) вариант метода [c.189]

Нетрудно видеть, что поиск минимума функции S суммы квадратов разностей является задачей очень близкой к рассмотренной задаче поиска корней системы уравнений (III.4). В самом деле, все частные производные относительно искомых констант (к = 1, [c.118]

В точке минимума функция Ф, конечно, останется отличной от нуля, и если она слишком велика, это означает, что принятый нами вид функции непригоден для описания кинетики данного процесса. В этом случае надо задаться функциями г, другого вида (возможно, содержащими большее число неопределенных параметров) и повторить поиск минимума функции Ф. [c.372]

В практических задачах часто вычисление первых и тем более вторых производных вызывает значительные, а иногда и непреодолимые трудности, поэтому и был в качестве метода поиска минимума функции нескольких переменных выбран метод Розенброка, не требующий вычислений производных. [c.149]

Поиск минимума функции Р начинают из задаваемой начальной точки А- В этой точке определяется и запоминается значение целевой функции Р А) = УО- Из точки А делают пробные шаги 2) по каждой из переменных- В полученных точках вычисляют значения функции Р, из них выбирают наименьшие 81 и сравнивают с МО- Если 81 < УО, то в направлении наибольшего убывания функции делается двойной шаг. Получают новое значение функции 82- По полученнььм трем точкам (УО, 81-, 82) строится экстраполирующая парабола, по которой определяют точку минимума функции. [c.190]

Хотя условие равновесия можно записать в форме MnnHMy ма О (или F) или в форме закона действующих масс, не следует думать, что эти формы принципиально различаются. В обоих случаях используют одни и те же общие соотношения химической термодинамики и термодинамические функции веществ Но метод минимизации О (или F) формулируется таким образом, что он непосредственно подготовлен для использования процедуры нахождения решения численным методом на ЭВМ путем поиска минимума функции многих переменных и программируется так, что не требует последовательного выполнения этапов А — Г традиционного подхода. [c.113]

Из некоторой начальной точки М начинаем поиск при помощи какого-либо одного локального метода. Пусть в результате поиска, (рис. 22) найден минимум в точке (и ,. . и]). Запоминаем экстремальные значения координат (г = 1,. . ., г) и величину / = /i в данной точке. После этого двигаемся по направлению Л/ до тех пор, пока на этом направлении не пройдем максимум. Обозначим через М[ первую точку после максимума на направлении МНовый поиск минимума функции / опять начинаем из точки М[. Пусть этот новый минимум будет в точке М и, . . Ur) и соответствующее значение / равно /а- Если /2 <С /и то запоминаем /2 и соответствующие координаты uf. Если же /2 > fi, то по-прежнему хранятся координаты и и значение соответствующие первому минимуму. [c.72]

Отметим один существенный недостаток метода штрафов. Известно (см., например работу [8, с. 75]), что функция Р при большом а имеет овраг даже в том случае, когда у функции f нет оврагов , причем с увеличением а овражность функции Р возрастает. В то же время известно, что сходимость методов спуска при минимизации функций, характеризуемых оврагами , существенно хуже, чем у функций, не имеющих оврагов . Отсюда, чем с большей точностью мы хотим найти решение (а для этого надо увеличивать а), тем сложнее, вообще говоря, будет фактически получить решение, поскольку сходимость методов спуска ухудшается с возрастанием а. Поэтому при поиске минимума функции Р, как правило, а не устанавливают сразу слишком большим, а вначале находят указанный минимум при каком-то конечном, небольшом значении а = а [c.91]

Второе свойство функции F состоит в следующем поиск ее min при фиксированных yW (А = 1,. . ., TV) должен сводиться к независимому поиску минимумов функций в случае, когда справедлива формула (VIII,57), это свойство записывается так [c.195]

Поиск минимума функции осуществляется игерационным методом. Блок-схема расчета приведена в работе [3]. Задается первоначальное значение неучтенного отгона (а =1), по которому определяется приближенный состав пластовой нефти. Для этого, по выбранным двум, средним точкам состава (х и х ) и соответствующим им значениям температур и и значениям г и т ), получаем систему двух уравнений [c.90]

Овражность такого типа частично устраняется переходом к параметрам п A i и Е , которые применялись в примерах предыдущей главы (см. с. 159). Появление оврагов у функций отклонений может быть связано с формой кинетического уравнения и с недостаточной информативностью результатов экспериментов по отношению к параметрам постулируемой модели. Математически овражность выражается в том, что матрица вторых производных функции отклонений имеет большой разброс собственных значений. При этом поверхность второго порядка, локально аппроксимирующая функцию отклонений, сильно вытянута вдоль одних направлений и сжата в других. Наличие оврагов сильно затрудняет поиск минимума функции отклонений. Классическим примером овражной функции служит функция Розенброка [125, с. 115] [c.177]

Все методы поиска минимума функции многих переменных основываются на знании градиента Ф(й) или частных производных (ЗФ/(За х (г = 1,2,. .., п х = 1,2,. .., к). Нахождение функций 0ф/(3а,ц на кахедом г-м шаге является наиболее трудоемкой задачей при поиске минимума Ф(а). [c.234]

Метод ИЗП позволяет легко модифицировать овражные алгоритми для поиска минимума функций при наличии линейных ограничений. [c.185]

Следующее утверждение позволяет построить и обосновать сходимость одного класса алгоритмов поиска минимумов в эквива-валентной задаче исследования ХТС. Пусть вспомогательная функция Р 1, х) эквивалентной задачи исследования ХТС имеет непустое множество минимумов х t), > 0. Пусть известна (не-обязатемно точно) нижняя оценка функции Р ( , ас) для > О, равная Р (1). Пусть итерационный процесс поиска минимума функции Р (г, х), > О, имеет вид [c.326]

При Я, расч = Гзад функция б равна нулю и имеет минимум. Таким образом, наша задача свелась к поиску минимума функции п переменных (где п — число компонентов, участвующих в процессе). [c.31]

Выбор величины шага из условия (18) гарантирует выполнение словия монотонности 6 . Фактически при таком подходе для определения BejurtHHM шага градиентного метода приходится решать еще одну вспомогательную задачу (18) одномерной минимизации. Заметим, что в прикладных задачах поиск минимума функции (а) на всей полуоси становится обременительным и [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология