Рунге—Кутта метод решения уравнений

Рис. 5.5. Решение дифференциального уравнения высшего порядка методом Рунге-Кутта с постоянным шагом и с автоматическим выбором шага

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта необходимо выполнить вычисления в следующем порядке [c.124]

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Используют стандартную программу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (например, методом Рунге — Кутта или методом Адамса) с автоматическим выбором шага интегрирования в зависимости от требуемой точности вычисления. Эта программа позволяет определить значения концентрации х ( р, 0) и температуры < (Ьр, 0) в совокупности точек, на которые разбивается интервал (О — Ь) интегрирования. [c.151]

Решение системы из двух дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом [c.98]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Суммируем кратко основные выводы по предыдущему разделу. Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге—Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения. Основная трудность [см. уравнения (177)—(180), (192) и (193)] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора. [c.240]

Все кинетические константы, входящие в систему уравнений (6.5), были определены экспериментально. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляли численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. [c.175]

Определив граничные условия, решают систему уравнений (6.48) — (6.50) методом Рунге — Кутта, причем интегрирование проводят по известной длине (высоте) исчерпывающей части колонны. В точке питания необходимо определить новые граничные условия для расчета укрепляющей части мембранной колонны, решая совместно уравнения материального баланса по всему веществу и по целевому компоненту. Далее систему уравнений (6.48) — (6.50) решают интегрированием по длине (высоте) укрепляющей колонны. Численные методы решения этих уравнений позволяют определить профили концентраций, скоростей и давлений по высоте колонны, знание которых позволяет выбрать, исходя из принятого определяющего критерия (например, предельное гидравлическое сопротивление),скорость (точнее, диаметр) колонны. [c.217]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Решение полученной системы уравнений на ЭВМ при известных значениях Параметров К, Ту, Т , Та, /Со. о и заданных начальных условиях осуществляется по программе, в которую входит стандартная подпрограмма интегрирования дифференциальных уравнений по методам Рунге—Кутта, Хэмминга или Адамса [c.155]

Методы, в основе которых используется информация о решении в ряде предшествующих точек, называются конечно-разностными методами или методами прогноза и коррекции. В отличие от формул Рунге—Кутта, в этих методах на каждом шаге интегрирования правые части уравнений вычисляются один или два раза, а разность между прогнозированным и скорректированным решениями дает оценку точности интегрирования и можёт быть использована для контроля величины шага. [c.365]

Возможны и более сложные реализации итерационных, рекуррентных и других подобных вычислений. Например, к ним сводится решение систем дифференциальных уравнений любыми разностными методами, например, Эйлера, Рунге—Кутта и др. [c.76]

Таким образом, задача сводится к решению двух уравнений (3.137) и (3.139) с двумя неизвестными 8(, и у. По начальному значению у 1д) из уравнения (3.139) методом Рунге—Кутта определяется у т. е. величина при начальном значении 0. Далее, из (3.137) определяется 8о 1+ 1), затем по уравнению (3.135) находится 2 ( +Д0> п эта процедура повторяется. Расчеты выполнялись на ЦВМ М-220. [c.194]

Четвертое уравнение в системе (2.73) абсолютно устойчиво. Для повышения точности решения системы (2.64) — (2.67) на каждом временном участке [п, га-Ы] можно решать первые три уравнения системы методом Рунге — Кутта [18]. [c.165]

В процессе решения уравнений (11,232), (11,233) методом Рунге — Кутта для каждого значения т независимой переменной рассчитывается равновесная степень контактирования 2р", по достижении которой расчет -го слоя заканчивается [см. (II,236) . [c.184]

Поиск минимума функции Ф по переменным ка, Е осуществлялся градиентным методом. В процессе решения задачи было установлено, что Ф имеет овраги . Для движения по их дну применялся метод оврагов . Частные производные Ф(йо,, Ё) находились по разностной схеме. Решение системы дифференциальных уравнений (XI, 36), (XI. 37) производилось методом Рунге — Кутта с шагом, равным Vie объема реактора. Затраты машинного времени ЦВМ типа М-20 на поиск минимума составляли не менее 1,5—2 ч при достаточно хороших начальных приближениях. Минимальное значение Ф при использовании данных табл. XI. 4 и XI. 5 равно 4,2. [c.306]

Решим дифференциальное уравнение (25) методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага по программе,описанной в литературе, придавая константам уравнения различные значения из априорных соображений. Результаты решения указанного дифференциального уравнения приведены на рис. 7. [c.40]

Решение системы уравнений (II. 116)—(II. 121) не представляет трудностей при использовании ЦВМ. Применение для численного интегрирования метода Рунге—Кутта [14] позволяет получить решение системы с заранее заданной точностью за счет уменьшения шага интегрирования. [c.69]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Величина б зависит в основном от шага интегрирования А и значений производных функции yi(t). Для наиболее распространенного метода Рунге—Кутта порядка г величина бг пропорциональна (t) [9]. Уменьшение h снижает погрешность решения, но увеличивает затраты машинного времени на интегрирование. Величины производных зависят только от значений параметров Поэтому точность интегрирования уравнений j(IX. 3), а следовательно, и точность вычисления Ф(а), будет определяться выбором h и значений a,-pi. Переменная погрешность вычисления функции Ф(а) при изменении a t) особенно затрудняет поиск й на поверхности с малой крутизной или при наличии оврагов . [c.233]

Решение задачи осуществлялось на трехадресной ЦВМ типа М-20 со средним быстродействием 20 ООО операций в секунду. Интегрирование уравнений кинетики производилось методом Рунге —Кутта четвертого порядка с шагом [c.267]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

Решение системы уравнений (5.3) на отрезке хп, хА ] получим, используя метод Рунге-Кутта (см. рис. 5.5). Транспонированные матрицы уг и угг содержат решения, найденные в конечной точке с автоматическим выбором шага (уг) и во всех точках отрезка [хп, хк] с постоянным шагом (угг). [c.198]

Широко используемый на практике для решения задач динамики метод Рунге—Кутта, стандартные программы которого имеются в настоящее время на всех современных ЭВМ, оказывается применительно к уравнениям МКЭ весьма неэкономичным из-за слишком малой требуемой величины At. [c.114]

На рис. 11.28 представлены результаты решения системы (11.61) в виде кривых ф1 (г) ф2 (0 Фз ( 1 также (г) (г) Сз (г), вычисленные с использованием уравнений материального баланса. Решение выполнено на ЭЦВМ методом Рунге — Кутта. Расчетные данные сопоставлены с опытными. [c.85]

Алгебраические уравнения (I) - (2) и описание слоя идеального вытеснения (3) - (4) объединим в первую группу. Путем сведения к нестационарной задаче трансцендентные уравнения (I) -(2), непосредственное решение которых встречает определенные трудности, преобразуются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, как (3) - (4). Эти уравнения представляют собой задачу Коши, для решения которой имеется ряд хорошо разработанных методов, например, Рунге-Кутта, Симпсона и др. Отметим, что для (I) - (2) представляет интерес решение стационарной задачи, т.е. при (если t - переменная, играющая роль времени [c.136]

Исследования математической модели реактора на ЦВМ-Система уравнений (I) (б), составляющая математическую недель реактора, решалась на тМ методом Рунге-Кутта -го порядка- в достаточно широкой области изменения переменных ( Не, Ро, Точность решения оцз- [c.121]

Программу расчета составим в соответствии с укрупненной структурой ал горитма, показанной на рис. 5.17. При этом воспользуемся стандартной под программой ЯКОЗ решения дифференциальных уравнений по методу Рунге— Кутта. В подпрограмме предусмотрено вычисление весовых коэффици12нтов значения которых могут быть взяты одинаковыми при одинаковом порядке оП ределяемых при расчете переменных,. Для выполнения этого условия перейдем [c.387]

Система уравнений решалась на цифровой вычислительной маш не при использовании метода Рунге-Кутта. Для решения дифференциальных уравнений величина Ко( е)п, определяющая концентрацию в органической фазе в стационарном состоянии, определялась экспериментально. Причем, (/Сса )п приближалась к Коар) эксп только с увеличением числа ячеек. [c.138]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

Матрица, содержащая таблицу значений решения задачи Кощи на интервале от х 1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным щагом и начальными условиями в векторе v, причем правые части системы записаны в D, п — число шагов, к — максимальное число промежуточных точек решения, s — минимально допустимый интервал между точками (только для Malh ad Professional) [c.452]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

Для распада этана было выполнено численное интегрирование (94) и его вариантов, относящихся к случаям тримо-лекулярного обрыва цепей (см. табл. 30) совместного действия торможения цепей на продуктах крекинга и тройного обрыва цепей на любых молекулах [207]. Кроме ранее уже описанного варианта решения (случай 3, уравнение (80)), были численно проинтегрированы (по методу Рунге-Кутта) [c.147]

Чтобы количественный анализ динамики объемного привода был достоверным, необходимо учитывать зависимость коэффициентов уравнений (2.159) от переменных величин. В этом случае дифференциальные уравнения будут нелинейными и для их -решения используют численные методы интегрироьв-ния [17]. Эти методы трудоемки и требуют применения ЭВМ. Разработаны программы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неяоных методов Рунге-Кутта, Адамса и др., которые обеспечивают автоматический выбор временного шага и порядка метода. [c.150]

Бондурант и Вествотер [20] применили метод Рунге — Кутта четвертого порядка к решению уравнений теплового баланса радиальных ребер прямоугольного профиля, при этом как теплопроводность материала ребра, так и коэффициент теплоотдачи между ребром и кипящей жидкостью считались зависящими от температуры. Данные по коэффициенту теплоотдачи были взяты из работы Хэли и Вествотера [8]. Задавался тепловой поток в основании ребра, и в результате итераций находился температурный напор в основании, при котором у торца ребра существовал пузырьковый режим кипения. После определения температурного напора в основании одиночного ребра находился суммарный тепловой поток, отводимый оребренной трубой. Его рассчитывали умножением теплового потока, отводимого одиночным ребром, на число [c.219]

Расчет кинетики колебательной релаксации двухатомных молекул в электрических разрядах производился в работе [19]. Интегрировалась система 50 уравнений с нелинейными правыми частяш. Использовались методы Рунге-Кутта четвертого порядка, прогноза и коррекции типа Адамса четвертого порядка, а также неявные методы (1),(2). При низких концентрациях электронов для заселенностей верхних колебательных уровней в некотором интервале времен наблюдается наличие квазиста- 0 ционарного участка. Решение задачи в этих условиях удалось (О получить только методами (I) и (2) (при1 5енение методов Рунге- Кутта, прогноза и коррекции приводит к чрезмерному уменьшению шага, появлению отрицательных концентраций). [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология