Метод Рунге Кутта, решение дифференциальных уравнений

Рис. 5.5. Решение дифференциального уравнения высшего порядка методом Рунге-Кутта с постоянным шагом и с автоматическим выбором шага

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта необходимо выполнить вычисления в следующем порядке [c.124]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Используют стандартную программу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (например, методом Рунге — Кутта или методом Адамса) с автоматическим выбором шага интегрирования в зависимости от требуемой точности вычисления. Эта программа позволяет определить значения концентрации х ( р, 0) и температуры < (Ьр, 0) в совокупности точек, на которые разбивается интервал (О — Ь) интегрирования. [c.151]

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Решение системы из двух дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом [c.98]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Все кинетические константы, входящие в систему уравнений (6.5), были определены экспериментально. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляли численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. [c.175]

Оценим вреия решения задач математического моделирования целиком на ЦВМ с таким быстродействием. Ддя решения системы дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта с заданной точностью обычно требуется [c.504]

Решение полученной системы уравнений на ЭВМ при известных значениях Параметров К, Ту, Т , Та, /Со. о и заданных начальных условиях осуществляется по программе, в которую входит стандартная подпрограмма интегрирования дифференциальных уравнений по методам Рунге—Кутта, Хэмминга или Адамса [c.155]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Решение системы линейных уравнений с учетом условий однозначности и соотношений, описывающих зависимость параметров процесса от искомых величин и, Т к х, возможно только численными методами, для чего дифференциальные уравнения в частных производных (6.101) — (6.103) записывались в конечно-разностном виде [33] по переменной координате /. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методом Рунге — Кутта, для чего алгоритм расчета был реализован в виде ФОРТРАН-программы. [c.190]

Поиск минимума функции Ф по переменным ка, Е осуществлялся градиентным методом. В процессе решения задачи было установлено, что Ф имеет овраги . Для движения по их дну применялся метод оврагов . Частные производные Ф(йо,, Ё) находились по разностной схеме. Решение системы дифференциальных уравнений (XI, 36), (XI. 37) производилось методом Рунге — Кутта с шагом, равным Vie объема реактора. Затраты машинного времени ЦВМ типа М-20 на поиск минимума составляли не менее 1,5—2 ч при достаточно хороших начальных приближениях. Минимальное значение Ф при использовании данных табл. XI. 4 и XI. 5 равно 4,2. [c.306]

Решим дифференциальное уравнение (25) методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага по программе,описанной в литературе, придавая константам уравнения различные значения из априорных соображений. Результаты решения указанного дифференциального уравнения приведены на рис. 7. [c.40]

Эта математическая модель является упрощенной дополнительная подача пара в реактор-смеситель не учитывается, не рассматривается процесс кристаллизации гипса. Система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (236), (257)—(259) аналитического решения не имеет. При реализации ма тематической модели реактора-смесителя поэтому были использованы численные методы интегрирования [359], в частности метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности, дающий малую ошибку и легко программируемый (в нашем случае при моделировании на ЭВМ Наири-2 использовалась стандартная программа из библиотеки СП машины). [c.181]

Возможны и более сложные реализации итерационных, рекуррентных и других подобных вычислений. Например, к ним сводится решение систем дифференциальных уравнений любыми разностными методами, например, Эйлера, Рунге—Кутта и др. [c.76]

Сводка уравнений модели была дана в разд. 8.3. Для решения системы дифференциальных уравнений можно воспользоваться методами Рунге — Кутта или методами предсказания с коррекцией [55] [c.211]

Математическое описание модели [уравнения (10.5), (10.7) и (10.10)] приведено в разд 10.3. В гл. 8 уже упоминалось, что для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть использованы как метод Рунге — Кутта, так и методы предсказания с коррекцией. Из соображений, уже высказанных в гл. 8, был выбран первый из них. [c.240]

Таким образом, система кинетических уравнений пиролиза углеводородов представляется в виде двух взаимосвязанных (через независимые переменные—компоненты реакционной смеси) систем — дифференциальных уравнений для молекулярных углеводородов (система Д) и алгебраических уравнений для радикалов (система А). Для решения каждой из этих систем могут быть использованы стандартные методы решения. В частности, для решения системы Д был использован метод Рунге — Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования, а для системы А — метод простой итерации [108, 109]. Решение системы А выполняется в тех же точках, что и для системы Д. [c.46]

Программу расчета составим в соответствии с укрупненной структурой ал горитма, показанной на рис. 5.17. При этом воспользуемся стандартной под программой ЯКОЗ решения дифференциальных уравнений по методу Рунге— Кутта. В подпрограмме предусмотрено вычисление весовых коэффици12нтов значения которых могут быть взяты одинаковыми при одинаковом порядке оП ределяемых при расчете переменных,. Для выполнения этого условия перейдем [c.387]

Биотехнологические процессы моделируются с помощью систем дифференциальных уравнений. Только немногие из этих систем можно решить аналитически, чаще требуется применение численных методов интегрирования прикидочное решение достигается с помощью метода Эйлера, более точное решение дает метод Рунге Кутта. [c.57]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

Алгебраические уравнения (I) - (2) и описание слоя идеального вытеснения (3) - (4) объединим в первую группу. Путем сведения к нестационарной задаче трансцендентные уравнения (I) -(2), непосредственное решение которых встречает определенные трудности, преобразуются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, как (3) - (4). Эти уравнения представляют собой задачу Коши, для решения которой имеется ряд хорошо разработанных методов, например, Рунге-Кутта, Симпсона и др. Отметим, что для (I) - (2) представляет интерес решение стационарной задачи, т.е. при (если t - переменная, играющая роль времени [c.136]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

Матрица, содержащая таблицу значений решения задачи Кощи на интервале от х 1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным щагом и начальными условиями в векторе v, причем правые части системы записаны в D, п — число шагов, к — максимальное число промежуточных точек решения, s — минимально допустимый интервал между точками (только для Malh ad Professional) [c.452]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Чтобы количественный анализ динамики объемного привода был достоверным, необходимо учитывать зависимость коэффициентов уравнений (2.159) от переменных величин. В этом случае дифференциальные уравнения будут нелинейными и для их -решения используют численные методы интегрироьв-ния [17]. Эти методы трудоемки и требуют применения ЭВМ. Разработаны программы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неяоных методов Рунге-Кутта, Адамса и др., которые обеспечивают автоматический выбор временного шага и порядка метода. [c.150]

Программа МАТ21 дает решение обыкновенного дифференциального уравнения первой степени методом Рунге — Кутта. [c.243]

У1 ( А + 1) У ( а) б г 4, г ( 2, г + 3, /)) = П. Программа М.АТ22 дает решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первой степени методом Рунге — Кутта. [c.245]

Рассмотрим подробно решение обратной задачи в среде MS Ex el. Для решения задачи Коши системы двух дифференциальных уравнений используем метод Рунге—Кутта четвертого порядка. Расчеты будем проводить по формулам [c.275]

Если попытаться решить жесткую систему дифференш1альных уравнений, описываюшую вполне реальную химическую реакцию, обычными численными методами, например широко распространенным в естественных науках методом Рунге — Кутта, то, как правило, получаются ложные результаты. Если интегрировать дифференциальные уравнения с очень малым шагом, то даже при больших затратах машинного времени решение соответствует незначительным изменениям в системе, т. е. очень малой степени преврашения. [c.395]

Предположим, что х t) и х t) заданы ординатами х (ti), х ti) при i = 1, 2,. . d. Тогда для нахождения Ф по формуле (V-30) требуется d раз вычислять значения функции /. Если же в Ф входит решение дифференциального уравнения, найденное, например, методом Рунге — Кутта порядка q (обычно q — А), то для определения значения Ф (а) требуется дТIh раз вычислять функцию / (здесь h — шаг численного интегрирования). Обычно значение Tlh не менее чем на порядок больше числа d, поэтому затраты машинного времени на вычисление Ф по формуле (V-30) сокращаются примерно в 40 раз. [c.295]

Система уравнений решалась на цифровой вычислительной маш не при использовании метода Рунге-Кутта. Для решения дифференциальных уравнений величина Ко( е)п, определяющая концентрацию в органической фазе в стационарном состоянии, определялась экспериментально. Причем, (/Сса )п приближалась к Коар) эксп только с увеличением числа ячеек. [c.138]

Задаваясь каким-либо значением а= у с учетом ограничения (V.12), по формуле (V.8) вычисляем управление U x), соответствующее av. Подставляем полученное U x) в систему дифференциальных уравнений (V.1) и решаем полученную систему при начальных условиях (V.2). Решение осуществим на ЭВМ с помощью метода Рунге — Кутта при автоматическом выборе длины шага интегрирования. В результате решения найдем Xi(L), Х Ь), Xs(L), X4(L) из формулы (V.3) следует, 4To7 i/ = / (aJ. Таким [c.108]

Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

В математическом отношении расчет периодической ректификации многокомпопентной смеси в приближении теоретической тарелки сводится к интегрированию обширной системы обык]к )вениых дифференциальных уравнений. На практике, главным образом, используются два метода численого решения задачи Коши машинные варианты метода Рунге—Кутта [1, 2] и неявный одношаговый конечно-разностный метод, имеющий в основе квадратурную формулу трапеций [3, 4]. В первом случае известные трудности представляет нахождение явного вида прои родной от температуры по времени, кроме того, система уравнений периодической ректификации относится к типу жестки.х систем, для которых методы Рунге—Кутта могут потребовать очень малого шага интегрирования или вообще ие будут работать [5]. Неявный метод более подходит для интегрирования жест.ких систем, но требуег большего объема вычислений иа каждом шаге, поскольку сводит решение нестационарной задачи к последовательному решению нелинейных систем алгебраических уравнений. [c.62]

Построена упрощенная математическая модель кинетики фотохимического синтеза четырех основных изомеров гексахлорциклогексана в изотермических условиях. Модель представляет собой систему из 20 лилейных дифференциальных уравнений псевдопервого порядка. Решение системы уравнений проводи лось численным методом Рунге—Кутта на ЭВМ. Полученная модель удовлетворительно аппроксилирует опытные да1тые в области, представляющей практический интерес. [c.123]

I. Вычисление характеристик периодического процесса по уравнениям типа (1.36), (1.37) и т.п. (в зависимости от вида кинетического модуля) с использованием методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Рунге — Кутта, Адамса или других из имеющихся в системе математического обеспечения используемой ЭВМ). Отметим, что в качестве начальных условий при решении по уравнениям (1У.2) должны быть выбраны значения выхода предыдущего реактора [c.140]

О численном решении задачи об автоволне в нестационарной постановке. В качестве метода решения начально-краевой задачи (1.8) был выбран метод прямых [29]. Использовалась аппроксимация второго порядка точности по пространственной переменной. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась с помош,ью неявной схемы Рунге-Кутта 5-го порядка точности, программная реализация которой эффективно учитывала ленточный вид матрицы Якоби правых частей. [c.64]

Заканчивая данный раздел, сделаем некоторые замечания относительно использования явных методов для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений. В ряде случаев возникает необходимость применения явных формул для решения жестких задач. Это требуется, например, при большой размерности дифференциальной задачи. Алгоритмы на основе неявных или полуявных формул, как правило, используют обращение матрицы Якоби, что в данном случае есть отдельная трудновыполнимая задача. В такой ситуации предпочтительнее использовать алгоритмы на основе явных формул, если жесткость задачи позволяет за разумное время получить приближение к решению. Современные алгоритмы на основе явных формул в большинстве своем не приспособлены для решения жестких задач по следующей причине. Обычно алгоритм управления величиной шага строится на контроле точности численной схемы. Это естественно, так как основным критерием является точность вычисления решения. Однако при применении алгоритмов интегрирования на основе явных формул для решения жестких задач этот подход приводит к потере эффективности и надежности, ибо вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается, что приводит либо к большому количеству возвратов (повторных вычислений решения), либо к АВОСТу. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать и устойчивость численной схемы. Может быть предложен способ контроля устойчивости явных методов и алгоритм интегрирования с контролем точности и устойчивости на основе явной формулы типа Рунге—Кутта второго порядка точности [c.279]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология