Метод вариационный применение

Предлагаемая читателю монография представляет восьмую книгу в единой серии работ авторов под общим названием Системный анализ процессов химической технологии , выпускаемых издательством Наука с 1976 г. Семь предыдущих монографий 1. Основы стратегии, 1976 г. 2. Топологический принцип формализации, 1979 г. 3. Статистические методы идентификации объектов химической технологии, 1982 г. 4. Процессы массовой кристаллизации из растворов и газовой фазы, 1983 г. 5. Процессы измельчения и смешения сыпучих материалов, 1985 г. 6. Применение метода нечетких множеств, 1986 г. 7. Энтропийный и вариационный методы неравновесной термодинамики в задачах анализа химических и биохимических систем, 1987 г.) посвящены отдельным вопросам теории системного анализа химико-технологических процессов и его практического применения для решения конкретных задач моделирования, расчета, проектирования и оптимизации технологических процессов, протекающих в гетерогенных средах в условиях сложной неоднородной гидродинамической обстановки. [c.3]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Таким образом, из функционального уравнения динамического программирования мы получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (19). Решение этого уравнения с учетом соотношений (20) — (27) привело к соотношению (28), которое оказалось тождественным уравнению Эйлера — Лагранжа, выведенному с помощью методов вариационного исчисления. При другом варианте применения метода динамического программирования f х, у) можно было бы получить непосредственно из уравнения (19). Для этого нужно найти производные в каждой точке (х, у). [c.146]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

В настоящее время для численного поиска оптимального управления объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями, наибольшее применение находят прямые методы вариационного исчисления [I] и принцип максимума Понтрягина [2]. [c.115]

Окончательное уточнение оптимального состава и условий процесса целесообразно осуществлять, применяя ортогональные планы первого или второго порядка дробные реплики, ортогональные, ротатабельные планы. Эти планы позволяют сочетать изучение разнородных факторов, но слишком трудоемки для применения на первых этапах исследования. Исследования по этим планам нужно сочетать с кинетическими для изучения закономерностей деактивации и регенерации с целью расчетного определения оптимальных траекторий этих нестационарных процессов прямыми вариационными методами. [c.293]

В девятой главе рассмотрены методы оптимизации, предлагаемые для расчета ступенчатых и непрерывных систем. Здесь под ступенчатыми понимаются многостадийные процессы, происходящие, например, в последовательности реакторов и т. п. Для рещения задачи оптимизации таких систем предлагаются методы вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования. После описания этих методов рассматривается возможность их применения для различных задач. Изложены принципы решения нестационарных задач. В заключение проводится сравнение методов оптимизации, описанных в четвертой и девятой главах, и даются некоторые рекомендации по их использованию. [c.8]

Таким образом, эти два класса процессов — нестационарные и с распределенными параметрами — и составляют область применения методов вариационного исчисления в химической технологии. [c.195]

Будем считать сначала, что необходимо оптимизировать интеграл (216). Эта задача является типичной задачей вариационного исчисления. Однако прямое применение классических методов вариационного исчисления невозможно в связи с тем, что на область изменения переменных налагаются ограничения (4). Эти затруднения можно обойти следующим образом [20, 21]. [c.36]

В гл. 4 проведено сравнение математических методов вариационного исчисления и динамического программирования. Указаны возможности и границы применимости этих методов. Выводятся различные варианты уравнения Беллмана. Следует отметить, что изложение материала не всегда достаточно строго и корректно. При подготовке книги к русскому изданию неточности, допущенные автором, по возможности устранялись. Для химика-технолога представит интерес применение метода динамического программирования к последовательно-обратимой реакции с целью выбора оптимального времени перехода от начального состояния к заданному. [c.8]

Следует, однако, подчеркнуть, что применение метода вариационной статистики не должно заслонять биологической сущности процесса. [c.277]

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РИТЦА (ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ ПРОБНЫХ ФУНКЦИЙ) [c.35]

Аналитические методы. Вариационный метод для расчета оптимального режима был применен Г. К. Боресковым [1]. Для контактного аппарата с внутренним теплообменом варьируемые параметры — и Хг к. Для них можно написать вариацию обш,его количества катализатора (или общего времени контакта) [c.79]

При решении задач механики уже давно пользуются вариационными методами. В последнее время значительное внимание уделяется разработке этих методов в теории теплопроводности. На протяжении десяти лет — с 1950 по 1960 г. — было опубликовано много работ, посвященных исследованию вариационных методов (см. библиографию [35]). Однако рассматриваемый нами метод Био имеет ту отличительную особенность, что он, по существу, воссоздает термодинамическую аналогию известного в механике принципа Гамильтона и, следовательно, приводит к термодинамическому аналогу формулировки закона Ньютона в обобщенных координатах Лагранжа. В ряде работ Био обосновал вариационный принцип и уравнения Лагранжа применительно к теории теплопроводности и показал метод его применения [36—41]. Мы в первую очередь будем рассматривать не обоснование метода, а его применение. [c.63]

С целью уточнения результатов исследований был применен метод вариационно-статистической обработки величин латентного периода реакций на первый звонок и свет. Среднее квадратическое отклонение вычислено по размаху (амплитуде). Данные опытов за 6 месяцев разбиты на три периода (по 2 месяца в каждом периоде). Из табл. 4 видно, что латентный период на сильный раздражитель был несколько удлинен у крыс, получавших роданистый калий в дозе 0,0005 мг/кг в первом периоде затравки. Однако, как показала статистическая обработка, эти результаты статистически недостоверны. На протяжении второго и третьего периодов величины латентного периода на сильный раздражитель у контрольной группы животных и крыс первой группы имели незначительные колебания, которые статистически недостоверны (табл. 4). Величина латентного периода на слабый раздражитель (свет) также была непостоянна на протяжении всех трех периодов затравки как у животных контрольной группы, так и у крыс, получавших роданистый калий в дозе 0,0005 мг/кг. [c.181]

В приближенных методах решения краевых задач (например, в сеточных и вариационных методах) геометрическая информация учитывается соответственно либо в виде числовых массивов, либо с помощью построения координатных последовательностей базисных функций, удовлетворяющих краевым условиям. Однако, как упоминалось выше, серьезным препятствием на пути широкого применения классических вариационных методов являются трудности в выборе координатных последовательностей, когда сложность области сочетается со сложностью граничных условий. Наряду с методом конечных элементов эффективный способ преодоления указанных трудностей состоит в использовании так называемых Я-функций [37—42]. [c.12]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

В работе [53] продемонстрирована возможность такого подхода для расчета каталитического крекинга в восходящем потоке. Оптимизация по такой структуре математического описания требует применения прямых вариационных методов и проиллюстрирована в главе VI. [c.373]

Применение вариационного метода приводит к уравнению [c.101]

Функция N1 (х, у) определяется формой элемента, расположением узлов, числом членов в полиноме. Разумеется, задача опять состоит в вычислении значений и,-. Это достигается применением какого-либо из известных численных методов, например вариационного метода, метода аппроксимирующих функций, метода Галер-кина, метода Монте-Карло и др. Используя граничные условия, получают ряд линейных (или нелинейных) алгебраических уравнений, в которые входят узловые значения переменных К как неизвестные величины. [c.597]

Уравнение (П. 1.16) дает хорошее согласие с экспериментальными данными в интервале 1,0 < ps < Ркр погрешность расчета не превышает 1 %. Расчет предельной величины адсорбции а требует использования информации о семействе изотерм, полученных при различных температурах. При этом по соотношению pips необходимо выбрать условия полной отработки микропор и исключить влияние побочных явлений на вычисляемое значение предельной величины адсорбции. Расчет зависимости предельной величины адсорбции До от температуры может быть проведен несколькими способами, однако наиболее пригодным и обоснованным является метод, предложенный в [81]. Расчет дифференциальной мольной работы адсорбции А и предельной величины адсорбции Оо позволяет на основании экспериментальных данных Оэксп и теоретического уравнения (П. 1.13), используя МНК, определить параметры т и Е уравнения изотермы адсорбции. Получение оптимальных значений параметров /и и методом наименьших квадратов требует применения методов численной минимизации целевой функции. В данном случае в качестве целевой функции используется сумма квадратов невязок. Для более обоснованного выбора метода численной минимизации и его реализации на ЭВМ необходимо исследовать свойства целевой функции, используя результаты решения изопериметрической вариационной задачи. Прежде необходимо выяснить, является ли уравнение (П. 1.11) решением задачи (П.1.2)—(П.1.4). Согласно уравнению (П.1.7), получим [c.226]

Я будем иногда писать В, Н и В, Я, соответственно. Для построения квазиньютоновских методов 1-го рода используем вариационный подход, а для построения квазиньютоновских методов 2-го рода — технику псевдообратных матриц. При применении вариационного подхода необходим критерий, минимизация которого дает возможность определить матрицы Е, О. Прежде всего, конечно, применим принцип наименьшего изменения аппроксимирующих матриц на каждой итерации, при котором в качестве критерия используется норма Фробениуса матриц Е или В. Основное отличие вывода квазиньютоновских методов минимизации 1-го рода от выхода квазиньютоновских методов 1-го рода, предназначенных для р е -шения систем нелинейных уравнений, будет состоять в требовании симметричности матриц В , Я , т. е. в выполнении условий (III, 47). [c.88]

Применение вариационного метода дает два решения системы уравнений (1.44) в одном варианте С1 - о, в другом С1--С1. Таким образом, возможны два варианта волновой функции (1.48) 05 и Фа (ивдексы 5 н А обозначают симметричную и антисимметричную (1>ункции) [c.83]

Значительных успехов в этой области нужно ожидать в связи с развитием счетной техники. Первыми объектами расчета с применением электронно-счетных машин явились молекулы кислорода и азота. Вычисленная А. Меклером [22] теплота диссоциации О2 оказалась на 2% меньше истинного значения (116 вместо 118 ккал). При помощи двух расчетных методов (вариационного и так называемого электростатического) для теплоты диссоциации азота Г. Брюхнер [23] получил значения 227,07 и 227,95 ккал, отличающиеся от истинного значения 225,09 ккал приблизительно на 1%. [c.21]

При применении вариационного метода приближенная волновая функция ф обычно берется как сумма произведений независимых друг от друга функций ф 1, ф 2, 3,... и коэффициентов с Сг, т.е. [c.146]

Применение вариационного метода показывает, что в данном слу-чае возможны два решения системы уравнений (III.40) в одном случае С] = j, в другом С2 = — i- Таким образом, возможны два варианта волновой функции (III.51) [c.152]

Поставленная задача является типичной вариационной задачей. Однако решение ее классическими методами вариационного исчисле-ния затруднено наличием ограничений (1У,139) и (1У,140). Эту задачу можно решить при помощи принципа максимума , о чем подробно сказано в главе VII. Здесь же описано применение методов нелинейного программирования для решения указанной задачи. [c.131]

Однопараметрические методы близки по идее к прямым методам вариационного исчисления Ритца и Галеркина. Так же как и в этих методах, в теории пограничного слоя используются для профилей скорости в сечениях слоя конкурирующие функции, с той или другой степенью приближения выражающие некоторые свойства неизвестных решений задачи. Использование при этом уравнения импульсов вместо некоторого вариационного принципа не существенно аналогичный метод может быть основан и на применении вариационного принципа ). [c.88]

К числу эффективных методов анализа напряженно-деформированных состояний в элементах реакторов относятся численные методы — метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод граничных интегральных уравнений ( ГИУ), получивхше значительное развитие в последнее десятилетие благодаря их повышенной универсальности и появлению ЭВМ с большими быстродействием и памятью. Конечноразностный метод получил применение при определении термоупругих напряжений в зонах патрубков реакторов водо-водяного типа [10,12]. [c.35]

В литературе имеются серьезные работы, посвященные разбору проблемы в целом и ее отдельных частей. Из них особенно заслуживают внимания последние статьи Берга, Келлета с сотр.з- Керна=, ТаборекаЭ- о. Некоторые нз новейших методов оптимизации, основанные на вариационном исчислении , открывают большие возможности, если они могут быть использованы для расчета общего случая. Эти методы находят широкое применение для расчета реакторов и типовых процессов . [c.173]

Однако восприимчивость молекул может быть рассчитана в квантовой механике не только методом теории возмущений, но и так называемым вариационным методом, впервые примененным для этой цели в 1935 г. Гансом и Мровкой [4], затем независимо Тийё в 1957 г. [5]. [c.14]

Применение вариационного метода дает два решения системы уравнений (1.44), в одном случае i = Сг, в другом i 2 = — i. Таким образом, возможны два варианта волновой функции (1.48) ijis и (индексы 5 и А обозиа чают симметричная и антисимметричная) [c.77]

Для выяснения степени точности применения метода электропроводности при этих условиях мы взяли послойно по десять проб почвы до глубины 2 м с однородной делянки размером 20X Х20 м на светло-каштановой почве Аршань-Зельменского стационара. Затем в каждой индивидуальной послойной пробе определили содержание солей по данным электропроводности и параллельно в каждой средней пробе из послойных образцов определялось содержание солей химическим методом (в м-экв. на 100 г почвы). Полученные по индивидуальным пробам данные обработали методом вариационной статистики и сопоставили с результатами химических анализов (для средних проб). Эти результаты приведены в табл. 5. [c.149]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нётер и ее обобщение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порадка для потенциала скоростей. [c.17]

Два средних члена этого равенства представляют собой ковалентную связь и совпадают с выражением МО по теории ВС. Первый и последний члены отвечают ионной связи. Уравнение показывает, что теория МО в противоположность методу ВС автоматически учитывает вклад ионной связи в общую химическую связь молекулы водорода, но приписывает ей одинаковый вес с ковалентной связью. Это не согласуется с экспериментальными данными, свидетельствующими, что 1 5ион 0,21 5ков. Как и в методе ВС, дальнейшие уточнения получаются при введении поправочных коэффициентов, которые могут быть найдены вариационным методом. При использовании уточняющих приближений методы МО и ВС дают одинаково точные и согласующиеся с экспериментом результаты. Однако метод МО в применении к сложным молекулам оказался математически более удобным и универсальным. [c.36]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология