Численный метод Рунге Кутта

Система (4-28) —(4-30) интегрировалась на ЭВМ численным методом. Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага. Погрешность вычислений не превышает 0,0001. [c.125]

Все кинетические константы, входящие в систему уравнений (6.5), были определены экспериментально. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляли численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. [c.175]

Численный метод Рунге — Кутта, который часто используется для решения задач научного и инженерно-технического характера, приводится здесь без строгих доказательств. Метод эффективен, надежен и легко реализуется программными средствами. (Еще одно преимущество заключается в том, что в отличие от других методов, впрочем не рассматриваемых в этой книге, процедура Рунге — Кутта не требует для ее запуска других программ.) Метод Рунге — Кутта аналогичен методу Эйлера, однако [c.227]

В общем случае повышение точности идентификации достигается использованием цифровых вычислительных машин. Системы нелинейных дифференциальных уравнений решаются численно (метод Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага или метод Адамса) с использованием контрольных соотношений типа (1.17). [c.76]

Система дифференциальных уравнений вида (1) — (3) и (6) — (9) интегрировалась численно методом Рунге—Кутта с помощью ЭЦВМ М-22. На первой стадии расчета система, помимо уравнения (9), содержала лишь уравнение (8) без последнего члена в правой части и 123 уравнения вида (1). Правые части уравнений (8) и (1) представляют собой бесконечные ряды. В расчетах число членов было ограничено таким образом, что не учитывались члены вида для [c.166]

Дифференциальные уравнения решают численным методом Рунге — Кутта. [c.85]

Система уравнений (17), (18), (21) с граничными условиями (4) и (7) решается численно методом Рунге — Кутта. [c.82]

Для решения системы уравнений (6.53) — (6.55) в отличие от системы уравнений, предложенных в работе [262], был использован численный метод Рунге — Кутта с привлечением ЭВМ При облучении в воде катионита КУ-2Х7(Н+) найдены значения констант скорости == (4,72 0,01) = [c.167]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Определив граничные условия, решают систему уравнений (6.48) — (6.50) методом Рунге — Кутта, причем интегрирование проводят по известной длине (высоте) исчерпывающей части колонны. В точке питания необходимо определить новые граничные условия для расчета укрепляющей части мембранной колонны, решая совместно уравнения материального баланса по всему веществу и по целевому компоненту. Далее систему уравнений (6.48) — (6.50) решают интегрированием по длине (высоте) укрепляющей колонны. Численные методы решения этих уравнений позволяют определить профили концентраций, скоростей и давлений по высоте колонны, знание которых позволяет выбрать, исходя из принятого определяющего критерия (например, предельное гидравлическое сопротивление),скорость (точнее, диаметр) колонны. [c.217]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Проведем численное интегрирование системы уравнений (2.137). Для этого предлагается следующий алгоритм. На п-и шаге (по координате X) известны значения следующих параметров р1", (/=1, 2,. .., Ы), а,", рЛ, с", Т", v . Из уравнений (2.144), (2.145) определяются значения скоростей осаждения частиц и". Далее два уравнения в системе (2.138) (уравнения изменения концентрации и температуры) интегрируются методом Рунге —Кутта [181 на отрезке [л, л4-1] и находятся значения концентрации и температуры в точке л+1. Затем в этой же точке определяются значения [c.183]

Построим алгоритм решения системы (2.236) — (2.239). На нижнем конце, кроме задания параметров с, Т, р,, и,, г)з в точке х , зададим некоторым образом значения параметров Уа(л о), й2 Ха), Рг(- о), Рз(- о), а также зададим высоту Затем численно интегрируем систему (2.236) (например, методом Рунге — Кутта) до тех пор, пока х не станет равным х - К В точке х > строим функционал [c.216]

Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ХП1,8) (ХП1,И) и (ХП1,10), (ХП1,И), осуществлялось методом Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 . Время расчета каждой системы уравнений при О т i на машине Минск-22 составило приблизительно 10—15 с. [c.297]

Линейные многошаговые методы отличаются от методов Рунге—Кутта тем, что для вычисления последующих значений Уи + 1 нужно использовать ранее вычисленные значения у , у 1, у 2 Идея получения формул численного решения состоит в том, что задача Коши записывается в интегральной форме [c.135]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Совокупность уравнений (38) — (40) подвергали численному интегрированию методом Рунге—Кутта и оптимизировали путем минимизации дисперсий между вычисленными и экспериментальными значениями Xi и п . Расчет на ЭВМ дает следующие константы скорости элементарных стадий дегидрирования изопентана и константы дезактивации катализатора [c.124]

Решение системы уравнений (II. 116)—(II. 121) не представляет трудностей при использовании ЦВМ. Применение для численного интегрирования метода Рунге—Кутта [14] позволяет получить решение системы с заранее заданной точностью за счет уменьшения шага интегрирования. [c.69]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

В работе [173] выполнено прямое численное интегрирование методом Рунге — Кутта 4-го порядка на ЭВМ Минск-22 дифференциальных уравнений, описывающих кинетику термического разложения NO2 по механизму [c.76]

Рещение данной подзадачи может проводиться одним из методов численного интегрирования (например, методом Эйлера, методом Рунге-Кутта). Это решение позволяет определить необходимую высоту колонны, обеспечивающую требуемую степень выделения целевого компонента. [c.275]

Поскольку система дифференциальных уравнений разрешима относительно производных, численные расчеты могут выполняться с помощью обычных методов, например с помощью метода Рунге—Кутта. [c.37]

Численное интегрирование рассматриваемой задачи с учетом сказанного выше было осуществлено на ЭЦВМ Стрела вычислительного центра МГУ методом Рунге—Кутта (см. [13]) с автоматическим выбором шага с относительными точностями 10" и 10 , обеспечивающими получение решения до г = 100 с точностью 1—2%. С увеличением значения г шаг интегрирования возрастает и при г 1 для экономии машинного времени можно считать с постоянным шагом /I = 0,1. Время счета до 2 = 100 — порядка 20 мин. [c.30]

Численное интегрирование рассматриваемой системы осуществлялось методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 —10 . В качестве начальных условий рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (35) задаются исходные концентрации метана и кислорода ( l Сз = 0,29 0,71). [c.43]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до конца только в отдельных частных случаях, например, при я = 2 В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени t в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, юторые были рассчитаны при различном малом шаге по t, огфеде-лялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

Уравнение (17), которое цельзя интегрировать аналитическим методом, решалось численным методом Рунге — Кутта — Мероона с помощью электронной вычислительной машины ЫЕ 803В, а собственная краевая задача — методом стрельбы [7]. Решением краевой задачи получаем значение процзводной 1 — J, необходимое для рас- [c.194]

Уравнение (22) опять решалось численным методом Рунге — Кутта — Мерсона с помошью ЭВМ, а собственная краевая задача — методом стрельбы . [c.195]

Построена упрощенная математическая модель кинетики фотохимического синтеза четырех основных изомеров гексахлорциклогексана в изотермических условиях. Модель представляет собой систему из 20 лилейных дифференциальных уравнений псевдопервого порядка. Решение системы уравнений проводи лось численным методом Рунге—Кутта на ЭВМ. Полученная модель удовлетворительно аппроксилирует опытные да1тые в области, представляющей практический интерес. [c.123]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Система уравнений (4.19) - (4.21) получена для случая, когда Z2> Z - При Z2 < Zi модель можно получить при помощи аналогичных преобразований с учетом соответствующих перекрытий зон. При Z2 = Zi перекрытия не происходит, однако при расчете на ЭВМ нужно учесть неравномерность распределения Ay xi для прямотока. Дифференциальные уравнения второго порядка (4.14) и (4.20) могут быть решены методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Так как аналитические зависимости Хд(г) и Увх.Х ) заранее неизвестны, то интефирование правых частей этих уравнений следует осуществлять численно, путем суммирования подинтефальных выражений с шагом, равным шагу дифференцирования левой части уравнения. [c.197]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Для распада этана было выполнено численное интегрирование (94) и его вариантов, относящихся к случаям тримо-лекулярного обрыва цепей (см. табл. 30) совместного действия торможения цепей на продуктах крекинга и тройного обрыва цепей на любых молекулах [207]. Кроме ранее уже описанного варианта решения (случай 3, уравнение (80)), были численно проинтегрированы (по методу Рунге-Кутта) [c.147]

Чтобы количественный анализ динамики объемного привода был достоверным, необходимо учитывать зависимость коэффициентов уравнений (2.159) от переменных величин. В этом случае дифференциальные уравнения будут нелинейными и для их -решения используют численные методы интегрироьв-ния [17]. Эти методы трудоемки и требуют применения ЭВМ. Разработаны программы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неяоных методов Рунге-Кутта, Адамса и др., которые обеспечивают автоматический выбор временного шага и порядка метода. [c.150]

В параграфе 1 данной главы приведены некоторые результаты численного исследования параметров потока N2O4. Вычисления выполнены с использованием математических моделей, разработанных в параграфах 3, 4 гл. III. На основании этих моделей составлены программы для расчета течений N2O4 на ЭВЦМ Минск-22 стандартным методом Рунге — Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага. [c.152]

Выбор стандартного метода Рунге — Кутта для численного исследования течений N2O4 обусловлен тем, что этот метод не требует нахождения разгонных точек, позволяет вести расчет с переменным шагом и прост в применении. Недостатком метода Рунге — Кутта является ограничение в выборе шага интегрирования At при расчете околоравновесных течений. Как отмечалось выше, величина Ai лимитируется значением характерного времени релаксационного процесса. В соответствии с механизмом термической диссоциации N2O4, принятым нами для расчета параметров потока, значение At определяется значением времени релаксации обратимой реакции [c.153]

И (5.13) рассчитывают сйорость начала взвешивания, рабочую высоту и средний диаметр пузыря в слое. Уравнения (5.77) — (5.80) интегрируются численно, например методом Рунге — Кутта [29]. [c.289]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

Задачу (7), (8) можно решить численно, например методом Рунге — Кутта. Тогда полученные функции будут ириб.лижепно, с точностью до ошибок численного метода, определять границы вариации решения. Следует заметить, что в обгцем случае ширина полученной полосы может быть значительно больше, чем истинная вариация решения. Однако, когда множества / , // = 0, решения (7), (8) точно описывают границы вариации решения и система распадается на две системы, которые можно интегрировать независимо. [c.71]

Обычно численное решение задачи Коти проводится методом Рунге — Кутта. В процессе нашей работы выяснилось, что можно почти в 2 раза сократить объем вычислений, не теряя при этом точности, если для решения задачи Коши использовать алгоритм, предложенный недавно Фелбергдм [196]. Для ускорения расчетов выбирали шаг, который обеспечивал выполнение балансовых уравнений с точностью до 2%. Значение времени, соответствующее такому шагу, зависело от конкретных значений констант и участка кинетической кривой. Естественно, что минимальный шаг был принят на начальном участке, но и при больших временах реакции максимальная величина шага не превышала 0,1 часа. [c.146]

Для проверки метода решения (а не частного численного решения) некоторые расчеты были повторно проведены методом Рунге—Кутта—Джилла с небольшим шагом итерации. Вследствие необходимости значительных затрат машинного времени этот метод не используется для практических расчетов, но может служить для проверочного просчета одного или двух из большого числа решений, полученных с помощью более быстрых методов. [c.249]