Метод Рунге — Кутта для систем дифференциальных уравнений

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта необходимо выполнить вычисления в следующем порядке [c.124]

Используют стандартную программу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (например, методом Рунге — Кутта или методом Адамса) с автоматическим выбором шага интегрирования в зависимости от требуемой точности вычисления. Эта программа позволяет определить значения концентрации х ( р, 0) и температуры < (Ьр, 0) в совокупности точек, на которые разбивается интервал (О — Ь) интегрирования. [c.151]

Решение системы из двух дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом [c.98]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Все кинетические константы, входящие в систему уравнений (6.5), были определены экспериментально. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляли численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. [c.175]

Оценим вреия решения задач математического моделирования целиком на ЦВМ с таким быстродействием. Ддя решения системы дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта с заданной точностью обычно требуется [c.504]

Решение полученной системы уравнений на ЭВМ при известных значениях Параметров К, Ту, Т , Та, /Со. о и заданных начальных условиях осуществляется по программе, в которую входит стандартная подпрограмма интегрирования дифференциальных уравнений по методам Рунге—Кутта, Хэмминга или Адамса [c.155]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Далее решалась задача Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка (2.236). Система (2.236) интегрировалась методом Рунге—Кутта с помощью программы, описанной в [66]. Спустя некоторое время после начала счета ЭВМ выдавала переполнение . Причина переполнения строго анализировалась. Система уравнепий (2.236) оказалась плохо обуслов- [c.218]

Поиск минимума функции Ф по переменным ка, Е осуществлялся градиентным методом. В процессе решения задачи было установлено, что Ф имеет овраги . Для движения по их дну применялся метод оврагов . Частные производные Ф(йо,, Ё) находились по разностной схеме. Решение системы дифференциальных уравнений (XI, 36), (XI. 37) производилось методом Рунге — Кутта с шагом, равным Vie объема реактора. Затраты машинного времени ЦВМ типа М-20 на поиск минимума составляли не менее 1,5—2 ч при достаточно хороших начальных приближениях. Минимальное значение Ф при использовании данных табл. XI. 4 и XI. 5 равно 4,2. [c.306]

Решение системы линейных уравнений с учетом условий однозначности и соотношений, описывающих зависимость параметров процесса от искомых величин и, Т к х, возможно только численными методами, для чего дифференциальные уравнения в частных производных (6.101) — (6.103) записывались в конечно-разностном виде [33] по переменной координате /. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методом Рунге — Кутта, для чего алгоритм расчета был реализован в виде ФОРТРАН-программы. [c.190]

Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ХП1,8) (ХП1,И) и (ХП1,10), (ХП1,И), осуществлялось методом Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 . Время расчета каждой системы уравнений при О т i на машине Минск-22 составило приблизительно 10—15 с. [c.297]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Эта математическая модель является упрощенной дополнительная подача пара в реактор-смеситель не учитывается, не рассматривается процесс кристаллизации гипса. Система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (236), (257)—(259) аналитического решения не имеет. При реализации ма тематической модели реактора-смесителя поэтому были использованы численные методы интегрирования [359], в частности метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности, дающий малую ошибку и легко программируемый (в нашем случае при моделировании на ЭВМ Наири-2 использовалась стандартная программа из библиотеки СП машины). [c.181]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

Поскольку система дифференциальных уравнений разрешима относительно производных, численные расчеты могут выполняться с помощью обычных методов, например с помощью метода Рунге—Кутта. [c.37]

Численное интегрирование рассматриваемой системы осуществлялось методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 —10 . В качестве начальных условий рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (35) задаются исходные концентрации метана и кислорода ( l Сз = 0,29 0,71). [c.43]

Сводка уравнений модели была дана в разд. 8.3. Для решения системы дифференциальных уравнений можно воспользоваться методами Рунге — Кутта или методами предсказания с коррекцией [55] [c.211]

Математическое описание модели [уравнения (10.5), (10.7) и (10.10)] приведено в разд 10.3. В гл. 8 уже упоминалось, что для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть использованы как метод Рунге — Кутта, так и методы предсказания с коррекцией. Из соображений, уже высказанных в гл. 8, был выбран первый из них. [c.240]

Интегрирование на один шаг системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта [c.94]

В общем случае повышение точности идентификации достигается использованием цифровых вычислительных машин. Системы нелинейных дифференциальных уравнений решаются численно (метод Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага или метод Адамса) с использованием контрольных соотношений типа (1.17). [c.76]

Система дифференциальных уравнений вида (1) — (3) и (6) — (9) интегрировалась численно методом Рунге—Кутта с помощью ЭЦВМ М-22. На первой стадии расчета система, помимо уравнения (9), содержала лишь уравнение (8) без последнего члена в правой части и 123 уравнения вида (1). Правые части уравнений (8) и (1) представляют собой бесконечные ряды. В расчетах число членов было ограничено таким образом, что не учитывались члены вида для [c.166]

Таким образом, система кинетических уравнений пиролиза углеводородов представляется в виде двух взаимосвязанных (через независимые переменные—компоненты реакционной смеси) систем — дифференциальных уравнений для молекулярных углеводородов (система Д) и алгебраических уравнений для радикалов (система А). Для решения каждой из этих систем могут быть использованы стандартные методы решения. В частности, для решения системы Д был использован метод Рунге — Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования, а для системы А — метод простой итерации [108, 109]. Решение системы А выполняется в тех же точках, что и для системы Д. [c.46]

Если уменьшать длину рассчитываемой короткой секции колонны, то мы приблизимся в пределе к бесконечно малому отрезку. Дифференциальные уравнения материального и теплового балансов и межфазного переноса для любой точки колонны представлены уравнениями (38. 27) и следующим за ним. В гл. 38 единственным рассматривавшимся растворенным веществом был компонент А если присутствуют другие растворенные вещества, например В и Е, то нужно просто добавить к системе дифференциальных уравнений уравнения типа (38. 28) и (38. 30) для />, Я и т. д. Систему дифференциальных уравнений следует решать численными методами, такими как метод Эйлера или Рунге — Кутта. Такие расчеты теперь редко производят вручную используют электронную счетную машину. [c.687]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

Система 2к дифференциальных уравнений (7.309) и (7.309а) с заданными начальными условиями решается на ЭВМ с использованием соотношений (7.310), (7.311), (7.312), (7.312а) методом Рунге—Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага. [c.377]

Система уравнений (4.19) - (4.21) получена для случая, когда Z2> Z - При Z2 < Zi модель можно получить при помощи аналогичных преобразований с учетом соответствующих перекрытий зон. При Z2 = Zi перекрытия не происходит, однако при расчете на ЭВМ нужно учесть неравномерность распределения Ay xi для прямотока. Дифференциальные уравнения второго порядка (4.14) и (4.20) могут быть решены методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Так как аналитические зависимости Хд(г) и Увх.Х ) заранее неизвестны, то интефирование правых частей этих уравнений следует осуществлять численно, путем суммирования подинтефальных выражений с шагом, равным шагу дифференцирования левой части уравнения. [c.197]

Матрица, содержащая таблицу значений решения задачи Кощи на интервале от х 1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным щагом и начальными условиями в векторе v, причем правые части системы записаны в D, п — число шагов, к — максимальное число промежуточных точек решения, s — минимально допустимый интервал между точками (только для Malh ad Professional) [c.452]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики проводилось методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага с относительной погрешностью 10 —10 , однако в соответствии с предложенным в [22, 23] алгоритмом интегрирования систем жестких дифференциальных уравнений (см. раздел 2) полная система обыкновенных дифференциальных уравнений заменялась укороченной, совместно с которой решалась система алгебраических уравнений для концентраций "быстрых" компонент СН3ОО, ОН, НСО. В данном случае расчеты упрощались тем, что алгебраические уравнения оказались независимыми. За счет применения принципа квазистационарно- [c.148]

Рассмотрим па конкретном примере, как используются такие программы. Предположим, что интегрирование приведенной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка необходимо провести по методу Рунге — Кутта по области от Т = Х до XEND с некоторым допуском TOL. При включении в программу оператора вида [c.384]

У1 ( А + 1) У ( а) б г 4, г ( 2, г + 3, /)) = П. Программа М.АТ22 дает решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первой степени методом Рунге — Кутта. [c.245]

Рассмотрим подробно решение обратной задачи в среде MS Ex el. Для решения задачи Коши системы двух дифференциальных уравнений используем метод Рунге—Кутта четвертого порядка. Расчеты будем проводить по формулам [c.275]

Тсеп (капля достигла стенки). Поставленная задача решалась на электронной цифровой вычислительной машине Минск-22 . Программа расчета была составлена таким образом, чтобы получить траекторию движения капли, составляющие скорости и размер капли в любой момент времени. Система дифференциальных уравнений интегрировалась методом Рунге — Кутта. Расчеты проводились для широкого диапазона изменения параметров диаметр циклонного реактора Оц = 0,4... 3,0 м относительный диаметр пережима dJDa, = 0,3... 1,0 входная скорость топливовоздушной смеси Швх = 10... 100 м/с температура газов Т = = 800. .. 1600° С координаты места ввода капель в циклонный реактор о/ )ц =0,27...1,0 корневой угол распыливания а =(0... 120)° начальная скорость капель == = 15. .. 55 м/с начальный диаметр капель бко = = 25. .. 2000 мкм. [c.51]

Если попытаться решить жесткую систему дифференш1альных уравнений, описываюшую вполне реальную химическую реакцию, обычными численными методами, например широко распространенным в естественных науках методом Рунге — Кутта, то, как правило, получаются ложные результаты. Если интегрировать дифференциальные уравнения с очень малым шагом, то даже при больших затратах машинного времени решение соответствует незначительным изменениям в системе, т. е. очень малой степени преврашения. [c.395]

Система уравнений решалась на цифровой вычислительной маш не при использовании метода Рунге-Кутта. Для решения дифференциальных уравнений величина Ко( е)п, определяющая концентрацию в органической фазе в стационарном состоянии, определялась экспериментально. Причем, (/Сса )п приближалась к Коар) эксп только с увеличением числа ячеек. [c.138]

Вначале одним из численных способов, например методом Рунге-Кутта четвертого порядка, следует решить систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (2.14). При этом на каждом шаге интегрирования системы также численным способом, например методом Симпсона, вьиисляются значения определенных интегралов (2.13). Это удобно делать, вычитая из их начальных значений величины соответствующих интегралов в пределах от О до Мон (О- После этого по соотношениям (2.15), (2.16) могут быть найдены Мх( ) и, если нужно, Р(М, г). [c.75]

В математическом отношении расчет периодической ректификации многокомпопентной смеси в приближении теоретической тарелки сводится к интегрированию обширной системы обык]к )вениых дифференциальных уравнений. На практике, главным образом, используются два метода численого решения задачи Коши машинные варианты метода Рунге—Кутта [1, 2] и неявный одношаговый конечно-разностный метод, имеющий в основе квадратурную формулу трапеций [3, 4]. В первом случае известные трудности представляет нахождение явного вида прои родной от температуры по времени, кроме того, система уравнений периодической ректификации относится к типу жестки.х систем, для которых методы Рунге—Кутта могут потребовать очень малого шага интегрирования или вообще ие будут работать [5]. Неявный метод более подходит для интегрирования жест.ких систем, но требуег большего объема вычислений иа каждом шаге, поскольку сводит решение нестационарной задачи к последовательному решению нелинейных систем алгебраических уравнений. [c.62]

Построена упрощенная математическая модель кинетики фотохимического синтеза четырех основных изомеров гексахлорциклогексана в изотермических условиях. Модель представляет собой систему из 20 лилейных дифференциальных уравнений псевдопервого порядка. Решение системы уравнений проводи лось численным методом Рунге—Кутта на ЭВМ. Полученная модель удовлетворительно аппроксилирует опытные да1тые в области, представляющей практический интерес. [c.123]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]