Уравнение принципа максимума

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА [c.142]

В точности совпадаюш,ей с уравнениями принципа максимума (VII, 548) и (VI 1,549). [c.410]

Пусть начальные условия имеют вид (11,92). Эта задача решалась в работе [И, с. 171—173] с использованием уравнений принципа максимума методом квазилинеаризации. В соответствии со сказанным выше, приближенное решение задачи определения ОТК сведется к оптимизации системы реакторов, описываемых уравнениями (11,90)—(11,91), т. е. к уже рассмотренной задаче. В качестве начального приближения для Т в данном случае был выбран дискретный аналог функции, взятой пз монографии [И, с. 173] [c.54]

VI. Численные методы решения уравнений принципа максимума для одного блока. [c.2]

Близкая ситуация возникает, например, при решении задач оптимального управления с помощью уравнений принципа максимума Понтрягина для случаев, когда правый конец траектории свободен или закреплен (подробнее об этом см. в главе VI). В таких ситуациях часто может быть полезным следующий подход к решению систем уравнений (1,2), (У,13). Заметим, что если мы в системе уравнений (У,13) зафиксируем все Я,-, то получим систему п уравнений с п неизвестными 1,. . ., у . Решение ее при фиксированных 1. обозначим через V. Ясно, что V являются функциями переменных Я,,- [c.92]

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ ОДНОГО БЛОКА [c.107]

Операция (VI,8) требует, чтобы в каждой точке траектории на /с-ой итерации искался глобальный максимум функции Н (а , и). Фактически ищется глобальный максимум функции г переменных в каждой точке iy(/ = 1,. . S). Таким образом, задача поиска глобального максимума функции rN переменных, сводится к решению N задач поиска глобального максимума функций г переменных. Последняя задача, конечно, более простая. Правда, во-первых, эту задачу приходится решать на каждой итерации. Во-вторых, уравнения принцип максимума дают только необходимые условия, поэтому нет, вообще говоря, гарантии, что процедура, основанная па использовании указанных уравнений, даст глобальный максимум. Однако во всяком случае можно ожидать, что процедура (VI,8) позволит исключить некоторые локальные максимумы. [c.116]

Коснемся здесь пяти известных методов решения системы уравнений (IX,4) — (IX,10). Отметим прежде всего, что существует известная аналогия между системой (IX,4)—(IX,10) и уравнениями принципа максимума для одного блока (см. главу VI). Действительно, системе уравнений (IX,4) и (IX,5) можно поставить в соответствие систему дифференциальных уравнений ( 1,1) системе уравнений (IX,7) и (IX,8) отвечает сопряженная система уравнений [c.200]

Таким образом, систему (1Х,4) — (IX,10) можно представить следующим образом имеется разветвленная система разностных уравнений (IX,4), (IX,5), (IX,7), (IX,8), (IX,10) с краевыми условиями (IX,6) в начале (во входных блоках схемы) и условиями (IX,9), в конце (для выходных блоков). Следовательно, решение системы (IX,4) — (IX,10) можно трактовать как решение своеобразной краевой задачи. Отсюда возникает естественное желание обобщить разработанные методы решения данной задачи для уравнений принципа максимума Понтрягина на решение указанной системы уравнений. [c.201]

Наиболее распространенными методами решения краевой задачи для уравнений принципа максимума являются метод итераций в пространстве управлений (см. стр. 109), метод сведения задачи к решению системы нелинейных конечных уравнений (см. стр. 108) и метод квазилинеаризации. Применение последнего метода для решения уравнений (IX,4) — (IX,10) было рассмотрено в работе [3, с. 160)], поэтому здесь мы остановимся подробнее на обобщении только первых двух методов. [c.201]

Такая программа имеет и самостоятельное значение, нанример при использовании уравнений принципа максимума Понтрягина, при решении систем нелинейных конечных уравнений методом Ньютона и т. д. [c.288]

Большая часть методов решения оптимальных задач основана на предположении, что математическая модель оптимизируемого объекта известна. Более того, многие методы оптимизации используют конкретные свойства объекта и его математического описа-, ния. Например, для многостадийных процессов эффективным методом оптимизации является динамическое программирование для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, — принцип максимума. [c.27]

В ряде работ [1—4] принцип максимума формулируется как необходимый признак оптимальности для процессов, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Показано, что если процесс характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является достаточным условием оптимальности. [c.310]

VI. Численные методы решения уравнений принципа максимума [c.2]

Вопросы чувствительности имеют очень большое значение при расчете оптимальных систем, поскольку решения системы уравнений принципа максимума неустойчивы 15, 133. [c.308]

Первая особенность состоит в том, что при решении уравнений принципа максимума требуется проведение операции определения максимума гамильтониана в блоках с распределенными параметрами. Распространение методов Ньютона и квазилинеаризации на этот случай содержится в работах [26, 27 ] (см. также [4 ]). [c.375]

Третьей особенностью является возможность появления так называемых особых управлений при решении уравнений принципа максимума. В работе [30 ] было показано, что особые управления могут возникнуть даже в простых задачах оптимизации химических процессов. Обзор работ по исследованию особых управлений приведен в работе [31 ]. В работе [29 ] (см. также [4 ]) показано, что для расчета систем с особыми управлениями можно применять метод регуляризации, развитый академиком А. Н. Тихоновым для решения так называемых некорректных задач. [c.375]

С помощью уравнений принципа максимума решен ряд задач оптимизации схем, состоящих из небольшого числа аппаратов [c.375]

Поскольку сопряженный процесс имеет такую же структуру, как и обычный технологический процесс, для автоматизации его программирования могут быть использованы те же принципы, которые лежат в основе программирующих программ типа программы, описанной в этой книге. Правда, здесь возникает важная задача построения моделирующей программы получения матрицы частных производных от произвольной системы аналитических функций. Такая программа может быть простроена опять-таки на основе метода сопряженного процесса [44 ]. Она имеет и самостоятельное значение, так как может применяться при использовании уравнений принципа максимума Понтрягина для решения систем нелинейных уравнений методом Ньютона. Эффективность метода Ньютона при этом существенно повышается, поскольку проблема получения производных оказывается решенной и отпадает недостаток метода Ньютона, на который обычно указывают. [c.379]

Разберем теперь непрямые методы. Каждый такой метод включает применение уравнений, выражающих необходимые условия опти-мальност и, и численный способ их решения. Было показано, что задача оптимизации схемы произвольной структуры сводится к решению краевой задачи для некоторой сложной системы уравнений [3, с. 224—227]. В главе VI обсуждены некоторые употребительные методы решения краевых задач для уравнений принципа максимума, записанных для одного блока с распределенными параметрами. В главе IX рассмотрены методы решения системы уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности уже для с. х.-т. с. произвольной структуры. Наконец, в главе X описаны методы оптимизации с. х.-т. с., включающих реакторы, работающие в квазистатическом реншме [8, с. 44—45]. [c.14]

Как уже отмечалось, непрямые методы оптимизации строятся на основе необходимых условий оптимальности. В общем случае такие условия для схем произвольной структуры выражаются в форме уравнений принципа максимума [3, с. 219]. Однако для простоты изложения и для того, чтобы сосредоточиться в основном на особенностях применения непрямых методов, определяемых сложностью структуры схем, будем предполагать, что от ограничений (VIII,3) мы избавились, преобразовав соответствующим образом критерий оптимизации с помощью штрафных добавок. [c.199]

Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в ряде монографий (см. например 12, 13, 99 Однако уравнения принципа максимума имеют определенную специфику, связанную с определением управлений при помощи соотношения ( .18). Это требует существенной модификации известных методов. Здесь изложены модификации наиболее часто употребляемых методов — метода Ньютопа и метода квазилинеаризации 2, а также метод Вольфа [c.142]

Трудоемкость вычислений на каждой итерации. Как указывалось ранее решения системы уравнений принципа максимума неустойчивы и в связи с этим уравнения принципа максимума в ряде случаев (но не всегда) обладают большой чувствительностью. Это необходимо принимать во внимание, сравнивая трудоемкость вычислений при применении обоих методов. Итак, метод Ньютона требует на каждой итерации одного решения системы (VI,2)—(VI,3) с начальными условиями (VI,5) и (VI,12) и п решений системы (VI,36) с начальными условиями (VI,41). В случае, если система (VI,2)—(VI,3) обладает большой чл вствительностью, то решение задачи Коши для систем (VI,2). (VI,.3) и ( 1,36), (VI,37) может оказаться либо очень затруднительным (что в свою очередь может потребовать сложных и трудоемких методов численного интегрирования), либо же вообще невозможным. [c.167]

Решение уравнений принципа максимума — сильного (VIII,55) для блоков с р. п. и слабого (VIII,15) [в аналитической форме (VIII,82)] для блока с с. п.— неотъемлемая часть каждого из описанных выше численных методов. При этом с точки зрения практики численного решения оптимальных задач сильный и слабый принципы максимума оказываются далеко не эквивалентными друг другу. [c.249]