Ланцош

Первая часть работы имеет достаточно самостоятельный интерес. В ней представлены разработанные в нашей лаборатории принципы построения программ синтеза спектров ЭПР спиновой метни на основе теории Фрида с использованием быстрого алгоритма Ланцоша. [c.224]

Матрица оператора —(L гГ) аппроксимируется тридиагональ-ной матрицей в соответствии с алгоритмом Ланцоша(З) последующим рекуррентным формулам [c.225]

В этом случае оператор Ь представляет собой комплексную самосопряженную матрицу. Оператор Г диагоналеп, поэтому матрица оператора —(Ь + гГ) не является ни эрмитовой, ни симметричной. Для эффективной работы алгоритма Ланцоша необходимо преобразовать оператор —(Ь + гГ) к симметричному виду, что достигается приведением оператора Ь к форме действительной симметричной матрицы. Для этого используется переход в новый базис в пространстве угловых переменных, определяемый соотношениями [c.226]

Следующим важным этапом на пути алгоритмизации задачи расчета ЭПР-спектра является выбор структуры данных, с которыми предстоит работать вычислительной машине. Использование алгоритма Ланцоша для решения задачи на отыскание собственных значений оператора —(Ь+гГ) позволяет выбрать любой компактный способ хранения матричных элементов, поскольку в процессе вычислений исходная матрица не изменяется. В наших программах применен "блочный способ формирования и хранения матрицы оператора Ь матричные элементы оператора Г хранятся в оперативной памяти отдельно в виде вектора. [c.228]

Кроме того, матричные элементы верхних треугольных подматриц 1—4 хранятся не все. Элементы этих подматриц содержат общий множитель, одинаковый для групп матриц I—III и IV—VII, поэтому в целях экономии ресурсов оперативной памяти в ней хранится всего одна треугольная матрица типа I, содержащая общий множитель для группы I—III и одна треугольная матрица для группы IV—VII. Полностью матричные элементы оператора t вычисляются непосредственно на каждом шаге алгоритма Ланцоша. [c.230]

В процессе работы алгоритма Ланцоша (на каждом его шаге) вычисляются необходимые матричные элементы и индексы, соответствующие положению этих элементов в исходной матрице оператора L. Мы используем версию алгоритма Ланцоша, в которой требуется хранение в оперативной памяти трех комплексных векторов, равных по размерности рангу исходной матрицы. Разно мерность всех необходимых массивов в программе зарезервирована для использования максимальных индексов L—K—2i и предусмотрена возможность выбора исходного базиса с К L. [c.230]

Для хранения матричных элементов оператора Ь требуется 157 кб памяти, для хранения трех комплексных векторов Ланцоша размерности N необходимо 48 кб памяти. [c.231]

Хранение матричных элементов требует 70 кб, а хранение векторов Ланцоша — 35 кб памяти (при Ь=К=2Ъ). Для сравнения отметим, что при хранении матрицы оператора Ь в ленточном виде, как это предусмотрено в программе Фрида из работы [2], необходимо примерно 4,3 Мб оперативной памяти (при ,=ЛГ=24). [c.232]

На втором этапе решения спектральной задачи, используя алгоритм Ланцоша, оператор — (Ь-ЬгТ), определенный в К-мер-ном комплексном базисе, аппроксимируется оператором в п-мерном пространстве, причем га Л . Алгоритм Ланцоша, сформулированный для эрмитовых операторов, был модифицирован Моро и Фридом [31 для работы с комплексным симметричным оператором —(Ь-ЬгТ) переопределением нормы вектора в комнлекс-ном пространстве так, что норма стала комплексной. В пространстве с переопределенной таким способом метрикой неприменимы критерии сходимости, используемые в обычном метрическом пространстве, поэтому этот этап решения спектральной эадачи требует особого рассмотрения. В работе [31 предлагается следующий способ выбора размерности базиса Ланцоша начиная с некоторого (обычно выбранного заранее) шага алгоритма Ланцоша, нужно следить за сходимостью спектральной функции. Для этого вводится функция ошибки, определяемая как [3] [c.233]

Здесь / и — спектры ЭПР (линии поглощения) на т-м в га-м шагах алгоритма Ланцоша. Спектры нормированы ва единицу, суммирование ведется по развертке спектра. [c.233]

Мы предлагаем другой способ выбора размерности базиса Ланцоша, причем этот способ не требует дополнительных затрат времени и оперативной памяти. На каждом шаге алгоритма Ланцоша строится базисный вектор т)>, ортогональный к двум предыдущим. В арифметике точных чисел каждый новый вектор был бы автоматически ортогонален и ко всем предыдущим базисным векторам, однако погрешности округления приводят к неортогональности генерируемого алгоритмом базиса [3, 6]. При этом оказывается, что сходимость (решения проблемы моментов) вызывает катастрофическую потерю ортогональности [6]. В связи с этим в работе [6] рассмотрены возможности реортогоналиаации базиса с целью получения большего числа собственных значений и собственных векторов с нужной точностью. Наш опыт работы показывает, что для расчета спектральной функции можно не проводить реортогонализацию базиса и ограничиться такой размерностью оператора 1" , при которой неортогональность базиса достигает величины порядка 10 —10 . (Отметим, что <(1 1) =1 <(1 2)>=0 <[11 3> 10 , что соответствует точности машинного представления действительных чисел в арифметике 8-байтных чисел.) Более того, нет необходимости проверять ортогональность нового базисного вектора ко всем остальным, поскольку такой способ требовал бы хранения всего базисного набора и заведомо нерационален. Мы проверяем ортогональность каждого нового базисного вектора лишь по отношению к стартовому вектору. Для всех рассмотренных выше программ стартовый вектор (вектор разрешенных спектральных компонент) имеет три ненулевые компоненты, поэтому для вычисления произведения <1 я> не требуется ни дополнительной памяти, ни сколько-нибудь значительных затрат времени. Построение оператора автоматически заканчивается в программе при выполнении условия [c.234]

Описанный способ выбора размерности базиса Ланцоша был опробован нами для всех программ. Размерность оператора [c.234]

После построения оператора в виде комплексной симметричной тридиагональной матрицы спектр ЭПР можно рассчитать либо непосредственно из матрицы (как это рекомендовано в работе [3]), либо вычислив спектр этой матрицы. Мы выбрали второй способ по причинам, объясненным ниже. В этом случае послё окончания работы алгоритма Ланцоша для диагонализации матрицы используется версия <5 алгоритма, описанная в [71 и использованная Фридом в программе из работы [2]. [c.235]

При построении оператора Т в иекоторых случаях, возможно, потребуется частичная реортогонализацня базиса Ланцоша, хотя бы по отношению к некоторым (нужным пользователю) базис-ным векторам. Как частная алгебраическая проблема, зтот этап требует более глубокого профессионального подхода. [c.236]

Применение алгоритма Ланцоща для отыскания нескольких собственных значений оператора — (Ь+ Г) открыло широкие возможности как для моделирования самых сложных ЭПР-задач, так и для инициативы программистов по созданию наиболее эффективных реализаций алгоритма Ланцоша. Речь идет в первую очередь о выборе структуры данных, позволяющей с максимальной скоростью производить умножение матрицы на вектор. [c.237]

Интересно сравнить время решения примера 2 по программе, приведенной в работе [2], и с использованием алгоритма Ланцоша. На ЭВМ РВР-11/34, по данным Фрида [3], необходимо соответственно 6 ч и 15 мин. На машине М-4030 это время составляет соответственно, 4 ч 40 мин и 6,4 мин. Значительно большая эффективность нашей программы, вероятно, обусловлена удачным выбором структуры данных и/или использованием другой версии алгоритма Ланцоша. [c.238]

Синтез спектров ЭПР проводился на ЭВМ М-4030 с использованием алгоритма Ланцоша [3] для быстрого решения стохастического уравнения Лиувилля по программам, описанным выше. [c.243]

Вряд ли требует комментария тот факт, что экспериментальные спектры, полученные в методе спиновых меток, необходимо соотносить с моделью, описывающей движение метки с глобулой и относительно глобулы. При этом рассматриваемые модели в конечном счете должны характеризовать структурное состояние исследуемой макромолекулы (ее гидродинамический радиус или его изменения, локальное в месте присоединения,спиновой метки конфор-мационное состояние глобулы). Однако зачастую в тени остается вопрос о проверке конкретной модели, ее допущений путем подстановки в общую теорию метода спиновых меток, путем синтеза спектров исходя из этой общей теории и сравнения их с экспериментальными. Трудности, связанные с громоздкостью этих синтезов, в последнее время существенно уменьшились в связи с применением алгоритма Ланцоша к решению стохастического уравнения Лиувилля [31. [c.252]

Применение алгоритма. Ланцоша пезволяет использовать теорию Фрида в полном объеме, т. е. синтезировать спектры ЭПР спвнояых меток практически для любых условий. На основе этого можно достаточно полно проанализировать вырожденность спектров ЭПР спиновых меток 3-сантиметрового диапаэона длин волн. Этот анализ показывает, что эти спектры вырождены практически по всем параметрам. [c.259]

Дается описание программ синтеза спектров ЭПР спиновой метки с использованием алгоритма Ланцоша. [c.270]

Ланцош K. Практические методы приближенного анализа. М,, Физматгиз, 1961, [c.104]

Следует отличать некорректность, связанную с формулировкой задачи, от некорректности метода ее решения. В последнем случае положение в принципе можно исправить, иногда, например, простым увеличением точности численных расчетов. Что же касается физических причин некорректности, то, по образному выражению Ланцоша, восполнить недостаюшую информацию здесь не помогут никакие магические заклинания . [c.17]

Ланцош К. Вариационные принципы механики. М., Мир , [c.205]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.376 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.376 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов (1964) -- [ c.393 ]

Химическая кинетика м расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.376 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология