Нелинейные уравнения в конечных разностях

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Ранее было установлено, что теплофизические свойства полимеров (к, р, Ср) существенно зависят от температуры. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) нелинейно. Известно только несколько аналитических решений нелинейного уравнения теплопроводности, поэтому приходится применять численные методы решения (метод конечных разностей и метод конечных элементов). Тем не менее существует некоторое количество приближенных аналитических методов, включая интегральный метод Гудмана [5]. [c.261]

Так как точное аналитическое решение большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближенные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопередачи — это, по существу, выбор начальных значений температуры. Иначе говоря, если известна температура 0 в некотором узле / для момента времени т, то определяется температура 0,- того же узла I, ио для времени т -Ь Ат, где Ат— произвольно принятое при- [c.270]

Переходя от компонент скорости к функции тока, авторы вместо (2.38) получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка, которое решали методом конечных разностей. В качестве параметра бралось число Рейнольдса ячейки Ке (у) [c.116]

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ [c.292]

Рассмотрим нелинейное уравнение первого порядка в конечных разностях [c.292]

Выражение (84) есть нелинейное уравнение первого порядка в конечных разностях, которое надлежит решить графически для общего числа реакторов при 60%-ной конверсии уксусной кислоты. [c.294]

В настоящее время лишь незначительное число нелинейных уравнений в конечных разностях могут быть решены аналитически и они решаются только потому, что могут быть приведены к линейным уравнениям. [c.295]

Численные методы. Численные методы становятся все более распространенными незаменимы в случае сложной геометрии исследуемого объекта или нелинейности теплообмена на его границах. Пакеты компьютерных программ, реализующих различные модификации численных методов решения дифференциальных уравнений (метод конечных разностей, объемов, элементов и т.п.), все более популярны на мировом рынке. [c.59]

Схема циклов нагружения (рис. 4.6) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач — методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и значения местных упругих или упругопластических напряжений или деформаций. По этим распределениям могут быть определены номинальные напряжения или деформации, которые в дальнейшем используют при оценках прочности и ресурса. Вместе с тем следует признать, что для многих режимов и вариантов геометрических форм элементов конструкций такие расчеты чрезвычайно трудоемки, а их точность определяется заданием исходных краевых условий — по усилиям, температурам, физико-механическим свойствам материалов. [c.136]

Современному аналитику часто приходится участвовать в проведении такой важной операции, так математическое моделирование, т. е. представление системы и всех ее подсистем (компонент) в математической форме. Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выще способов, необходимо рещить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического (в математическом смысле) рещения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Типичные примеры таких методов описаны в литературе [56— 59]. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии — конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [c.380]

Если дифференциальные уравнения линейны, исследование сходимости системы уравнений в конечных разностях, которыми они могут быть заменены, не представляет труда. Обычно невозможно проводить исследования, если дифференциальные уравнения (167) являются нелинейными. В этом случае лучше всего использовать методы интегрирования, при которых система уравнений в конечных разностях для линейных дифференциальных уравнений хорошо сходится. При этом мы можем надеяться, что методы приведут к сходимости и в случае нелинейных дифференциальных уравнений. [c.230]

В этом случае не затрагиваются вопросы сходимости уравнений в конечных разностях. В каждом интервале нелинейные уравнения (274) заменяются линейной аппроксимацией (275). В начале каждого интервала уравнение (275) согласуется с (274). Решение уравнений (275) может продолжаться сколь угодно долго, при этом не возникает никаких вопросов по сходимости. Ограничение касается только длины интервала времени его минимальное значение определяется из условий хорошей аппроксимации уравнений (274) уравнениями (275) на всем интервале времени. [c.262]

В проблемной теплофизической лаборатории Казахского государственного университета им. С. М. Кирова разработан статический электроинтегратор для решения нелинейных уравнений теплопроводности [15]. Статические электроинтеграторы основаны на принципе математического моделирования с помощью электрической схемы исходных уравнений, аппроксимированных конечными разностями. Вследствие того что решение ведется в дискретных пространственно-временных координатах, можно легко учесть различного рода нелинейности, наличие переменных источников, сложные условия на границах области и пр. [c.67]

Алгоритм численного решения нелинейного уравнения (4.13) включает запись этого уравнения в конечных разностях [c.99]

Известно, что уравнение кинетики реакции (1), как правило, нелинейно. Поэтому приведенные системы не могут быть решены аналитически, а могут быть решены только численно. При этом характер граничных условий (значения неизвестных функций задаются в различных граничных точках требуется равенство неизвестных функций) сильно затрудняет применение обычного числового метода — метода конечных разностей в различных его модификациях (метод Эйлера, Рунге — Кутта, Адамса и т. д.). [c.166]

Полученная система (8) с нелинейными граничными условиями (9) содержит уравнения в обыкновенных и частных производных и может быть решена только Численно. Решение системы (8) было выполнено конечно-разностным методом по неявной схеме Обозначим г = Иг т = Ы г = О, 1, 2,...., п = О, 1, 2,..., N. Здесь п и N — число, шагов соответственно по толщине пленки и по ее длине. В конечных разностях система (8) с граничными условиями (9) прини.мает вид [c.79]

Система нелинейных уравнений (3.26), (3.27) может быть решена лишь численными методами, для чего производные искомых функций и коэффициентов переноса заменяются на приближенные значения в виде отношений соответствующих конечных разностей. Аналогичная замена производится и в граничных условиях, после чего возможны вычисления на основе той или иной из существующих в вычислительной математике схем итерационного расчета [1 [. [c.90]

В виду сильной нелинейности поставленной задачи, решение системы (2.7), (2.8) возможно лишь численно с использованием метода конечных разностей [198]. С целью тестирования разностных схем для уравнений (2.7), (2.8) может быть использовано аналитическое решение задачи, полученное ниже. [c.57]

Нелинейные уравнения (6.73) легко преобразуются [34] к виду, удобному для численных расчетов методом конечных разностей. Нами осуществлена компьютерная реализация соответствующего алгоритма для одномерного случая. [c.336]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

Конечной целью в процессе интегрирования задачи на нервом этане является выход реакционноспособных компонентов на квазистационарный режим. При этом после каждого шага интегрирования производится сравнение 1) и ( ). Если разность между решением уравнения, обладающего рассмотренной выше особенностью, и его квазистационарным значением в какой-либо момент времени оказывается в пределах точности, то производится переход ко второму этапу интегрирования. При этом порядок системы понижается, а указанное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим (путем приравнивания правой части его нулю). В общем случае, когда имеется несколько реакционноснособных элементов, в результате замены получается система нелинейных алгебраических уравнений. Как будет показано ниже, при условиях (4) и (5) подобная замена практически не вносит расхождений и не дает накопления ошибки, однако резко увеличивает эффективность счета, позволяя полностью снять указанные выше трудности. [c.22]

Для получения схемы моделирования концентрации Сд (рис. 1У-31) из уравнения (IV, 7) необходимо слагаемые в правой части этого уравнения подать в виде импульса на вход интегрирующего усилителя. При этом входные величины скоростей реакций, в которых принимает участие данное вещество, умножаются на соответствующие стехиометрические коэффициенты ал, разность концентраций Сдр — с а, полученная на суммирующем усилителе, умножается на отношение на блоке перемножения. Для моделирования этого отношения использованы блок перемножения и нелинейный блок обратной функции 1/У. Обычно моделируются концентрации исходных веществ, так как они нужны для расчета скоростей реакций, а при определении оптимальных режимов — также целевые и побочные конечные продукты. [c.242]

Аналитически решить эту систему уравнений невозможно даже если предположить, что прямо пропорционально нелинейная зависимость Н а от температуры, вероятно, вызовет ряд математических трудностей. Решение можно получить чпсленными методами с этой целью дифференциальные уравнения преобразуют в уравнения конечных разностей и производят ступенчатое решение, при котором на каждой ступени методом последовательных приближений решают уравнения (У,47) и (У,49), объединенные через [c.192]

Чтобы получить начальное приближение Яо для обратной матрицы Якоби [системы (11,118) — (11,123) или (11,126), производные левых частей систем нелинейных уравнений аппроксимировались с помощью конечных разностей (с последующим обращением полученной матрицы). В соответствии с рекомендациями [24] прираде-ния независимых переменных Дх выбирались равными Ах = = 0,001хо, г (здесь л о,г — -тая координата начальной точки лго). При этом затраты на вычисление разностной аппроксимации матрицы Якоби в начальной точке эквивалентны (я + 1)-му расчету левых частей системы уравнений. [c.49]

Нелинейным уравнением в конечных разностях второго порядка, которое встречается в инженерных задачах, является уравнение Риккатти [c.295]

Система полученных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (5.5) может бьггь решена с использованием какой-либо разностной схемы на временном слое. В этом случае отрезок времени разбивается точками на интервалы I —tk или At = т/Ы, где N — достаточно большое число. Производная по времени от узловой температуры заменяется конечными разностями в соответствии с одной из следующих форм [c.172]

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений программа использует метод конечных разностей в сочетании с линеаризацией. Такая программа может быть применена при решении сложных, трехмерных задач теплопроводности. Записанная на языке Ф0РТРАН-1У и пригодная для использования на любой подходящей ЭВМ программа приведена в приложении 1. [c.230]

Несколько другой подход использован в работе [82], где использован метод кусочно-линейной аппроксимации равновесной зависимости. Этот метод представляет собой модификацию метода конечных разностей и ему присущи все недостатки последнего, а именно, возможность нарушения устойчивости решения при существенной нелинейности равновесной зависимости и необходимость разбиения равновесной линии на очень большое число отрезков. В работе [83] для расчета колонных экстракторов с продольным перемешиванием при нелинейном равновесии использован метод неустановившегося состояния, который является аналогом метода, использованного в работе [84] для расчета реактора, в котором проте сает последовательная реакция. В неустановившемся состоянии уравнения ячеечной модели с обратными потоками имеют вид [c.127]

Для компьютерного решения нелинейной многокомпонентной системы уравнений материального баланса - уравнений в частных производных, использован метод конечных разностей. Ранее разработан метод решения многокомпонентных уравнений динамики для S T-теории [10, 11] и составлена соответствующая явная численная схема ( предиктор-корректор ) расчета концентращш на (/ + 1)-ом временном слое по известным значениям на предыдущем -ом слое (и на промежуточном j + 0.5 слое). Теперь дополнительно к этому подходу в рассмотрение [c.74]

Для разностной аннроксимацпи конвективных членов системы (8) — (10) используется несимметричная разностная схема первого порядка точности, ориентпрованная против потока [2]. Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже но потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следуюш им образом оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса — Зейделя. Анироксима-ция строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Использовались разностные сетки 21 X 21 и 31 X 31. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. Выход из итерационного процесса осуществлялся при выполнении условия [c.59]

Система уравнений (3.35)—(3.38) включает в себя нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными. Для ее решения использовался конечно-разностной метод Куранта, Изаксона и Риса или, как его еще называют, метод пространственных разностей вперед и назад . Разности по времени берутся вперед, а разности по пространству для каждого уравнения выбираются [c.102]

Относительно зависимости константы равновесия от напряженности электрического поля , описываемой типичным уравнением Вант Гоффа, т.е. 51пК/5 =ДЛ1/ЛТ (которое дает нелинейную зависимость 1пК и для обычного случая, когда АМ пропорционально ), сильные статические поля модулировали переменным полем низкой амплитуды, чтобы наблюдать конечные сдвиги от положения равновесия. Избыточные диэлектрические потери, т.е. разность потерь в присутствии сильного поля и без него, являются экспериментально определяемой величиной. Из характеристических частот и соответствующих амплитудных коэффициентов были определены времена химической релаксации и физические параметры реакционной химической системы [14]. Результаты вновь подтвердили кооперативную природ образования мицелл в системах АОТ/цикло-гексан, как видно из рис. 11.5, где амплитудные коэффициенты ориентационных и химических релаксационных процессов построены в зависимости от концентрации АОТ по массе. Наиболее характерные результаты приведены на рис. 11.6. Он представляет собой график зависимости характеристических частот от концентрации АОТ, Такое кинетическое поведение с уменьшением времен релак- [c.206]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология