Точность численного интегрирования

Точность численного интегрирования [c.176]

Высокая точность численного интегрирования понижает затраты времени из-за небольшого числа ньютоновских итераций. [c.265]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

При необходимости учета изменения условий теплопередачи вдоль поверхности можно рекомендовать интервально-итерационный метод в случае использования любого из рассмотренных ранее способов расчета теплопередачи, если распространить их на интервал как часть элемента. При этом может быть достигнута одинаковая точность расчета, однако разными усилиями. Поэтому следует выбрать способ расчета теплопередачи в интервале, исходя из простоты его реализации и быстроты сходимости расчета. Эталонный способ полной линеаризации исключается из рассмотрения, так как он сложен в реализации (требуется проводить численное интегрирование) и по точности практически равноценен интервально-итерационному. [c.98]

Оценка точности формул численного интегрирования [c.217]

Это приблизительное решение первого члена уравнения (79). Точность его для расчетов процессов переработки газов вполне достаточна. Второй член уравнения (79) более сложен и может быть определен только графическим или численным интегрированием без заметной потери точности. [c.108]

Значения Еп1 и т]г(х) в общем случае находят численным интегрированием, з,а исключением очень простых форм потенциала и (г). Отмеченное обстоятельство накладывает ограничения на практическое использование уравнений (2.104) и (2.105), так как число членов суммирования по I при допустимой точности расчета резко возрастает с увеличением температуры и массы. В связи с этим и объем чисто вычислительной работы растет очень быстро и становится недопустимо большим. Даже при [c.51]

При низких давлениях проверка развитой выше теории радикально-цепного крекинга алканов, начинающегося на стенках и замедленного влиянием продуктов крекинга в объеме, была проведена расчетным путем для газообразных алканов в кандидатской диссертации И. Ф. Бахаревой [203). Для решения нелинейных дифференциальных уравнений (83), (92) и др. был впервые применен метод С. А. Чаплыгина [209], что позволило в отличие от других методов численного интегрирования получать решения в аналитической форме и оценивать погрешность расчета, а также оценить точность метода квазистационарных концентраций [210], широко применявшегося выше и вообще при исследовании разнообразных задач химической кинетики. [c.149]

Задачу о потере энергии в клапане с заданной массой подвижных частей и силой пружины можно решить численным интегрированием, но это связано с большой расчетной работой и практически не выполнимо без применения электронно-вычислительных машин. Здесь мы рассмотрим упрощенный способ вычисления потери энергии в действительном клапане, обеспечивающий все же достаточную точность результатов. [c.229]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

W --Ttr 7С/-. При очень точных измерениях учитывают отклонение формы, мениска от сферической (особенно, когда применяются широкие капилляры). С этой целью используют результаты численного интегрирования дифференциального уравнения Лапласа (см. с. 32), которые приводятся в таблицах. Метод капиллярного поднятия может давать точность определения поверхностного натяжения до десятых и сотых долей мН/м. [c.37]

Решение системы уравнений (II. 116)—(II. 121) не представляет трудностей при использовании ЦВМ. Применение для численного интегрирования метода Рунге—Кутта [14] позволяет получить решение системы с заранее заданной точностью за счет уменьшения шага интегрирования. [c.69]

В таких случаях обычно выполняют численное интегрирование уравнения при различных значениях параметра Ше. Полученный материал — таблицы значений функции— может быть с той или иной точностью представлен в компактной форме аппроксимирующим выражением. При решении задачи численными методами полезно провести предварительное исследование решения. [c.90]

Точность упрощенной модели. Для проверки точности предложенного метода проводилось сравнение кривых разгона, рассчитанных по упрощенной модели, с переходными характеристиками, полученными путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) методом [c.152]

Для тел, взаимодействующих через водные прослойки, использование уравнения (1У.37) дает несколько большее расхождение с результатами численного интегрирования точного уравнения (1У.29) (рис. IV.12). Для практических расчетов достигнутая точность может считаться удовлетворительной. Преимуществом использования уравнения (1У.37) является возможность представления закона молекулярных сил П(Я) в аналитическом виде в интервале толщин прослоек Я от О до 300 А [c.88]

С учетом всего сказанного возникает потребность еще больше упростить решение уравнений трансформации паводка. Такая потребность обусловлена не столько вычислительными соображениями, хотя погружение численного интегрирования (например, по схеме Рунге-Кутта) внутрь описываемой в следующем разделе многовариантной оптимизации подразумевает использование все же достаточно мощных компьютеров, сколько стремлением обеспечить системное соответствие между точностью исходной информации, принимаемых предположений и детальностью вычислительной схемы. Учитывая оценочный характер методологии выбора расчетного гидрографа, стоимостных показателей элементов гидроузлов и упрощающих предпосылок редукционной гипотезы, для расчета максимального сбросного расхода [c.421]

До сих пор мы получали численные значения параметра б р для всех случаев, кроме плоского, посредством численного интегрирования. Этот совершенно общий метод применим при любой форме сосуда. Для бесконечного цилиндрического сосуда критическое значение б с той точностью, какой удалось достигнуть численными методами, оказалось равным целому числу 2. Но оставался открытым вопрос, случайное ли это совпадение или в случае цилиндра задача о критическом условии действительно имеет простое целочисленное решение. В дальнейшем вопрос этот был разрешен в работах [19, 20], в которых показано, что для цилиндрического случая задача может быть решена аналитически. Для этого достаточно ввести в качестве независимой переменной вместо величины [c.332]

Переход от системы уравнений (1.74) к уравнениям, удобным для численного интегрирования, подробно изложен в работе [28]. Данный алгоритм был реализован в виде программ на ЭВМ. Счетная область по результатам предварительных расчетов была выбрана таким образом, чтобы исключить влияние ее размеров на получаемые результаты. Была проведена оценка влияния способа разбиения счетной области на точность численных расчетов. Увеличение числа узлов сетки в три раза практически не повлияло на точность вычислений, расхождение составило 10 % (рис. 1.8). Переход от неравномерной сетки к равномерной сказался отрицательно. По линиям постоянной концентрации рассчитывалось [c.43]

На рис. 4 представлены результаты численного интегрирования этих зависимостей для ПВБ и полистирола соответственно. Точками нанесены данные для вязкости, измеренные авторами настоящей работы [62] и полученные в работе [63]. Хорошее совпадение наблюдается в достаточно широком интервале концентраций. В качестве другого способа проверки справедливости формулы (25) можно рассмотреть возмоншость построения теории константы Хаггинса [58, 64], поскольку именно в разбавленных растворах в наименьшей мере проявляются вторичные эффекты образования надмолекулярных структур, и поэтому с наибольшей точностью можно оценить истинность и допустимость различного рода приближений. [c.170]

Однако даже в этом упрощенном случае математическое решение задачи о вычислении нормальной скорости горения возможно только путем численного интегрирования уравнений теплопроводности и диффузии. Поэтому до создания ЭВМ, применение которых сделало возможным-строгое численное решение задачи нри любой степени сложности химического механизма реакции горения (при условии, что константы скорости И коэффициенты диффузии известны с достаточной точностью), различными авторами делались попытки на основании тех или иных допущений получить аналитическое решение этой задачи, сведя систему дифференциальных уравнений к одному уравнению. В настоящее время все эти попытки представляют в значительной мере исторический интерес, хотя наглядность получаемых при этом аналитических выражений нормальной скорости горения в ее зависимости от параметров, характеризующих молекулярные и химико-кинетические свойства горючих смесей (при приемлемости сделанных при этом упрощающих допущений), делают их не лишенными определенных преимуществ по сравнению с результатами численных решений задачи. [c.490]

Такой интеграл можно рассчитать аналитически. В данном случае наиболее простым будет применение численного интегрирования как менее трудоемкого и обеспечивающего достаточную для технических целей точность. Выбрав шаг интегрирования Аа = 0,05, сопоставим полученные значения подынтегральной функции I/ = (3 — а) / (0,126 — 0,327а + 0,150а2) [c.320]

Если подытегральная функция имеет относительно простой вид и не требует большого объема вычислений, то выбор того или иного метода численного интегрирования не имеет принципиального значения, поскольку необходимая точность всегда может быть обеспечена увеличением числа узловых точек. [c.218]

Многоходовые схемы с любым числом секций, с перемешиванием между секциями и без него. Число возможных вариантов по секциям и ио числу пучков, по наличию или отсутствию перемешивания как в самом теплообменнике, так и между секциями очень велико. Их рассмотрение выходит за пределы возможного в рамках наспоящего Справочника. Многие решения приведены в [53, 60], но лишь ограничентюе число из этих решений представляет практический интерес. Далее, как отмечено в представляющем для нас большой интерес обсуждении к [53], многие решения с точностью до 2% совпадают с базовыми вариантами. Если оценить ряд допущении, обеспечивающих справедливость полученных решений (многие из которых приняты по крайней мере с натяжкой), то станет ясной возможность некоторых раииональных упрощений. Эта возможность предоставлена последующим исследователям. Из многих возможных решений, достижимых в явном виде или получаемых только путем численного интегрирования, в Справочнике представлен относительно простой, но часто встречающийся на практике вариант двухходового теплообменника с четырьмя секциями труб, т. е. по две секции на ход (рис. 10). Полученное в [54] аналитическое решеиие описывается уравнением (8) [c.68]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Известно [174], что поведение ошибки численного решения задачи Коши определяется спектром матрицы Якоби и(х) = Of/Dx. Если у матрицы J (х) действительная часть собственных значений положительна, то с ростом времени растет и норма ошибки, т.е. решение системы неустойчиво. В случае отрицательной действительной части собственнь1х значений норма ошибки уменьшается и решение устойчиво. При наличии чисто мнимых собственных значений норма ошибки, возникающая при численном интегрировании, не убывает, что приводит к ее накоплению. Уравнения движения для консервативных систем имеют в основном мнимые собственные значения матрицы Якоби, что и является причиной осцилля-ционного характера решений. Это обусловливает строгие требования к контролю точности численного решения. [c.79]

На основе предложенной в [114] схемы метода Монте-Карло были проведены расчеты для реакции рекомбинации Н-ьН-ьН Нг-нНв интервале температур 2000—5000 К. При этих температурах длина волны де Бройля атомов водорода, участвующих в реакции, мала, и их движение можно описывать уравнениями классической механики. Поверхность потенциальной энергии взаимодействия трех атомов водорода достаточно хорошо исследо-аана [372], и, следовательно, в данном случае не было необходимости в процедуре восстановления реакционного потенциала. Исходя из данных работы [159], / о ===2,5 - 10 см. Начальные значения координат и импульсов атомов генерировались в соответствии с формулами (3.66) — (3.71), а затем осуществлялся переход в систему центра масс. Численное интегрирование системы уравнений Гамильтона проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Кутта-Мерсона 4-го порядка [324]. Контроль вычислений осуществлялся по сохранению полной энергии и каждой из компонент момента импульса (гамильтониан сохранялся с точностью 0,1%, компоненты момента импульса — 0,01%). Эффективность предложенной схемы метода Монте-Карло составила 20%, т.е. только одна траектория из пяти оказывалась интересной для рассмотрения, эффективность схемы работы [306] (расчет траекторий в фазовом пространстве взаимодействующих атомов) составляла около 11%. [c.102]

Время счета одной траектории длиной 10 с на ЭВМ БЭСМ-6 составляло от 1 до 5 мин. Сохранение энергии вдоль траектории при численном интегрировании выполнялось с точностью 10 эВ с такой же точностью вычислялись величины изменения внутренней, колебательной и вращательной энергий молекулы. [c.109]

Фордхэм (601 заменил экспериментальное определение это функции расчетным, произведя численное интегрирование и представив полученные результаты в виде таблиц. При известных 5 и Н определение поверхностного натяжения не зависит от объема капли, и его точность зависит от точности определения И и точности, с которой может быть измерено 5. Учитывая все возможные [c.57]

Переход от уравнений Хартри — Фока к матричным уравнениям Рутана вносит в заданной системе базисных функций. определенные численные ошибки. Для атомов значения этих ошибок известны, так как атомные расчеты могут быть вьшолнены методом численного интегрирования (хартри-фоковский предел точности) и по схеме Рутана. Для молекул хартри-фоковский предел устанавливается несколько умозрительно. Тем не менее разработанные в последние годы методы численного интегрирования уравнений Хартри - Фока для двухатомных молекул позволяют для этих систем устранить эффект конечности базиса. Молекулярная орбиталь записьшается в сфероидальных координатах в виде [c.241]

Хотя цифровые машины решают дифференциальные уравнения в основном методом последовательных приближений, для сложных систем уравнений существуют более тонкие методы численного интегрирования. Ошибка вычисления существует и при решении на аналоговых вычислительных машинах, и исследователь должен уметь оценивать точность получаемого решения, особенно при Ентегрпрова-нип, где ошибки также интегрируются. [c.39]

При анализе электронно-ядерных сил удобно характеризовать действие любой части электронной оболочки молекулы на данное ядро, вычисляя силу, создаваемую различными (сферическими или прямоугольными) участками электронного облака молекулы Такое вычисление, если не требовать большой точности, можно осуществить весьма быстро методом численного интегрирования (метод сеток) на основе предварительно решенной задачи об электронных состояниях изучаемой системы Общая идея анализа особенностей данной химической связи заключается в том, чтобы, вычисляя силу от разных участков электронной плотности, проследить за счет каких участков главным образом и формируется основная доля полной электронной силы, действующей на ядра молекулы и компенсирующей ядерно-ядерное отталкивание При таком анализе, особенно в сложных случаях, полезно ориенпцюваться на картину распределения электронной плотности р(г) в молет лах, еще удобнее ориентироваться на распределение величины р(г) /, которую можно назвать плотностью модуля силы [c.114]

Существует метод, в котором показано эффективное применение 2-преобразования, названный операторно-рекуррентным (ОР), так как вначале производится анализ исследуемой цепи на операторном уровне, а затем осуществляется переход к временным функциям с помощью условно разностных соотношении. При этом рекуррентная процедура проводится по явному вычислительному алгоритму, но обладает абсолютной устойчивостью, свойственной неявным методам, и оказывается существенно менее трудоемкой, чем эквивaJ eнтныe по точности стандартные методы численного интегрирования. [c.101]

В настоящий момент объем пор представляет суммарный объем пустых пор за вычетом пространства, занятого адсорбционным полимолекулярным слоем. В уравнении (3.41) неизвестна только функция распределения размеров по L r), но, так как она входит под знак интеграла, определить ее довольно трудно. В первоначальных исследованиях [39, 44] для этого подбирались функции распределения специального вида, а в более поздних работах [40, 44, 47—52] применялось численное интегрирование. Ввиду ряда неточностей, которые неизбежно сопутствуют применению уравнения Кельвина для расчета размеров пор, чрезмерное улучшение методики расчета, по-видимому, не является необходимым (ниже мы рассмотрим метод Пирса [41], модифицированный Орром и Далла Валле [54] он достаточно прост, но в то же время обеспечивает необходимую степень точности). [c.187]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология