Уравнения стохастические дифференциальные

Общий вид стохастического дифференциального уравнения [c.344]

Это подчеркивание роли уравнения Ито может увести нас в неверном направлении, поскольку гауссов белый шум L t) нельзя рассматривать как настоящий случайный процесс—возникают трудности, упомянутые в гл. 8. Эти трудности имеют искусственную природу, они исчезают, если принять во внимание, что случайная сила в физике никогда не является настоящим белым шумом, а в лучшем случае имеет очень малое автокорреляционное время . Следовательно, лучше начать с изучения более широкого класса стохастически дифференциальных уравнений (14.1.1), а затем перейти к рассмотрению приближений, справедливых для малых времен автокорреляции в качестве частного случая. Мы это сделаем в 14.2—14.5, но случай больших времен автокорреляций также представляет интерес и будет рассмотрен в 14.6. Другим примером стохастического дифференциального уравнения (14.1.1) является [c.345]

Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения 36 [c.4]

Наличие этой неустойчивости радикально меняет весь механизм колебаний уровня Каспийского моря, для описания которого необходим подход с позиции теории сложных систем. Б этом случае динамическая система уравнений водного баланса оказывается существенно нелинейной, характер ее решений меняется возникают не единственные и неустойчивые решения -необходимые атрибуты ее сложной эволюции. При учете случайных вариаций параметров системы (например, количества осадков и речного стока) решения стохастических дифференциальных уравнений имеют бимодальное распределение и "вездесущность гауссовского распределения" уже теряет свою силу. Для анализа такого рода процессов необходим принципиально новый подход линейные стохастические модели, которые так популярны в гидрологии, здесь малопригодны. [c.51]

Будем теперь искать решение стохастического дифференциального уравнения (2.27) с учетом ограничений, наложенных наХ (f). Надо сразу заметить, что решение стохастического дифференциального уравнения типа [c.46]

Уравнение Ланжевена представляет собой простой пример стохастического дифференциального уравнения, т. е. дифференциального уравнения, у которого коэффициенты являются случайными процессами с заданными стохастическими свойствами. Оно определяет V (t) как стохастический процесс при условии, что задано также начальное условие. Рассмотрим равновесный ансамбль, состоящий из газа, каждая реализация которого содержит один экземпляр броуновской частицы с начальной скоростью У(0) = У . Для каждой реализации скорость при />0 находят, решая уравнения (8.8.1) [c.220]

В обш ем случае (5.1) — система нелинейных стохастических дифференциальных уравнений, порядок которой заранее неизвестен. [c.282]

Фотоэффект (продолжение) 339 Глава 14. Стохастические дифференциальные уравнения 343 [c.4]

Прежде всего необходимо различать внешний и внутренний шумы . Внешним шумом называют флуктуации, возникающие в детерминистической системе под воздействием случайной силы, стохастические свойства которой считаются известными. Стохастические задачи, возникающие в технике, относятся к такому типу (например, случайная нагрузка на мост или передача случайного сигнала через нелинейное устройство). Такие случаи описываются стохастическими дифференциальными уравнениями в гл. 14 и представляют задачи скорее математические, чем физические. [c.228]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.343]

Имеются и другие категории, такие, как стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, задачи на собственные значения и со случайными границами , но эти случаи мы здесь рассматривать не будем. [c.346]

Вновь рассмотрим линейное стохастическое дифференциальное уравнение (14.2.1). Теперь нет необходимости предполагать ни стационарности Ау 1), ни исключать его среднего значения, как это делалось в (14.2.2). Преобразуем (14.2.1) к представлению взаимодействия (14.2.3). Согласно (13.3.9), формальное решение можно записать с помощью упорядоченной по времени экспоненты [c.350]

Тогда произведения UyU l также описываются линейным стохастическим дифференциальным уравнением [c.355]

Стохастические дифференциальные уравнения водного баланса [c.64]

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.361]

Если теперь предположить, что y(t пробегает по всем реализациям процесса У (/) с соответствующими вероятностями, уравнение (И.5.2) становится линейным стохастическим дифференциальным уравнением для p u,t)- Общий вид уравнения (14.5.2) совпадаете (14.2.11), если рассматривать р как аналог и в (14.2.1) и представить вектор и как аналог ненаписанной метки v в (14.2.1). Линейный оператор является аналогом матрицы А. Следовательно, для того чтобы получить приближенное уравнение для среднего р(и, i)y при заданном p(w, 0), формально можно применить тот же самый метод. Предположим, что это сделано, тогда возникает вопрос что нам скажет результат о решении исходного уравнения [c.361]

На основе исследований распределения Пирсона типа V установлены новые эмпирические вероятностные закономерности катастрофических наводнений. Предложены возможные физические механизмы, ответственные за эти закономерности. Показано, что уравнение водного баланса речного бассейна при учете нелинейной зависимости стока от влагозапаса может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение с мультипликативным белым шумом. Найдено, что стационарное решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, записанное для плотности вероятности распределения стока, степенным образом зависит от величины стока, что и объясняет степенную статистику катастрофических наводнений. Установлено, что степенной закон распределения вероятностей является промежуточной асимптотикой и перестает быть справедливым для условий большой увлажненности речных бассейнов. Проведены ра- [c.8]

Подставив разложения (2.1.2) в уравнение водного баланса, получим систему стохастических дифференциальных уравнений [c.65]

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение более общего вида [c.69]

Далее будем анализировать только автономные стохастические дифференциальные уравнения с/и q, не зависящими явно от времени, в двух интерпретациях интерпретация Ито [c.69]

Будем считать, что приток речной воды и испарение описываются уравнениями непрерывной авторегрессии первого порядка (процессами Орнштейна-Уленбека) с известными математическими ожиданиями, дисперсиями и автокорреляционными функциями. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса бессточного водоема, которое получается из уравнений (2.1.8) и (2.1.9) при а, = <52, с 2 = О (изменчивость слоя испарения считается малой величиной по сравнению с изменчивостью слоя стока) [c.70]

Следовательно стационарное поведение системы, описываемой приведенным выше стохастическим дифференциальным уравнением определяется функцией [c.72]

В теории стохастических дифференциальных уравнений доказано, что [c.73]

Анализ стохастических дифференциальных уравнений водного баланса моря [c.91]

При очень простых предположениях о детерминированном механизме колебаний уровней озер можно использовать следующее достаточно простое стохастическое дифференциальное уравнение [c.97]

Основной задачей при исследовании трехмерного диффузионного процесса описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (3.8.2), является построение его стационарной плотности вероятности Ро(Н, д, ё). [c.114]

Систему (5.2.1) можно записать в виде стохастических дифференциальных уравнений [Свешников, 1968] [c.163]

Предположим, что уравнение для эффективных осадков на водосбор можно представить в виде Р-Е = Р + а ( ), тогда относительно стока получим следующее стохастическое дифференциальное уравнение [c.185]

Возникает вопрос соответствие гамма-распределения натурным данным - это хорошая аппроксимация или природная закономерность Покажем, что гамма-распределение плотностей вероятностей значений речного стока можно получить из решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения водного баланса речного бассейна. [c.186]

Стохастическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются случайными числами или случайными функциями независимых переменных. Так же как и у обычных дифференциальных уравнений, коэффициенты считаются заданными, т. е. их стохастические свойства определены. аранее и не. зависят от решения, которое нужно найти. Следовательно, стохастические дифференциальные уравнения описывают системы с флуктуациями, вызванными внешним воздействием. Примеры броуновская частица и описывающее ее уравнение Ланжевена любая небольшая система, взаимодействующая с большим резервуаром (при условии, что малая система существенно не влияет на резервуар) электромагнитные волны в турбулентной атмосфере рост популяции в флуктуирующем климате. В противоположность этому почти во всех примерах из предыдущих глав источник шума был внутренним, т. е. присущим самой природе системы. [c.344]

Иногда начальное значение а также является случайной величиной (ИЛИ вектором). Получающийся в результате стохастический процесс и [г/], а] тогда является функцией случайной переменной й, функционалом, зависящим от функции у. Поскольку это является тривиальным обобщением задачи с фиксированным начальным 1начением а, нет необходимости рассматривать случайные начальные значения отдельно. Уравнение Ланжевена (8.8.1) и более общее уравнение Ито (8.8.15) представляют собой примеры стохастических дифференциальных уравнений. Действительно, в большей части математической литературы название стохастическое дифференциальное уравнениел ограничивается именно этими случаями . [c.344]

Уровенный режим моря определяется водным балансом самого моря (атмосферными осадками на акваторию, речным стоком, испарением и стоком морской воды в залив Кара-Богаз-Гол) и водным балансом его речного бассейна. Эти важнейшие гидрологические величины сильно и непредсказуемо меняются во времени, так что формирование климата водосборного бассейна моря выглядит случайным процессом. Математически водный баланс моря и его бассейна можно описать системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с соответствуюш ими начальными и граничными условиями. Нелинейность уравнений принципиальна, так как площадь зеркала испарения и слой испарения зависят от уровня моря, а сток речных вод и испарение с поверхности бассейна сильно и нелинейно зависят от влагозапасов суши. [c.4]

Если стохастическое дифференциальное уравнение интерпретируется по Стратоновичу - йН,= + то стационарная плотность вероятности равна [c.72]

Автору неизвестно полное математическое исследование стохастических дифференциальных уравнений водного баланса. В статье [Музылев, 1980] выполнен анализ линеаризованного стохастического дифференциального уравнения водного баланса Каспийского моря, причем линеаризацию осуществляли следующим образом. В уравнении была оставлена величина д к (д, К - соответственно отклонения речного притока и уровня от [c.92]

Система стохастических дифференциальных уравнений, соответствующая (3.8.1), имеет вид [Найденов, Подсечин, 1992] [c.114]

Это, в свою очередь, означает, что при аппроксимации стока и испарения процессами типа белого шума нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса необходимо записывать в интерпретации Стратоновича. При е О [c.116]

Впервые физически обоснованные модели многолетних колебаний уровня проточного водоема были построены в монографии [Фролов, 1985]. Методической основой для решения уравнений, соответствующих этим линейным моделям, стала корреляционная теория гауссовских случайных процессов. Это означает, что под решением стохастического дифференциального уравнения водного баланса понимали бесконечную последовательность кумулянтов распределения случайного процесса многолетних колебаний уровня водоема. Теория была применена для озер Байкал, Воже, Лача, Ладожского и Каспийского моря. В цитируемой монографии линейное дифференциальное (дискретное) уравнение многолетних колебаний уровня Каспийского моря было получено на основании следующих рассуждений. [c.121]

В задаче (3.9.6) величина Q является параметром состояния и характеризует приток речных вод, который со временем меняется достаточно сильно. Предположим, что колебания притока воды происходят очень быстро, т.е. случайная величина 2-слабокоррелирована. Тогда получим следующее нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение [c.125]

Подчеркнем, что стохастическое дифференциальное уравнение (3.9.8) необходимо представить в интерпретации Стратоновича, так как в этом случае физическая ситуация непосредственно моделируется. Действительно, приток речных вод Q(t) имеет пусть и малое, но все же конечное время корреляции, поэтому реальный шум представим в виде винеровского процесса 1У,. [c.125]

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для стохастического дифференциального уравнения (3.9.8) в интерпретации Стратоновича имеет вид [c.126]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология