Поиск экстремума, метод аналитические

Аналитический поиск экстремума Метод множителей Лагранжа [c.142]

В рамках планирования эксперимента есть по крайней мере два широко распространенных метода поиска экстремума, т. е. оптимизации. Этот метод Бокса — Уилсона или метод крутого восхождения [15] и метод последовательной симплексной оптимизации (ПСМ) [16]. Между ними наблюдается некоторая конкуренция, но каждый из них использовался сотни раз в различных задачах аналитической химии. Попытка дать систематический обзор этих приложений потребовала бы целого тома. Впрочем, мы еще скажем ниже о библиографических источниках. [c.7]

Аналитический поиск экстремума функций, заданных без ограничений на независимые переменные, применяется к задачам, у которых оптимизируемая функция имеет аналитическое выражение, дифференцируемое во всем диапазоне исследований, а число переменных невелико. Это наиболее простой метод, он базируется на использовании математического аппарата по определению экстремального значения функции, в результате приравнивания ее производной нулю. Однако область применения указанного метода невелика— это наиболее простые детерминированные процессы с сосредоточенными параметрами без ограничений на основные переменные. [c.247]

В задаче с непрерывными переменными стоимостные функции сепарабельны и при онределении оптимума можно применять вариационные методы, аналитический поиск экстремума, метод множителей Лагранжа. [c.75]

Аналитический поиск экстремума Метод множителей Лагранжа Вариационные ме< тоды [c.204]

Пример 3.2. Решение задач оптимизации модели на основе уравнения регрессии методами классического аналитического поиска экстремума и Гаусса-Зейделя [c.76]

Аналитический поиск экстремума целевой функции — используется в тех случаях, когда функция задается без ограничений на независимые переменные. Данный метод применяется к целевым функциям, дифференцируемым во всем диапазоне исследуемого параметра, если число переменных невелико. Экстремальное значение функции находится в результате приравнивания ее производной к нулю. [c.174]

Пример 3 1. Определение оптимальных условий реализации химической реакции методом классического аналитического поиска экстремума 73 [c.162]

I. Группа аналитических методов оптимизации объединяет аналитический поиск экстремума функций, заданных без ограничений, метод множителей Лагранжа, вариационные методы и принцип максимума. [c.247]

Метод множителей Лагранжа используется для решения задач такого же класса сложности, как и в аналитическом поиске экстремума, но при ограничениях типа равенств на независимые переменные. При этом добавляется требование возможности получения аналитического выражения для производных от аналитического вида ограничительных уравнений и вводится некоторая вспомогательная функция, содержащая неопределенные множители Лагранжа. Использование указанной функции по определенной процедуре позволяет свести задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений. [c.247]

Если используется ЭЦВМ, расчеты можно вести итерационным методом, или методом проб и ошибок , что очень похоже на. поиск экстремума, описанный выше. Расчеты могут свестись к вычислениям (по формулам) оптимальных значений вводимых переменных, представляющих собой либо аналитическое решение задачи регулирования, либо совокупность предыдущих итерационных решений з. В любом случае главная идея заключается в том, чтобы предугадать или предсказать дальнейшее поведение процесса и затем, манипулируя определенными переменными, направить процесс таким путем, чтобы его характеристики удовлетворяли заранее установленным критериям. Такой подход к делу будет наиболее успешным, если 1) рассматриваются динамические ситуации (например, периодические процессы) 2) нужно управлять большим числом [c.438]

В большинстве случаев, когда границы нельзя легко выразить в аналитической форме, можно использовать следующий метод. Исходная функция Р, которая считается положительной, сохраняется неизменной в большей части допустимой области. В запрещенной области Р полагают равной нулю. Только в узкой области внутри границ функция Р задается гладким переходом от нуля до ее действительного значения. Тогда к модифицированной функции Р можно применить любой из обычных методов поиска экстремума, и они приведут к максимуму [c.131]

Равновесный состав определяется значениями Xi, минимизирующими Р с учетом условий (7). Уравнения (7) можно использовать для исключения т переменных из Р, при этом Р становится функцией только п—т переменных. При аналитическом решении задачи для исключения этих переменных может быть использован метод множителей Лагранжа, но при использовании метода поиска экстремума это исключение можно делать только чисто алгебраически или с помощью соответствующей машинной программы, используемой при определении Р. [c.170]

При использовании данного метода предполагалось, что распределение температур описывается каким-либо аналитическим выражением (прямая линия, парабола, экспонента и т. д.) с некоторым числом варьируемых параметров. Это выражение затем было подставлено в уравнения кинетики (3), и с целью максимизации функции Xz tf) к параметрам и общему контактному времени был применен метод поиска экстремума. [c.345]

Задача поиска минимума функции многих переменных встречается в самых различных областях физики, математики, техники идр. Особое значение приобретает она при построении систем автоматической оптимизации сложных химико технологических объектов. При этом математическая формулировка оптимальной задачи часто эквивалентна задаче отыскания минимума функции многих переменных. Каи правило, эти функции настолько сложны, что маловероятно отыскать экстремум обычными аналитическими методами. Кроме того, на практике всегда имеются ограничения на переменные и минимум должен быть найден внутри некоторой допустимой области. Ограничения очень важны при выявлении наилучшего решения и их трудно учесть при использовании аналитических методов. Поэтому, как правило, для решения таких задач применяют численные методы с использованием ЭЦВМ. [c.190]

Таким образом, математическое описание области допустимых режимов представляет собой совокупность условий, включающую линейные и нелинейные уравнения и неравенства (17.3) —(17.6), (17.9), (17.13) и (17.14). В связи с тем что некоторые характеристики активных элементов могут быть составлены из двух и более аналитических зависимостей (соответствующих различным диапазонам изменения основных переменных) или даже принимать лишь дискретные значения, ясно, что данная система условий может иметь и такие нелинейные соотношения, которые недифференцируемы в отдельных точках или связаны логическими условиями и требованиями дискретности. Все это резко ограничивает, а в общем случае и исключает применение традиционных математических методов, опирающихся на непрерьшность и дифференцируемость функций, составляющих математическую формулировку задачи. Поэтому речь должна идти о специальных методах (типа метода динамического программирования и другах методов поиска экстремума), оперирующих по возможности лишь со значениями функций, а также максимально учитьшающих специфику этих [c.237]

Пример 3 2 Решение задач оптимизации модели на основе уравнения регрессии методами классического аналитического поиска экстремума и Гаусса-Зейделя 76 Пример 3. 3 Расчет оптимальных размеров слоя катализатора в реакторе термокаталитической очистки отходящих газов от пргшесей углеводородов методом неопределенных множителей Лагранжа 79 Пример 3.4. Выбор рациональной схемы взаимного расположения аппаратов на базе [c.162]

Все методы, описанные до сих пор, за исключением метода последовательного изменения параметров, основываются на знании р расчетных производных дР1дХ . Метод Ньютона—Рэфсона использует, кроме того, р р+ )/2 различных вторых производных д Р дх1дх . Для многих задач непрактично вычислять частные производные из аналитических формул. Поэтому для любой универсальной программы поиска экстремума, в которой используются частные производные, необходимо получать их численно, как было предложено с помощью уравнения (5) и по соответствующим формулам для вторых производных. [c.105]

В качестве уравнения связи берем формулу для объема сварного сосуда У= п0 1А)Н. На высоту Я может быть наложено ограничение, в частности, вызванное требованием транспортной габаритности Ящах, т. е. Я Ятах. Методом аналитического поиска экстремума объединением функции цели и уравнения связи находим оптимальную высоту //ор1 = У / - [c.28]

Нахождение оптимального варианта ТОА формулируется в виде математической задачи отыскания минимального значения величины КО как функции нескольких переменных, т. е. необходимо найти значения варьируемых переменных, при которых КО будет иметь минимальную величину. Поскольку явный вид функциональной зависимости КО от всех переменных и параметров оказывается достаточно сложным, то рассчитывать на решение задачи поиска экстремума аналитическими методами не приходится. Единственно возможный путь —это определение значений КО для различных вариантов ТОА, способных реализовать заданные технологические требования, их сопоставление и выбор варианта с минимальной величиной КО. Поскольку ч[1сло возможных вариантов оказывается, как правило, значительным, а расчет каждого из них тре- [c.246]

Другим эффективным методом решения задач оптимального резервирования ХТС является градиентный [231]. Основная идея этого метода состоит в том, что значение экстремума критерия эффективности отыскивается последовательными шагами из начальной точки, oпpeдeлJ eмoй исходным вектором состава поэлементного резерва ХТС Хо, в направлении градиента критерия. При этом для решения вариационной задачи не требуется знать аналитическое выражение для критерия эффективности, а необходимо иметь лишь значения критерия и его первых частных производных в точках, расположенных на траектории движения к экстремуму КЭ и определяемых векторами состава поэлементного резерва ХТС X(i), где I — номер шага оптимального поиска. [c.206]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология