Фазовое пространство определение понятия

При использовании понятия фазового пространства критерий оптимальности можно считать функцией переменных х,- и определенной в (н / )-мерном пространстве. этих переменных, значение которой зависит от положения точки в данном пространстве, или функционалом (см. главу V) с величиной, обусловленной выбором траектории, соединяющей две точки, или в более общем случае две области фазового пространства. [c.55]

Ясно, что указанный способ анализа распределений зависит от выбора априорного распределения Р°. В понятие равновероятности всех состояний может быть вложен различный смысл в зависимости от определения состояния системы и тех дополнительных общих ограничений, которым эти состояния должны удовлетворять. В изложенном выше варианте статистической теории (вариант 2 или 3). состояния системы определены как состояния активированного комплекса, поэтому фазовый объем, отвечающий движению по координате реакции, не входит в фазовый объем, определяющий число состояний. В качестве общих ограничений учтено сохранение полной энергии Е и полного углового момента /. Принятое авторами теоретико-информационного анализа [16, 17] априорное распределение Р° существенно отличается от статистического в число состояний включены также состояния относительного движения фрагментов, и в качестве общего ограничения учитывается только сохранение полной энергии Е. Это означает, что принятое априорное распределение не учитывает ограничения, связанные с условиями распада комплекса и с меньшей областью доступного фазового пространства вследствие сохранения углового момента. Поэтому отклонения истинных распределений Рп от Рп нельзя считать проявлением специфических динамических ограничений. На этом основании против такого подхода была высказана критика [19, 20]. [c.77]

Аналогично фазовому пространству для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, мы можем ввести понятие конфигурационного пространства для систем типа (5.2.6). Каждая точка в конфигурационном пространстве отвечает определенному пространственному распределению компонент и V) ш V (г). Если распределение меняется со временем, соответствующая точка движется по конфигурационному пространству. Устойчивым стационарным распределениям соответствуют устойчивые стационарные точки в конфигурационном пространстве. Каждая такая точка обладает своей областью притяжения — совокупностью начальных распределений, релаксирующих со временем к данной неоднородной структуре. [c.156]

Однако понятие температуры, чуждое механике и столь важное для определения термодинамических свойств системы, вводится при помощи представлений о наиболее вероятном распределении частиц по ячейкам фазового пространства как обратная величина неопределенного множителя в методе Лагранжа при решении задачи на условный экстремум. [c.25]

Все множество состояний системы принято называть фазовым пространством состояний системы. Введя чисто математическое понятие система , можно в фазовом пространстве состояний определить понятие процесс . Пусть Ро — состояние системы в начальный момент, р1— состояние системы через время т, Рг — через время 2т и вообще Рп — состояние системы через время пт. Тогда последовательность векторов (Ро, Рь Ра. , Рп) изображает временную историю системы, наблюдаемую в некоторые дискретные моменты времени. Эта последовательность векторов и называется процессом. Любой изучаемый процесс характеризуется помимо вектора состояния некоторым оператором, т. е. правилом, в соответствии с которым осуществляется переход из одного состояния в другое. В зависимости от вида этого оператора процесс может быть стационарным, когда оператор перехода не меняется со временем, и нестационарным, когда оператор — функция времени, детерминистическим, когда воздействие оператора приводит к определенному вектору состояния, и стохастическим, когда воздействие оператора определяет вектор состояния лишь с некоторой вероятностью, и т. д. Задачей исследования процесса изменения системы изоляции является поиск этого оператора. [c.16]

Фазовый анализ сепаратора частиц по скоростям. Рассмотрим, используя понятия фазового пространства, принцип работы устройства, применяемого в оптике пучков высоких энергий, — установку для сепарации частиц различных скоростей (но различных масс), обладающих одинаковыми импульсами. Простейший сепаратор представляет собой канал, в котором имеются скрещенные под прямым углом электрическое и магнитное поля, так что для некоторой вполне определенной скорости электростатическая сила уравновешивает магнитную. Условимся, что электрическое поле направлено по оси X, а магнитное — по оси у, поскольку суммарная сила определяется как е -1- V X В), частицы будут находиться в равновесии, если их скорость равна [c.141]

Физическое объяснение волновой функции. Квантово-механическая модель атома. Волновая функция F была определена как амплитуда фазовой волны. Понятие о фазовой волне формально и применение его оправдывается только тем, что связанные с ним выводы квантовой механики не противоречат опыту. Казалось бы, таким же формальным и не имеющим физического смысла должно быть и понятие об амплитуде фазовой волны Т. Однако специальный анализ, сделанный М. Борном, показал, что квадрат волновой функции F выражает вероятность местонахождения электрона в определенной точке пространства. Соответственно этому произведение 4f dv означает вероятность нахождения электрона, в элементарном объеме dv. [c.10]

Пусть дана линейная цепочка, расположенная в трехмерном пространстве. Прежде чем говорить о фазовых переходах, следует определить различные агрегатные состояния. Очевидно, содержательное определение состояний спираль и клубок не имеет вполне ясного соответствия в понятиях жидкость и газ . Можно говорить только об аналогии. С другой стороны, на- [c.48]

В дальнейшем нам встретится понятие фазового пространства, которое можно поясинть, пользуясь полученными выше выводами. Состояние частицы ( шарика ) определяется заданием координаты q и импульса р. В общем случае для характеристики состояния требуется указание трех координат и трех слагающих импульса (компонентов р по осям координат) х, у, 2, рх, Ру, Рг,— т. е. всего шести величин. Для описания состояния частицы вводят представление о шестимерном фазовом пространстве, каждая точка которого соответствует определенной энергии Е, трем значениям координат и трем — импульсов. [c.26]

Классики марксизма-ленинизма подчеркивают, что игнорирование некоторых черт действительности, т. е. создание идеальной картины, рационально и необходимо в процессе познания. Наука строится на основе рассмотрения идеальных картин (идеальных газов, идеальных растворов и т. п.) с постепенным усложнением этих картин путем учета реальных свойств объекта. Итак, рационально считать молекулы неотличимыми. Однако при этом исчезает рассмотренная выше комбинаторика и вероятности всех состояний оказываются равными (Ц7 =1). Новая комбинаторика возникает не из-за отличимости молекул, а из-за отличимости различных частей фазового пространства. Уже при рассмотрении третьего принципа термодинамики указывалось, что в отличие от классической механики в квантовой механике имеет месю дискретный набор состояний и энергий. Как мы убедимся далее (часть четвертая), в квантовой механике понятие частицы оказывается сложнее, чем в классической, и, в частности, понятия координаты и импульса утрачивают прежний смысл. Точное задание координаты и импульса частицы оказывается лишенным смысла. Эти характеристики должны задаваться с некоторой неточностью. Это означает, что можно указать лишь ячейку в фазовом пространстве, в которой находится отображающая точка молекулы. В отличие от области, размеры которой неопределенны, ячейки, составляющие данную область, имеют определенный размер. Пусть бж и брж — неточности задания координаты и импульса. Согласно законам квантовой механики бхбр = ==А, где Л — постоянная Планка (Л=6,62-10- эрг-с). Таким образом, для одномерного движения площадь ячейки равна А. Для движения атома в пространстве объем ячейки 6х убг6рх6ру6рг=ь , а для г-атомной молекулы объем ячейки равен Л . Следовательно, размер ячейки в отличие от размера области постоянен. Мы будем выбирать области одинакового размера и будем считать, что каждая содержит ячеек. [c.144]

Понятие фазового пространства можно использовать для определения устойчивости в большом и малом. Систему называют устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Систему называют устойчивой в большом, если все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Задача об устойчивости в малом и большом возникает только при исследовании нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива, либо неустойчива во всем фазовсм пространстве. [c.185]

Следуя Гиббсу, рассмотрим не саму систему частиц, описываемых уравнением (1.1), а выберем в начальный момент времени Мм различных дисперсных систем, в каждой из которых находится ровно N частиц дисперсной фазы. Все эти системы можно представить точками в пространстве А. Пусть Мм настолько велико и системы выбраны таким образом, что можно ввести в пространстве А непрерывную функцию р, равную плотности систем (плотности точек, изображающих системы). Понятие непрер ывности в обобщенном фазовом пространстве не является тривиальным и требует некоторого пояснения. При анализе физических процессов всегда задаются точностью определения параметров. Значения параметров, различающиеся лишь в пределах заданной точности, считаются физически неразличимыми. Таким образом, установив точность определения компонентов вектора а, мы тем самым зададим размеры некоторого объема ЛЛ. Особенность этого объема состоит в том, что все изображающие точки систем, попавшие в него, будут физически неразличимы. Непрерывность функции р в пространстве А означает совпадение значений этой функции на АЛ в пределах заданной точности ее определения. [c.14]

Хотя постулат, сформулированный в предыдущем абзаце, на первый взгляд представляется допущением, которого нельзя доказать непосредственно, все же можно показать, что он находится в согласии с выводами, вытекающими из теоремы Лиувилля. Несложные рассуждения приводят к тому, что понятие равенства априорных вероятностей для различных областей у-пространства совместимо с двумя принципами принципом постоянства плотности и Тпринцином постоянства объема фазовой жидкости. В соответствии с первым из этих принципов, плотность в данной точке остается неизменной при движении этой точки в фазовом пространстве. Таким образом, у фазовых точек отсутствует тенденция к накапливанию в какой-либо определенной области пространства. Принцип постоянства фазового объема означает, что когда определен объем (или протяженность) фазового пространства, содержащий некоторое определенное число фазовых точек, то этот объем не изменяется с течением времени, хотя форма его и может измениться значительно. Сохранение постоян- [c.358]

Необходимым условием того, чтобы ансамбль систем был статистическим и с течением времени приходил в состояние равновесия, является размешиваемость систем ансамбля (термин предложен Н. С. Крыловым, которому принадлежат глубокие исследования в этой области [41]). Размешивающимися, по определению Н. С. Крылова, являются системы, обладающие тем свойством, что любая область фазового пространства сколь угодно малой величины и произвольной формы, занятая изображающими точками ансамбля изолированных систем, стремится с течением времени к равномерному распределению по поверхности заданной энергии. Для размешивающихся систем траектории, идущие из двух близких точек, быстро удаляются, так что с течением времени вся энергетическая поверхность вначале грубо, а затем все мельче оказывается изрезанной фазовыми траекториями. Очевидно, системы, размешивающиеся в указанном смысле, являются одновременно эргодическими, для них равны средние повремени и фазовые средние. Однако понятие размешиваемости является более широким, чем понятие эргодичности. [c.58]

Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произошел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволившим понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаются некоторые приложения. Вводится понятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем. Обсуждаются особенности эволюции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. Излагаются краткие сведения из теории фракталов, дается понятие обобщенной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторые методы исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Фурье). Описаны и обсуждены основные сценарии перехода от порядка к хаосу сценарий Ландау, сценарий Рюэля и Таккенса, субгармонический каскад. В заключение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Проведен подробный анализ поведения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейшая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящая эффект случайных перебросов направления магнитного поля. Показаны и обсуждены также результаты [c.5]

Аналогия между гамильтоновой механикой и геометрической оптикой заключается в формальном тождестве между гамильтоновой характеристической функцией и эйконалом. Из этой связи следует, что волновая скорость и обратно пропорциональна импульсу р. Хотя эта аналогия первоначально использовалась, чтобы продемонстрировать связь между классической и волновой механикой см. [101), она также может быть использована, чтобы связать проекцию луча с импульсом. Это проиллюстрировано на рис. 1.6. Прямая линия обозначает луч, определенный как нормаль к фронту волны, а пунктирные линии обозначают фронт волны. Расстояние между фронтами равной фазы — длина волны X, пропорциональная скорости волны и. Из рисунка видно, что длина волны в направлении, отличном от направления распространения волны, меняется обратно пропорционально косинусу угла между ними, так что равно Я/созЭ. Если, однако, мы можем связать проекцию луча с импульсом, тогда проекция импульса р os 0 меняется в. зависимости от угла обратно пропорционально изменению скорости. Далее будет проведена параллель между механикой и геометрической оптикой и показано, что такую связь действительно можно осуществить. Тогда можно использовать в оптике все понятия преобразования фазового пространства. Применим также некоторые простые свойства оптических линз, соответствующие преобразованиям фазового пространства в динамических системах. Хотя будет использовано только несколько примеров из оптики, ясно, что вся теория, развитая в этой работе, годится для решения задач оптики. Методы динамики частиц в оптике будут очень тесно связаны с содержанием гл. 3, где динамические системы близки к оптическим. В статической электронной оптике, в которую время явно не входит, очень полезны оптические аналогии. [c.21]

Введение. Ранее было показано, что для систем с одной степенью свободы, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона, площадь фазового пространства, пронизываемого траекториями частиц, от времени не зависит. Эта теорема с помощью сходного доказательства может быть распространена на многомерный фазовый объем (см., например, [ 1 ]). Подойдем к этой проблеме несколько иным путем, используя понятия статистической механики. Распространим доказательство на системы, которые включают негамильтоновы силы, т. е. силы, не имеющие потенциальной функции. Хотя большинство последующих рассмотрений будет ограничено гамильтоновыми системами, но из рассмотрения более общего случая можно получить определенные интересные выводы. [c.34]

Излучение акустической энергии из конца трубы связано с наличием отличного от нуля потока акустической энергии, движущегося из трубы во внешнее пространство. Из выражения для потока акустической энергии через какое-либо сечение (11.6) видно, что вопрос о величине п знаке потока А связан с амплитудами др и бу и фазовым сдвигом между ними. Для определения этих величин в акустике вводят понятие импеданца. Его можно формально определить как комплексный множитель, связывающий 8р и б у. Здесь удобнее сразу ввести безразмерный импеданц 2, связывающий рии, [c.251]

Введем понятие степени непрерывности фазы. До совмешения с мономером 2 полимерная сетка 1, очевидно, обладает как непрерывной сетчатой структурой, так и непрерывностью фазы. Равномерно набухший в мономере 2 полимер 1 также представляет однофазную систему с непрерывной сеткой и равномерно распределенным в ней мономером. При полимеризации мономера 2 происходит фазовое разделение. Полимерная сетка 1 все еще непрерывна, однако происходит ее частичное или полное вытеснение из некоторых областей пространства образующейся полимерной сеткой 2. Естественно ожидать, что полимерная сетка 2 также обладает определенной степенью непрерывности. Однако обычно степень непрерывности полимерной сетки 2 меньше, чем сетки 1. При сравнении рис. 8.6 и 8.2 обращает на себя внимание более четко выраженная непрерывность жесткой фазы на рис. 8.6. Обиходным примером большей или меньшей степени непрерывности сетки может служить проволочная сетка на птицефермах. [c.211]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология