Модель Вольтерра

Рис. 15.8. Построение интегральных кривых для модели Вольтерра — Лотка. Объяснение в тексте

Теперь рассмотрим экологическую модель Вольтерра. Пусть в некотором замкнутом районе живут жертвы и хищники, например зайцы и волки. Зайцы питаются растительной пищей, всегда имеющейся в достаточном количестве. Волки (хищники) могут питаться лишь зайцами (жертвами). Обозначим число зайцев х, а число волков — у. Так как количество пищи для зайцев не ограничено, мы можем предположить, что зайцы размножаются со скоростью, пропорциональной их числу [c.26]

Гораздо более серьезным недостатком модели Вольтерра является неустойчивость решений системы уравнений, когда любое случайное изменение численности [c.36]

Другие возражения против модели Лотки — Вольтерры сводятся к следующему 1) модель в принципе основана на логистической теории роста популяции, которая в свою очередь признана ложной концепцией [27, 1465] 2) модель предполагает полностью избирательное (но при случайном характере поведения популяции) поведение особей паразита, причем его самки обладают неограниченной способностью откладки яиц и каждая встреча между паразитом и хозяином сопровождается откладкой яйца такого рода встречи продолжаются неопределенно долго вне зависимости от плотности популяций паразита или хозяина [27] 3) реакция паразита при встрече с хозяином мгновенная, и, следовательно, не существует никакого разрыва между моментом встречи и ее конечным результатом при этом не сделано поправки на полный жизненный цикл данных животных, что в действительности требует учета запаздывания, обусловленного ростом и созреванием [1465, 1468] 4) наконец, каждую особь в соответствующей популяции нельзя рассматривать как эквивалентную другим особям, так как они могут отличаться по фазам развития [1468]. Уатт [2237] также ставит под сомнение принятую в модели Вольтерры скорость прироста, якобы зависящую от плотности популяции. Такое допущение может быть источником ошибок. [c.53]

Полетаев И. А. Модели Вольтерра хищник — жертва и их некоторое обобщение с использованием принципа Либиха.— Ж- общей биологии, 1973, т. 34, № 1, с. 43—57. [c.291]

Модель хищник-жертва модель Вольтерра) [c.171]

Область может быть как неограниченной, так и ограниченной. В том случае, когда переменные величины х, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численность вида), на них, как правило, накладываются некоторые ограничения. Прежде всего биологические переменные не могут быть отрицательными. Так, в модели Вольтерра, описанной выше, х — переменная, характеризующая численность жертвы, а у—хищника. Область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости [c.27]

Пример 2. Рассмотрим модель Вольтерра хищник-жертва, которая отражает изменение численности популяций жертв (х) и хищников (у), взаимодействующих друг с другом по механизму "свободных соударений". Это значит, что численность жертв пропорциональна вероятности встречи их с хищниками т. е. пропорциональна произведению (ху). По такому же закону увеличивается и численность хищников в результате их встреч с жертвами. В уравнениях (2.13) этот член соответствует бимолекулярной реакции (типа кху). Кроме того, происходит процесс естественной смертности хищников со скоростью, пропорциональной их количеству, т. е. по реакции первого порядка (-ку). Жертвы размножаются со скоростью, также пропорциональной их численности в условиях, когда количество пищи для них неограниченно. [c.28]

Предположим, как это было сделано на примере модели Вольтерра [c.58]

Очевидно, что конкретные значения параметров уи и характер соответствующих нелинейных членов в исходной модели Вольтерра-Лотка должны правильно отражать реальные свойства экологической системы. Математическое моделирование в данном случае показывает, что именно от этого зависит тип динамического поведения системы. Таким образом, параметры уц можно рассматривать как своего рода управляющие параметры, вызывающие качественную деформацию фазового портрета системы с изменением типа ее устойчивости. [c.38]

В модели (3.3) предполагается, во-первых, более слабая зависимость скорости размножения хищника от количества жертв N2] вместо Л гЛ 1 в модели Вольтерра) и, во-вторых, для упрощения расчетов пренебрегается гибелью хищника при наличии жертвы (однако при полном отсутствии жертвы хищник медленно вымирает). Решения системы (3.3) при соответствующем выборе коэффициентов удовлетворительно описывали экспериментальные данные. [c.58]

Одна из простых точечных моделей Вольтерра, имеющих предельный цикл, представлена в виде соответствующей ей распределенной системы, как [c.64]

В этой системе по сравнению с простой моделью Вольтерра член, описывающий динамику жертв в отсутствие хищника, об- [c.64]

Таким образом, уточненная модель Вольтерра представляет собой не что иное как уравнение Ферхюльста, в котором коэффициент г, обобщенно характеризующий темп отмирания микроорганизмов, представлен в виде суммы двух параметров, отражающих отмирание особей в популяции за счет недостатка субстрата у и наличия продуктов метаболизма б. [c.66]

Рис. 3.11 Фазовые портреты для системы, состоящей нз двух взаимодействующих популяций в культиваторе, а) Фазовый портрет системы Вольтерра —прн малых отклонениях от особой точки график совпадает с фазовым портретом на рис. 3.10 б) устойчивые траектории при большом протоке через культиаатор в), г) при малых вариациях модели Вольтерра (учет слабо влияющих факторов) фазовый портрет, показанный на рис. а), в окрестности особой точки приобретает вид либо устойчивого фокуса (в), либо неустойчивого фокуса г). Оси координат на двух последних рисунках отсутствуют, так как масштабы

В других случаях в качестве компартментов рассматриваются взаимодействующие друг с другом вещества (или другие компоненты биосистемы), находящиеся в одном и том же объеме. Тогда кинетика реакций также описывается с помощью компартментальных моделей, а различным компартментам отвечают количества или концентрации различных веществ в одной и той же пространственной области. Так, в тканях и жидкостях тела происходят многочисленные реакции между химическими веществами, и участвующие в них субстраты, ферменты и продукты могут рассмат риваться как различные компартменты. В моделях наземных экологических систем часто делается допущение, что все исследуемые процессы происходят на некоторой ограниченной территории (иногда, как в классической модели экологических систем — модели Вольтерра, такое допущение делается неявно), и в качестве компартментов выступают численности или плотности различных видов или возрастных групп животных. [c.160]

Взаимодействие между популяциями в экосистеме. Простейшей моделью взаимодействия популяций является модель Вольтерра хищник-жертва [45], рассматриваемая при следующих условиях пища для жертвы имеется в изобилии, хищник питается только жертвой. Прирост жертв за малый промежуток времени пропорционален их численности, прирост хищников пропорционален произведению количества хищников на количество жертв, что соответствует частоте возможных встреч хищника с жертвой. Естественная смертность хищников пропорциональна их численности. [c.175]

В предыдущей главе мы ознакомились с автоколебательными и автоволновыми процессами, характерными для открытых систем, находящихся вдали от равновесия. Единственный экспериментальный факт, который мы пока привлекли, состоял в периодическом изменении популяций зайцев и рысей, соответствовавшем модели Вольтерра (с. 498). Однако таких биологических фактов множество. На всех уровнях органйз ции, от макромолекулярного до популяционного, в биологических системах происходят незатухающие колебания характеристических физических параметров — ферментативной активности, концентрации метаболитов, параметров, определяющих физиологическое поведение, численности популяций и т. д. [c.514]

Пример 3 5.1 Спсгема двух взаимодействующих видов описывается классической моделью Вольтерра. Пусть, например, в проточном культиваторе [c.87]

Модели Абросова, Алексеева, а также упомянутые ранее модели Полетаева приводят к новому классу экологических задач, в которых влияние внешней среды выражается непосредственно в виде некоторых функций от концентраций лимитирующих веществ, а не через взаимную конкуренцию видов, как это было в моделях Вольтерра. Модели, учитывающие зависимость скорости роста организмов от концентрации лимитирующего субстрата, получили широкое применение в математической микробиологии. Именно, для колоний микроорганизмов можно создать хорошо контролируемые условия роста и изучать динамику развития популяции в зависимости от параметров среды. Этим моделям будут посвящены следующие параграфы. [c.61]

Неравенство (5.15) означает, что конкурирующие виды могут сосуществовать в устойчивой системе, если произведение коэффициентов межпопуляционного взаимодействия апагх меньше, чем произведение коэффициентов внутрипопуляционного "самоограничительного" взаимодействия ап, 22. Это можно интерпретировать таким образом, что подавление численности одного из конкурентов происходит в большей степени за счет самоограничения при его собственном росте, чем за счет роста другого конкурента. Иными словами, чрезмерно разросшаяся популяция сама ограничивает свой рост, давая тем самым возможность существованию соседней популяции конкурентов. Естественно, это может наблюдаться в относительно благоприятных условиях. В суровых же условиях, где ресурсов не хватает и "все силы идут на борьбу с соперником", рост популяций ограничен и коэффициенты ап, агг малы по сравнению с ап, ац. Тогда неравенство (5.15) нарушается и устойчивый режим становится возможным лишь при выживании одного самого сильного конкурента. Отношения видов типа хищник-жертва уже рассматривались нами на примере модели Вольтерра (см. гл. 2), где было показано, что в зависимости от соотношения параметров особая точка системы (5.16) [c.59]

В результате анализа моделей можно определить те или иные особенности динамического поведения системы, могущие иметь общий биологический смысл. Важные биологические факторы, не учитываемые в базовой модели Вольтерра (5.16), регулируют скорость поедания жертв и насыщение пищей хищников, их конкуренцию за жертвы, размножение и смертность жертв и хищников, а также другие лимитирующие механизмы. Мы назовем некоторые из них. Так, в модели (5.13) в выражении для скорости выедания жертв (члены 012X1X2) отсутствует насыщение хищника, что наблюдается лишь при небольших плотностях жертв. При больших плотностях жертв происходит насыщение, которое может описываться функцией выедания, или трофической функцией ф(х) вида [c.60]

Полетаев И. А., Модели Вольтерра хищник-жертва и их расширение с использованием принципа Либиха, Журнал общей биологии, т. XXXIV, № 1, 1973. [c.306]

Подобная модель основывается на гипотезе о пропорциональности рациона хищника произведению численностей обеих популяций. Эта гипотеза возникла в результате механического перенесения в биологию принципа частоты столкновений из кинетической теории газов или закона действующих масс из химической кинетики. Эта гипотеза может быть признана справедливой только для очень небольшого изменения численностей популяций около положения равновесия. Для ситуаций с изменением численности популяций в широких пределах предложенная модель неприменима (Smith, 1952 Ивлев, 1955) в силу существенной нелинейности зависимости прироста численности от количества корма. Несмотря на это, моделью Вольтерра продолжают пользоваться и по сие время (Каракоцкий, 1962 Larkin, 1966) без критического пересмотра исходных уравнений или оговорок о границах приложимости результатов, [c.38]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология