Рунге Кутта численные

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Все кинетические константы, входящие в систему уравнений (6.5), были определены экспериментально. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляли численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. [c.175]

Широкое применение для решения прямой кинетической задачи нашли методы Розенброка [389]. Основная идея этих методов состоит во введении якобиана системы в разностную схему Рунге-Кутта. Артемьевым и Демидовым [8—10] предложен ряд схем такого типа. Рассмотрим предложенный в работах [8, 9] метод 4-го порядка. Численное решение задачи Коши для автономных систем ОДУ осуществляется по формулам [c.135]

Линейные многошаговые методы отличаются от методов Рунге—Кутта тем, что для вычисления последующих значений Уи + 1 нужно использовать ранее вычисленные значения у , у 1, у 2 Идея получения формул численного решения состоит в том, что задача Коши записывается в интегральной форме [c.135]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Определив граничные условия, решают систему уравнений (6.48) — (6.50) методом Рунге — Кутта, причем интегрирование проводят по известной длине (высоте) исчерпывающей части колонны. В точке питания необходимо определить новые граничные условия для расчета укрепляющей части мембранной колонны, решая совместно уравнения материального баланса по всему веществу и по целевому компоненту. Далее систему уравнений (6.48) — (6.50) решают интегрированием по длине (высоте) укрепляющей колонны. Численные методы решения этих уравнений позволяют определить профили концентраций, скоростей и давлений по высоте колонны, знание которых позволяет выбрать, исходя из принятого определяющего критерия (например, предельное гидравлическое сопротивление),скорость (точнее, диаметр) колонны. [c.217]

Проведем численное интегрирование системы уравнений (2.137). Для этого предлагается следующий алгоритм. На п-и шаге (по координате X) известны значения следующих параметров р1", (/=1, 2,. .., Ы), а,", рЛ, с", Т", v . Из уравнений (2.144), (2.145) определяются значения скоростей осаждения частиц и". Далее два уравнения в системе (2.138) (уравнения изменения концентрации и температуры) интегрируются методом Рунге —Кутта [181 на отрезке [л, л4-1] и находятся значения концентрации и температуры в точке л+1. Затем в этой же точке определяются значения [c.183]

Построим алгоритм решения системы (2.236) — (2.239). На нижнем конце, кроме задания параметров с, Т, р,, и,, г)з в точке х , зададим некоторым образом значения параметров Уа(л о), й2 Ха), Рг(- о), Рз(- о), а также зададим высоту Затем численно интегрируем систему (2.236) (например, методом Рунге — Кутта) до тех пор, пока х не станет равным х - К В точке х > строим функционал [c.216]

Для проверки этого эффекта были численно определены первые пять моментов из системы уравнений (6.15) с начальными условиями (6.19) и при различных порядках интерполяции доопределяющих уравнений (5.98). Расчеты проводили по схеме Рунге — Кутта пятого порядка. Результаты расчетов первых двух моментов и параметров р1 и Ра при а — 0,25 и прежнем начальном условии представлены на рис. 6.2 и 6.7. Из рисунков видно, что повышение порядка интерполяционных формул приводит к нарушению устойчивости решения результирующей системы уравнений. Аналогичные данные были получены при определении моментов автомодельного решения из системы уравнений (6.25). Дробные моменты интерполировались по формуле (5.98). При а = 0,25 были получены следующие результаты [c.119]

Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ХП1,8) (ХП1,И) и (ХП1,10), (ХП1,И), осуществлялось методом Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 . Время расчета каждой системы уравнений при О т i на машине Минск-22 составило приблизительно 10—15 с. [c.297]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

Система (4-28) —(4-30) интегрировалась на ЭВМ численным методом. Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага. Погрешность вычислений не превышает 0,0001. [c.125]

Совокупность уравнений (38) — (40) подвергали численному интегрированию методом Рунге—Кутта и оптимизировали путем минимизации дисперсий между вычисленными и экспериментальными значениями Xi и п . Расчет на ЭВМ дает следующие константы скорости элементарных стадий дегидрирования изопентана и константы дезактивации катализатора [c.124]

Решение системы уравнений (II. 116)—(II. 121) не представляет трудностей при использовании ЦВМ. Применение для численного интегрирования метода Рунге—Кутта [14] позволяет получить решение системы с заранее заданной точностью за счет уменьшения шага интегрирования. [c.69]

В работе [173] выполнено прямое численное интегрирование методом Рунге — Кутта 4-го порядка на ЭВМ Минск-22 дифференциальных уравнений, описывающих кинетику термического разложения NO2 по механизму [c.76]

Рещение данной подзадачи может проводиться одним из методов численного интегрирования (например, методом Эйлера, методом Рунге-Кутта). Это решение позволяет определить необходимую высоту колонны, обеспечивающую требуемую степень выделения целевого компонента. [c.275]

С учетом всего сказанного возникает потребность еще больше упростить решение уравнений трансформации паводка. Такая потребность обусловлена не столько вычислительными соображениями, хотя погружение численного интегрирования (например, по схеме Рунге-Кутта) внутрь описываемой в следующем разделе многовариантной оптимизации подразумевает использование все же достаточно мощных компьютеров, сколько стремлением обеспечить системное соответствие между точностью исходной информации, принимаемых предположений и детальностью вычислительной схемы. Учитывая оценочный характер методологии выбора расчетного гидрографа, стоимостных показателей элементов гидроузлов и упрощающих предпосылок редукционной гипотезы, для расчета максимального сбросного расхода [c.421]

Поскольку система дифференциальных уравнений разрешима относительно производных, численные расчеты могут выполняться с помощью обычных методов, например с помощью метода Рунге—Кутта. [c.37]

Численное интегрирование рассматриваемой задачи с учетом сказанного выше было осуществлено на ЭЦВМ Стрела вычислительного центра МГУ методом Рунге—Кутта (см. [13]) с автоматическим выбором шага с относительными точностями 10" и 10 , обеспечивающими получение решения до г = 100 с точностью 1—2%. С увеличением значения г шаг интегрирования возрастает и при г 1 для экономии машинного времени можно считать с постоянным шагом /I = 0,1. Время счета до 2 = 100 — порядка 20 мин. [c.30]

Численное интегрирование рассматриваемой системы осуществлялось методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага и относительной погрешностью 10 —10 . В качестве начальных условий рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (35) задаются исходные концентрации метана и кислорода ( l Сз = 0,29 0,71). [c.43]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Система уравнений (4.19) - (4.21) получена для случая, когда Z2> Z - При Z2 < Zi модель можно получить при помощи аналогичных преобразований с учетом соответствующих перекрытий зон. При Z2 = Zi перекрытия не происходит, однако при расчете на ЭВМ нужно учесть неравномерность распределения Ay xi для прямотока. Дифференциальные уравнения второго порядка (4.14) и (4.20) могут быть решены методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Так как аналитические зависимости Хд(г) и Увх.Х ) заранее неизвестны, то интефирование правых частей этих уравнений следует осуществлять численно, путем суммирования подинтефальных выражений с шагом, равным шагу дифференцирования левой части уравнения. [c.197]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Для распада этана было выполнено численное интегрирование (94) и его вариантов, относящихся к случаям тримо-лекулярного обрыва цепей (см. табл. 30) совместного действия торможения цепей на продуктах крекинга и тройного обрыва цепей на любых молекулах [207]. Кроме ранее уже описанного варианта решения (случай 3, уравнение (80)), были численно проинтегрированы (по методу Рунге-Кутта) [c.147]

Чтобы количественный анализ динамики объемного привода был достоверным, необходимо учитывать зависимость коэффициентов уравнений (2.159) от переменных величин. В этом случае дифференциальные уравнения будут нелинейными и для их -решения используют численные методы интегрироьв-ния [17]. Эти методы трудоемки и требуют применения ЭВМ. Разработаны программы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неяоных методов Рунге-Кутта, Адамса и др., которые обеспечивают автоматический выбор временного шага и порядка метода. [c.150]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

В параграфе 1 данной главы приведены некоторые результаты численного исследования параметров потока N2O4. Вычисления выполнены с использованием математических моделей, разработанных в параграфах 3, 4 гл. III. На основании этих моделей составлены программы для расчета течений N2O4 на ЭВЦМ Минск-22 стандартным методом Рунге — Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага. [c.152]

Выбор стандартного метода Рунге — Кутта для численного исследования течений N2O4 обусловлен тем, что этот метод не требует нахождения разгонных точек, позволяет вести расчет с переменным шагом и прост в применении. Недостатком метода Рунге — Кутта является ограничение в выборе шага интегрирования At при расчете околоравновесных течений. Как отмечалось выше, величина Ai лимитируется значением характерного времени релаксационного процесса. В соответствии с механизмом термической диссоциации N2O4, принятым нами для расчета параметров потока, значение At определяется значением времени релаксации обратимой реакции [c.153]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до конца только в отдельных частных случаях, например, при я = 2 В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени t в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, юторые были рассчитаны при различном малом шаге по t, огфеде-лялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

И (5.13) рассчитывают сйорость начала взвешивания, рабочую высоту и средний диаметр пузыря в слое. Уравнения (5.77) — (5.80) интегрируются численно, например методом Рунге — Кутта [29]. [c.289]

Понятие, 4-устойчивости привело исследователей к рассмотрению неявных методов типа Рупге — Кутта. Наиболее полное изучение этих методов содержится в работах Батчера [30—33], а также в известной монографии Штеттера [13]. Следует отметить, что среди всех численных методов формулы типа Рунге — Кутта обладают наиболее развитой теорией [13, с. 134]. Неявный т-стадий-ный метод типа Рунге — Кутта записывается в следуюгцем виде [c.56]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, использование неявных методов типа Рунге — Кутта является ограниченным. Причина этого заключается в больших вычислительных затратах на шаг интегрирования. Из (5) видно, что для вычисления кщ требуется организовать итерационный процесс. Метод простой итерации является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому же ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона — Рафсопа или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обра-ш,ения матрицы размерностью mXN. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ь[/-разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной матрицы на нескольких шагах интегрировашш. Это оправдано тем, что итера-ци<)нная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и необходимость в ее исправлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.57]

Наиболее известные алгоритмы решения систем, не разрешенных относительно производной, основаны на многошаговых формулах [14, 24, 59, 60]. В [61] для решения (2) используется двустадийная полуявная формула типа Рунге — Кутта, а для аппроксимации производной решения — формула трапеции. В [62] для решения (2) предлагается класс численных схем, которые совпадают с методами типа Розенброка, если их применять для решения (1). Там же на основе формул первого и второго порядка точности построены два алгоритма интегрирования задачи (2). В [63] описан класс методов решения (2), который при применении к (1) совпадает с (та, /с)-методами. Более подробный обзор методов решения (2) содержится в [63, 64]. [c.61]

Задачу (7), (8) можно решить численно, например методом Рунге — Кутта. Тогда полученные функции будут ириб.лижепно, с точностью до ошибок численного метода, определять границы вариации решения. Следует заметить, что в обгцем случае ширина полученной полосы может быть значительно больше, чем истинная вариация решения. Однако, когда множества / , // = 0, решения (7), (8) точно описывают границы вариации решения и система распадается на две системы, которые можно интегрировать независимо. [c.71]

Обычно численное решение задачи Коти проводится методом Рунге — Кутта. В процессе нашей работы выяснилось, что можно почти в 2 раза сократить объем вычислений, не теряя при этом точности, если для решения задачи Коши использовать алгоритм, предложенный недавно Фелбергдм [196]. Для ускорения расчетов выбирали шаг, который обеспечивал выполнение балансовых уравнений с точностью до 2%. Значение времени, соответствующее такому шагу, зависело от конкретных значений констант и участка кинетической кривой. Естественно, что минимальный шаг был принят на начальном участке, но и при больших временах реакции максимальная величина шага не превышала 0,1 часа. [c.146]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология