Понтрягина функция

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников , который получил название принципа максимума. [c.320]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Задача решается при помощи обобщенного принципа максимума Функция Понтрягина Н и система сопряженных уравнений имеют вид [c.498]

Выбор оптимальной функции Т(т, Об[7 п п, ах] для заданных и осуществлялся по принципу максимума Понтрягина. Следуя авторам [171], дадим формулировку принципа максимума для нашего случая. Ограничимся здесь задачей, когда ищется лишь оптимальное управление вида Т(т, ) Для формулировки необходимых условий оптимальности, каковыми является принцип максимума, в рассмотрение вводится функция [c.94]

Близкая ситуация возникает, например, при решении задач оптимального управления с помощью уравнений принципа максимума Понтрягина для случаев, когда правый конец траектории свободен или закреплен (подробнее об этом см. в главе VI). В таких ситуациях часто может быть полезным следующий подход к решению систем уравнений (1,2), (У,13). Заметим, что если мы в системе уравнений (У,13) зафиксируем все Я,-, то получим систему п уравнений с п неизвестными 1,. . ., у . Решение ее при фиксированных 1. обозначим через V. Ясно, что V являются функциями переменных Я,,- [c.92]

Задачи определения оптимальных управлений системами с закрепленными и свободными концами траекторий относятся к классическим вариационным задачам Лагранжа, Больца и Майера [381. Применение решений этих задач может встретить трудности, если управление описывается кусочно-постоянной функцией. Моменты переключения при таком управлении удобно находить на основе принципа максимума, сформулированного Л. С. Понтрягиным в 1956 г. 1421. [c.228]

Применение динамического программирования и принципа максимума к решению задачи А при выполнении всех четырех условий общности приводит к необходимости одновременно решать задачу оптимизации функции Гамильтона — Понтрягина Н и решать некоторую неклассическую краевую задачу. [c.145]

По принципу максимума Понтрягина для закрепленного времени и свободного правого конца необходимое условие оптимальности управления состоит в существовании такой ненулевой непрерывной вектор-функции т, соответствующей функции И и. X (решение системы (21) ), что для всех V [c.391]

Ниже будет рассмотрена задача, поставленная выше. Другие физические задачи приводят к таким же математическим формулировкам например, реактор, температура в котором должна изменяться как функция времени. Иногда при постановке задачи мы будем накладывать ограничения на и, тогда решение задачи будет связано с теми методами вариационного исчисления, которые были недавно получены Понтрягиным [23] и др. В 8 будет показано, как ряд связанных между собой задач, которые мы рассматриваем, может быть приведен к определенной математической форме. [c.295]

Следует отметить, что уравнения (51) и (53) проинтегрированы в естественном направлении, т. е. в направлении, где каждое уравнение должно быть сходящимся. Это устраняет проблему сходимости, с которой сталкиваются при прямом применении вариационного метода (метода Понтрягина). Однако существует проблема выбора е. Если 8 слишком мало, продвижение будет медленным. Если же е слишком велико, новая функция и 1) + дН ди может быть хуже, чем предыдущая и 1). Эта проблема возникает, когда дН/ди достаточно велико на небольшом интервале а всюду в остальной области мало. [c.319]

Результаты Понтрягина, с другой стороны, позволяют найти единственную траекторию. Это достигается введением в расчет функции Я, которая определяет потери при неправильном выборе и. К сожалению, Я содержит ф и X, которые имеют граничные условия, заданные на противоположных концах интервала (О, Т). Следовательно, необходим процесс последовательного приближения, чтобы найти решение этих уравнений. [c.323]

При решении вариационных задач часто возникают трудности, связанные с тем, что на переменные наложены ограничения в виде неравенств, или с тем, что отыскиваемые функции X ( ) не являются непрерывными. Для решения таких задач может применяться метод, разработанный Л. С. Понтрягиным и известный под названием принципа максимума. [c.28]

Существует, однако, класс случаев, когда условие (У,18) не определяет однозначно управление ш ( ) на целом подынтервале интервала [О, t] или даже на всем интервале [0,1]. Обычно при этом оказывается, что функция Понтрягина Н не зависит явным образом от управления IV. Такие управления называются особыми Покажем, [c.127]

Функция Понтрягина Н для второй задачи имеет вид [c.128]

Функция Н отличается от функции Понтрягина для данной задачи тем, что в ней опущен множитель гге . Это можно сделать, учитывая условие [c.141]

Функция Понтрягина для задачи (IX,39)—(IX,40) равна [c.269]

Естественным подходом к решению подобных задач являются расширение множества допустимых решений за счет снятия ограничений на класс искомых функций. В большинстве случаев такое расширение требует существенного пересмотра самой процедуры получения решения, как это сделано, например, при переходе от условий типа уравнения Эйлера к условиям типа принципа максимума Понтрягина. К сожалению, в настоящее время дальнейшее расширение множества допустимых решений за счет снятия функциональных ограничений проведено лишь для сравнительно узкого класса задач. [c.179]

Приведенные выше условия оптимальности для дискретных задач (IV-1), (IV-2) представляли собой необходимые условия максимума функции многих переменных. Между тем аналогия между дискретной и непрерывной задачами побуждает выяснить, когда для дискретной задачи справедливы условия типа принципа максимума Понтрягина, т. е. когда условия (IV-7a) можно при каждом i заменить требованием Sup Н по м Такая замена, очевидно, возможна, если множество F выпукло и функция Я при каждом значении своих аргументов выпукла по и. Однако этот случай не является единственным. Условия, при которых для дискретных систем справедлив принцип максимума, не сводящиеся к упомянутому выше случаю, получены в работе [45]. Прежде чем привести их, рассмотрим задачу, занимающую промежуточное положение между непрерывной и дискретной задачами оптимального управления. [c.223]

Поскольку сопряженный процесс имеет такую же структуру, как и обычный технологический процесс, для автоматизации его программирования могут быть использованы те же принципы, которые лежат в основе программирующих программ типа программы, описанной в этой книге. Правда, здесь возникает важная задача построения моделирующей программы получения матрицы частных производных от произвольной системы аналитических функций. Такая программа может быть простроена опять-таки на основе метода сопряженного процесса [44 ]. Она имеет и самостоятельное значение, так как может применяться при использовании уравнений принципа максимума Понтрягина для решения систем нелинейных уравнений методом Ньютона. Эффективность метода Ньютона при этом существенно повышается, поскольку проблема получения производных оказывается решенной и отпадает недостаток метода Ньютона, на который обычно указывают. [c.379]

Г де OR, 6U — соответственно вариации критерия и управления Н(х, X, 1 ), U) — функция Гамильтона — Понтрягина. [c.102]

Вырожденная задача может возникнуть и при /, линейно зависящей от х Действительно, в этом случае уравнение (VI-42) второго порядка вырождается в уравнение первого порядка, так как дНКдх ) = О- Поэтому решение уравнения (VI-42) не может обеспечить выполнения одного из двух заданных краевых условий X (тц) или X (т ). В этих случаях можно найти решение в классе разрывных функций, используя принцип максимума Понтрягина. [c.213]

Функция Н впервые введена в классическом вариационном исчислении (см., например, [11]) и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Условие максимума гамильтониана может быть получено и классическими вариационными методами, однако, в отличие от них, метод Веллмана позволяет сделать важный вывод оптимальному решению соответствует наивысшее значение гамиль го-ниана, достижимое в заданной ограниченной области допустимых температур, причем это значение не обязательно должно соответствовать аналитическому максимуму. Другой метод, позволяюпщй дать более строгий вывод условий оптимальности в ограниченной области, предложен Понтрягиным [121. Принцип максимума Понтрягина [c.371]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

Температура в каждом сечении реактора должна быть выбрана так, чтобы обеспечить максимальное значение функции Гами.1ьтома-Понтрягина при заданных величинах С4, Сд. 1, шг. Температуру, при которой функция Я достигает своего максимального значения,. можно определить из соотношения [c.61]

В этом случае (так как функция Понтрягина Н линейна относительно Т ) появляется большое искушение прийти к выводу, что оптимальный температурный режим хладоагента (1) является релейным (кусочно-постоянным), принимаюш,им только граничные значения [c.129]

В уравнении (1У.45) точками обозначены члены, не зависящие от управления V. Согласно принципу максимума Понтрягина, управление оптимально, если в каждый момент времени функция Гамильтона Я по (1У.45) имеет максимальное значение. Это условие будет выполнено, если скалярное произведоние (У, Ч ) максимально. Отсюда следует, что когда вектор Ч =(г )ь грг) находится в углу Ок (рис. 22), управление V должно принимать значение = (у >, 4 )), т. е. находиться в вершинах А . Исходя из этого осуществляем управление. [c.166]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология