Стационарные краевые задачи

Показано [74-76], что для начально-краевой задачи в случае плоской или осевой симметрии (если к тому же область течения не содержит оси симметрии) при всех т —> О существует единственное решение. Для общего трехмерного случая однозначная разрешимость установлена лишь в малых интервалах времени. Для стационарных краевых задач при любых числах Рейнольдса существует по крайней мере одно решение. Для ограниченной области и малых чисел Рейнольдса решение краевой задачи единственно и устойчиво. Для нестационарных краевых задач показано, что при малых числах Рейнольдса, произвольном начальном режиме и т —> -Ьоо их решение стремится к соответствующему решению стационарной задачи. Если же число Ке велико, то нет оснований ожидать, что нестационарное решение вообще стремится к какому-либо пределу при т —) - -оо. Для течений со свободной [c.144]

Стационарные краевые задачи [c.51]

Задача является краевой. В настоящее время нет математических методов решения этой системы в общем виде. Трудность решения краевой задачи заключается в том, что значения переменных и их производных на границах зависят от решения, которое неизвестно. В данном случае эта трудность преодолевается следующим путем. Первоначальная стационарная краевая задача заменяется нестационарной, причем предполагается, [c.65]

Решения общих краевых задач для уравнения (XV,87) обладают свойством стабилизации ограниченное решение 1/ X, I) каждой такой задачи при tоо имеет предел, являющийся стационарным решением Физически это означает, что всякий нестационарный процесс [математическая модель которого описывается уравнением (XV,87) с соответствующими граничными условиями и учитывающая конкретный закон сохранения (ограниченность решения) устанавливается, т. е. для больших значений времени весьма близок к стационарному режиму. Скорость выхода на стационарный режим, как правило, экспоненциальна, что оправдывает метод вычисления стационарного решения с использованием нестационарной задачи. [c.514]

Множественность стационарных решений. Опуская в (25), (26) производные но времени, получаем для рассматриваемых моделей нелинейные краевые задачи. Для их решения оказался удобным метод пристрелки, поскольку на правом конце задано только одно граничное условие. Этот метод позволяет найти все стационарные режимы, как устойчивые, так и неустойчивые. Выше было показано, что стационарные решения, найденные по двум моделям, асимптотически сближаются при В >. Расчеты с параметрами моделей из области их практических значений показывают, что эта близость сохраняется и при реальных значениях параметра В . На рис. 10 представлены некоторые результаты расчетов, проведенных в [25, 26]. [c.58]

Метод нестационарных сеток. Для приближенного решения нестационарной краевой задачи в заданной области Q = QX X 10, Г], Й<=Л , конечно-разностными методами необходимо в Q построить разностную сетку. Зададим для этого произвольное разбиение отрезка [О, Т узлами /с = О, N, и для каждого построим в й сетку по пространственным переменным 2л. Совокупность всех узлов лт = 1 3л, образует сетку в Q. Сетку Qh будем называть нестационарной (НС), если 2 2 хотя бы для одного к < N. Другой способ построения НС состоит во введении подвижной системы координат, в которой берется стационарная сетка. Такие сетки будем называть подвижными (НС). НС появляются естественным образом при стремлении сократить вычислительную работу, требующуюся для нахождения приближенного решения с нужной точностью, путем минимизации числа узлов разностной сетки. Различного вида НС рассматривались в работах [11—20]. В [И, 12] для приближенного решения уравнения теплопроводности построены оптимальные НС с увеличением шага по пространству в два раза при переходе с А-го времен- [c.158]

Однако больщинство химико-технологических объектов являются стационарными коэффициенты описывающих их уравнений не зависят от времени. Для стационарных объектов процедура определения весовой функции остается в целом той же, что и в случае нестационарных объектов необходимо решать краевую задачу типа (3.2.5), (3.2.6), в которой коэффициенты уравнения [c.99]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Система (2.6.3), (2.6.4) имеет обычно весьма высокий порядок. Так, при Л/ 10 она содержит 10 неизвестных. Высокий порядок систем уравнений, возникающих при сеточной аппроксимации краевых задач для эллиптических уравнений, осложняет применение простых (конечных) методов решения линейных систем уравнений и побуждает использовать в этих целях итерационные методы. Некоторые из итерационных методов могут быть получены с помощью принципа установления решение стационарной задачи находится как предел решения соответствующей нестационарной задачи при неограниченном возрастании времени. [c.52]

Двухточечные краевые задачи. Однопараметрическая диффузионная модель стационарного химического реактора [c.207]

Зависимость между поперечным сечением монокристалла и положением фронта кристаллизации может быть найдена при учете капиллярных явлений в расплаве и теплопереноса в системе в целом. В качестве первого приближения указанную зависимость можно определить путем решения краевой задачи для капиллярного уравнения Лапласа, описываю-щего форму поверхности расплава в мениске, а также из решения стационарной тепловой задачи для системы монокристалл - расплав. Исследование условий устойчивости позволяет также выяснить характер влияния формообразователя на процесс вытягивания монокристалла постоянного поперечного сечения и установить различие между методами Чохральского и Степанова. В методе Степанова, например, при вытягивании [c.101]

Разложение (3.51) вводится затем или в функционал энергии, соответствующий исходной краевой задаче (3.40), или в условие ортогональности невязки зтой задачи и выбранных в качестве весовых функций формы, входящих в разложение. Минимизация функционала энергии относительно узловых перемещений й/" разложения в первом случае и условие ортогональности во втором позволяют получить дискретные для стационарных задач и полудискретные для задач, зависящих от времени, соотношения МКЭ. Такой подход будет использован ниже (в гл. 5) для решения задач теплопроводности (3.39). [c.105]

В этом случае постоянный поток индикатора следует вводить в слой на какой-либо высоте 2о однородно по поперечному сечению и после установления стационарного распределения отобрать пробы вдоль слоя. Математически процесс описывается следующей краевой задачей [c.290]

Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, М < 1, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показано ), что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7 ) из 5, является корректно поставленной. Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение С/(х) должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера — Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока. [c.26]

Парадокс Даламбера нельзя распространить на сверхзвуковое течение даже без учета вязкости математические соображения приводят к существованию положительного лобового сопротивления. Ввиду парадокса обратимости это возможно только потому, что краевая задача (для стационарного движения), определяемая уравнениями Эйлера, не является корректной. Мы покажем сейчас это, начав с рассмотрения линеаризованного сверхзвукового течения (теория тонкого крыла ). [c.34]

Следствие. Если два стационарных течения удовлетворяют краевой задаче (3), (4), (6) при одном и том же числе [c.52]

В силу уравнения Бернулли (8 ) гл. I, если все еще пренебрегать силой тяжести, скорость остается постоянной вдоль любой свободной линии тока при стационарном течении, и наоборот v dv = —dp/p = 0. Это дает чисто кинематическое краевое условие для стационарных течений, ограниченных свободными линиями. Вместе с формулами 5 оно определяет следующую краевую задачу теории потенциала. [c.77]

Поскольку сформулированные выше условия определяют корректно поставленную краевую задачу (задачу Неймана, см. 4) для стационарного течения при заданном Ра, отсюда вытекает следствие. [c.141]

Метод принципа максимума для сложвцх процессов значительно экономнее метода динамического программирования. На основе данного метода удается создать общий подход к решет нию задач оптимизации стационарных и нестационарных каталитических процессов. Этот метод заключается в решении краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определении оптимального управления на каждом шаге интегрирования исходя из условия максимума некоторой функции Решение состоит в выборе некоторых начальных условий и их дальнейшего уточнения для нахождения оптимального режима. Указанная процедура позволяет разработать эффективный численный метод решения краевых задач. [c.495]

В принципе описанный метод решения задачи может быть использован и при переменной температуре поверхности а = О, а такн б при другом типе краевых условий. Однако при этом сложность расчета увеличивается. Наиболее важным моментом приведенного решения задачи является вопрос о сходимости ряда (3.20) в общем случае. Следует отметить, что при построении последнего за нулевое приближение бралось решение, соответствующее стационарному решению задачи. Лучшей сходимости последовательности приближений можно добиться, если за нулевое приближение принять решение задачи в нестационарном случае, но без учета температурной зависимости X ж с [24], [c.81]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Свойство стабилнзации. Рассмотрим третью краевую задачу (4.1.1), (4.1.6), (4.1.9) в случае Т = °°. Пусть fit, х) j x) при i ОО и о, Ро, Уа, i, t, СТабилизиру-ются, т. 6. стремятся к некоторым предельным значениям. Тогда прп дополнительных ограничениях относительно условий (4.1.9) и коэффициента Ъ решение u t, х) также стабилизируется точнее говоря, uit, х) при i->< стремится к решению предельной стационарной краевой задачи. Упомянутые дополнительные ограничения выполнены, в частности, для первой краевой задачи при 6 0. [c.83]

Теоретические исследования силы сопротивления, действующей на твердую сферическую частицу, которая стационарно осаждается в дисперсной смеси и испытывает влияние окружаюншх частиц, начались ра-тами Смолуховского [22]. Как известно, точное решение этой задачи принципиально невозможно из-за необходимости удовлетворения граничных условий сразу на нескольких поверхностях. Поэтому Смолухов-ский предложил метод последовательных итераций, в котором краевую задачу можно бьшо решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. Этот метод получил название метода отражений и позволил решить целый ряд задач, связанных с гидродинамическим взаимодействием частиц друг с другом и со стенками канала [22]. Метод основан на линейности уравнений Стокса, описывающих установившееся течение вязкой жидкости, когда значение критерия Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы, мало по сравнению с единицей. Решение задачи обтекания частицы в облаке, состоящем из N частиц, ищется в виде суммы основного возмущения, вносимогг) в поток произвольно выбранной (пробной) частицей, и последовательных, ,отражений этого возмущения от имеющихся в наличии поверхностей [c.64]

При наличии таких функционалов, которые мы называем функционалами Ляпунова, можно доказать, что всякий часигч-пый предел решения краевой задачи для параболической системы является стационарным решением, а нри некоторых нредположе-ннях о структуре стационарных решений п стабилизацию ограниченных в достаточно сильных нормах решений к стационарному. Теорема 3 применима к уравнениям, описывающим процесс на пластинке, в порах катализатора, имеющего форму шара, а также процесс теплопередачи в неподвижном слое, и к уравнениям теорпп горения. [c.94]

Эта теорема доказывает условную асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения — п. т. д. р.— и опирается на метод анализа решений общих краевых задач для параболи- [c.112]

Математическая модель представляет трехмерную краевую задачу, областью расчета которой является электролитическая ячейка с локальным искривлением границы на одной из границ из-за пузырька. Стационарное распределение тока в случае однородной проводимости среды описывается уравнением Лапласа Дф = О, где ф - потенциал. Для корректной постановки задачи в каждой точке границы надо задать либо потенциал, либо гиютность тока, либо условия линейной или нелинейной поляризации. [c.118]

Постановка вариационной задачи для плоскопараллельных и осесимметричных сверхзвуковых течений газа на основе полных нелинейных уравнений с использованием контрольного контура принадлежит Гудер-лею и Хантшу [3], которые рассмотрели задачу об оптимизации формы сопла Лаваля для случая стационарного течения несовершенного газа. Результаты этой работы приводят к краевой задаче для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих искомые функции на контрольном контуре. К тем же результатам при решении задач внешнего обтекания независимо пришли Зандберген и Валле [4]. Несколько раньше в работах [5, 6] было опубликовано решение ряда вариационных задач газовой динамики для внешних и внутренних сверхзвуковых течений совершенного газа. В этих работах решена краевая задача для нелинейных дифференциальных уравнений на характеристике контрольного контура. В случае безвихревых потоков решение представлено в явном виде. В случае вихревых течений решение сведено к задаче Коши для дифференциального уравнения. Стернин [7] обратил внимание на то, что в одной точке характеристики контрольного контура, построенной на основе необходимых условий экстремума, ускорение может стать бесконечно большим, и нашел геометрическое место таких точек в плоскости годографа скоростей. Это геометрическое место встретилось в дальнейшем при исследовании необходимых условий минимума сопротивления. [c.46]

Значительные сложности, с которыми приходится сталкиваться при численном решении краевых задач для стационарной модели процесса полимеризации в трубчатом реакторе, преодолеваются при помощи варианта "метода пристрелки", который включает оптимизационный модуль для ускорешюго поиска решения. [c.189]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени нри неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при i оо нестационарного-решения при стационарных (не зависяхцих от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Оператор Л можно заменить системой операторов Ui t)- v (t) каждый из которых сопоставляет величине (/) [прираще ние входного параметра ц, (/) относительно его стационарного зна чения величину Иу(0 [приращение выходного параметра t (i относительно его стационарного значения о ]. Для остальных вход ных величин выполнено ( ) = О, тф1, т. е. параметры ит 1) имеют неизменные стационарные значения. Таким образом, все операторы Лгу описываются краевыми задачами, которые получаются из исходной математической модели приравниванием к нулю всех входных переменных, кроме -й. [c.47]

Посвящена исследованию процессов массо- и теплопереноса к поверхности реагирующих частиц, капель и пузырей, движущихся в жидкости или газе. Развиты эффективные приближенные аналитические методы решения соответствующих стационарных и нестационарных краевых задач нри больших и малых числах Пекле. Исследована зависимость массотеплообмена от формы частицы, гидродинамики потока и. кинетики химической реакции. Изучены вопросы конвективного массотеплообмена в упорядоченных системах частиц, капель и пузырей. Рассмотрены задачи о нестационарной диффузии к реагирующей поверхности в потоке. Приведены также простые инженерные формулы, пригодные для непосредственного практического использования. [c.2]

В этой главе мы рассмотрим систему законов сохранения (гл. 1) и феноменологических законов, которые выражают потоки через обобщенные силы (гл. 3) и из них получим систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в случае интенсивных переменных, не зависящих от пространственных координат, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При этом мы имеем или краевую задачу (стационарное состояние), или задачу с заданными начальными условиями (зависящие от времени однородные процессы), или задачу, в которой заданы как начальные условия, так и условия на границах (зависящие от времени неоднородные процессы). Как правило, возникающие задачи очень сложны и, за исключением нескольких простых случаев, их точЕюе решение получить не удается. Поэтому приходится пользоваться приближенными методами или численными расчетами. [c.126]

Методика опробована (численные расчеты на ЭЦВМ) на том же примере с трехсантиметровым медным стержнем в кипящем фреоне, что и в первой части работы. На рис. 4 представлено полученное в соответствии с пунктом а стационарное значение J для второй краевой задачи (при д =0), на рис. 5 — пример исследу- [c.36]

Модель одномерного реактора опирается на систему уравнений одномерной диффузии и теплопроводности с граничными условиями на входе и выходе из реактора [14]. Решение этой системы, нредставляюш ее собой двухточечную краевую задачу, сопряжено с большими вычислительными трудностями. На основе этой модели (в основном с привлечением численных методов) была сделана попытка исследовать ряд промышленных реакторов [15]. Одним из значительных результатов, полученных в рамках этой модели, является обнаружение неоднозначности и неустойчивости стационарных режимов работы реакторов. Эти результаты получили эксперпментальное подтверждение. [c.173]

Краевые задачи для систем уравнений параболического типа представляют собой одну из основных математических моделей, возникающих в теории горения, теории химических реакторов и Б других прикладных вопросах. Качественный анализ решений таких задач является актуальной проблемой теории математического моделирования химических процессов. За последние годы в работах Т.И.Зеленяка, С.Н.Кружкова и ряда других авторов (см.[I])достигнуто существенное продвижение в иззгчении поведения решений одного квазилинейного пар олического уравнения с одной пространственной переменной доказана теорема о стабилизации ограниченных решений,получены удобные для приложений критерш устойчивости стационарных режимов, исследованы области устойчивости, а также поведения решений в окрестности неустойчивых стационарных режимов. Построение столь же полной качественной теории в случае систем уравнений пока еще не представляется возможным, хотя имеется ряд частных результатов, показывающих,что качественная картина поведения решений параболических систем во многом отличается от поведения решений [c.132]

Многие прикладные вопросы теории математического моделирования химических процессов приводят к иззгченис устойчивости стационарных решений краевых задач для нелинейных параболи-ческзах систем с одной пространственной переменной [c.139]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]

Стационарное локально безвихревое плоское течение с циркуляцией можно определить как течение Жуковского , если оно удовлетворяет условию Жуковского. Течение Жуковского для плоской пластинки схематически изображено на рис. 2, б коэффициент подъемной силы = 2ir sin а, где а — угол атаки. Течение Жуковского для заданного профиля с острой задней кромкой представляет собой корректно поставленную краевую задачу. Ее решение в частных случаях (профиль Жуковского, профиль Кармана — Треффтца и т. д.) составляет основ1ную главу современной теории крыла впервые общую теорию (с приложениями) дал Мизес ). Ее справедливость основывается на следующей теореме чистой математики, которая позволяет нам преобразовывать элементарное течение Жуковского (12а) для единичного круга в несжимаемое течение Жуковского для произвольного профиля. [c.30]

Значительные результаты относительно существования и устойчивости шений стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Навье —Стокса получены в ряде работ О. А. Ладыженской и ее сотрудников. См. Ладыженская О. Д., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Физматгиз, М., %. Прим. перев. [c.55]