Ветвь бифуркационная

Анализ характера равновесных кривых на рис. 2.2 показывает, что идеальный вертикальный дисперсный поток может существовать в виде двух основных состояний или режимов. Возможность существования у дисперсного потока двух различных режимов, связанных с наличием двух корней уравнения, описывающего равновесное движение частиц, была впервые обоснована в работе [155]. Первому режиму на бифуркационной диаграмме соответствуют ветви кривых равновесия, лежащие справа от бифуркационной кривой (2.82), что аналитически можно записать следующим образом [c.94]

Второму режиму отвечают ветви кривых равновесия, лежащие слева от бифуркационной кривой, или [c.94]

Нетрудно убедиться, что бифуркационные значения параметров для первого перехода соответствуют ветви О/С, а для второго перехода — ветви LK кривой, изображенной на рис. И1-17. [c.89]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что исходно а = соответствует стационарной точке устойчивый узел системы (18.17) (область I на рис. 18.1). При увеличении а мы проходим по некой ветви стационарных состояний л == л (а). Эта ветвь состояний будет устойчивой, т.е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок / кривой), пока а не достигнет бифуркационного (бифуркация — раздвоение) значения а. При а = а система теряет устойчивость (например, за счет того, что функционал Ляпунова перестает быть положительно определенным) на рис. 18.1 это означает переход системы из области I Б одну из неустойчивых областей Н или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой х(а) , где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический момент в изменении свойства системы достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. Существенно, [c.370]

Во всех точках верхней и нижней ветвей 5-образной кривой б значения производных правых частей соответствуюших дифференциальных уравнений отрицательны, а для промежуточного участка положительны. Таким образом, термодинамические критерии устойчивости стационарного состояния совпадают с соответствующими математическими признаками. При этом значению управляющего параметра а, которому соответствует кривая а на рис. 18.3, отвечает только одно устойчивое стационарное состояние, а значению а, описывающему кривую б, — два (I — верхняя и II — нижняя ветви кривой б). Очевидно, что можно найти и бифуркационное значение параметра а. Это значение соответствует ситуации, при которой последовательная трансформация 8-образной кривой у А, а) из вида а в б впервые приводит к Л (х, а )/ёЛ -> оо или ё х, а )/ёх -> оо. [c.376]

Если X проходит через нуль, два стационарных состояния пересекаются. Точка Я, = О — бифуркационная точка этой системы, новая ветвь состояния Хст == А , как принято говорить, образует бифуркацию из ветви состояний Хст = O.j [c.53]

Рис. 1.1. Бифуркационная диаграмма для фазового перехода второго рода. Параметр порядка т представлен как функция внешней связи К. В критической точке Ас опорное состояние становится неустойчивым (штриховая линия), и в закритической области возникают две новые устойчивые ветви решения.

При а = ао существует три различных стационарных режима а,Ь,с. Найдя знак производной / (ж,а) для каждой из точек а, Ь, с, можно определить, какие из них соответствуют устойчивым стационарным состояниям / (жд.а) < 0 / (ж(,.а) > 0 / (жс-а) < 0. Это означает, что а, с — устойчивые, Ь — неустойчивое состояния. Дуги кривой АВ и ПС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. Бифуркационные значения параметра а, при которых изменяется число стационарных состояний с одновременным изменением типа устойчивости, обозначены а и а" [c.24]

Описанная выше бифуркационная ситуация называется складкой в терминах теории катастроф , где под катастрофами понимаются резкие изменения динамического типа поведения системы. Складка (рис. 1.3) содержит две катастрофы при а = а происходит перескок системы с верхней ветви на нижнюю, а при а = а" — с нижней на верхнюю. Обе катастрофы связаны со взаимной аннигиляцией устойчивой и неустойчивой ветвей решения. В теории катастроф строго доказывается, что складка является единственным типом такого рода катастроф в однопараметрических системах. В системах, содержаш их два параметра, возможны два типа катастроф складка и сборка (рис. 1.4). В системах с большим числом параметров возможны катастрофы более сложного вида. Катастрофы типа складки часто встречаются в моделях биологических систем. Примером могут служить рассмотренные ниже (см. 3 гл. III) S-образные параметрические зависимости стационарной концентрации субстрата от параметра в ферментативных реакциях с субстратным угнетением и обратной реакцией притока субстрата. [c.25]

Параметрическая кривая ферментативной системы а(а) состоит из двух ветвей (как на рис. 1.2 для системы (1.2.4)). Точки, лежащие на нижней ветви кривой, — устойчивые, на верхней ветви — неустойчивые. Значение параметра акр является бифуркационным, ему соответствует единственное стационарное состояние на стыке верхней и нижней ветвей. При значениях а > акр ее стационарное состояние недостижимо, при этом в системе будет происходить неограниченное накопление субстрата [c.67]

Предположим, что исходному состоянию системы соответствует стационарная точка А, лежащая на верхней ветви кривой ст(ос). Будем понижать скорость притока субстрата а, при этом система начнет перемещаться влево вдоль верхней устойчивой ветви стационарных состояний. При достижении бифуркационного значения параметра ai система покинет неустойчивую точку В и, совершив скачкообразный переход В D, попадет на нижнюю ветвь устойчивых стационарных состояний. Увеличивая снова значения управляющего параметра от ai до аг, можно перевести систему вдоль устойчивой ветви D до бифуркационной точки С, после достижения которой система самопроизвольно вернется в исходное состояние А. При обратимом изменении управляющего параметра а (уменьшении, а затем увеличении до прежних значений) осуществится замкнутый цикл состояний рассматриваемой системы. [c.68]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что в начальный момент времени а = ао, что соответствует стационарной точке устойчивый узел (область I на рис. VI.1) системы (VI.2.1). При увеличении а получается некая ветвь стационарных состояний х = (а), которая будет устойчивой, т. е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок 1 кривой), пока а не достигнет в конечном итоге бифуркационного значения а. При значении а = а система теряет устойчивость, а на диаграмме (см. рис. VI.1) это означает переход из области I в одну из неустойчивых областей III или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой ж (а), где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический пункт достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. С точки зрения развитых выше термодинамических представлений, стационарные состояния, расположенные на участке 1 кривой при малых а = ао, устойчивы в силу теоремы о минимуме скорости продуцирования энтропии [c.153]

Скачкообразное изменение свойств, получившее название бифуркации, означает резкое отклонение поведения системы от соответствующей термодинамической ветви или. другими словами, качественную перемену в поведении системы при кинетических значениях определяющих ее состояние параметров. Возникновение бифуркаций связано с флуктуациями, т.е. с беспорядочным, случайным явлением. В равновесных и линейных неравновесных системах флуктуации образуют сплошной фон, всегда неустойчивы, т.е. обратимы, и поэтому никаких бифуркаций не возникает. Совершенно иная ситуация имеет место в случае диссипативных структур. Хотя и здесь появление флуктуаций случайно, но не случайна их неодинаковая устойчивость, ведущая к специфической стабилизации некоторых из флуктуаций, определяемой природой микроскопических частиц, и детерминистическому механизму структурной самоорганизации. Можно сказать, что образование диссипативных структур - это бифуркационная эволюция флуктуаций, обусловленная в начале процесса внутренним строением и согласованными взаимодействиями микроскопических частиц, а затем вполне определенной структурой со специфическими, строго согласованными контактами между последовательно усложняющимися ансамблями, которые выступают как подсистемы формирующейся макроскопической диссипативной системы. [c.454]

Развитие естественных наук далеко не сразу достигло уровня, необходимого для установления фундаментальных зависимостей между явлениями живой и неживой природы. Долгое время, вплоть до второй четверти XX в., физическое, химическое и особенно биологическое мировоззрения развивались в значительной мере независимо. Это был период раздельного естествознания, т.е. в значительной мере автономного существования трех его основных областей. Совершенствование их структурных организаций здесь происходило главным образом за счет локальных, возникающих в пределах отдельных областей, бифуркационных изменений, резко обрывавших термодинамические ветви кумулятивного накопления научных данных. Локальными физическими бифуркациями можно считать, например, становление термодинамики и статистической физики, создание теории электромагнитного поля и теории относительности, разработку квантовой механики. Эти и ряд других выдающихся достижений физики открывали пути к изучению совершенно новых явлений, приводили к качественно новым понятиям, к коренному пересмотру существовавшего физического мировоззрения. Конечно, локальными они оставались недолго, но их воздействие на другие области естествознания осуществлялось через изменение структурной организации физических знаний, физического мировоззрения. [c.29]

Бифуркационная кривая на плоскости (р, р2) (р > О, р2 > 0) задается в виде р = Г х,р2), где ж определяется из уравнения С х,р2) = О (р2 > О, О < ж < 1). При этом, если О ни на одной из ветвей кривой ё х,р2) = О, то точки (ж, 2), в которых х = о, переходят в особые точки бифуркационной кривой. [c.168]

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 2.4. При Т 520 К выполняется неравенство (2.6.9). Поэтому, если 520 К Т 800 К, то для любых р, р2 существует одно ст.с. В заданной области изменения давлений Р, Р2 (2.6.5) множественность ст.с. наблюдается при 385 К < Т < 510 К. Бифуркационная кривая ни при каких Т не переходит через точку р = 10" Р2 = 10" . Каждая ее ветвь входит или выходит в заданную область pi,p2) через точку (10" , 10" ) или через особую точку, отвечающую трехкратному корню полинома /. [c.168]

Бифуркационная кривая появляется в прямоугольнике параметров при Т 385,2 К. Она входит через левый верхний угол (10 , 10 ). Вторая ветвь [c.168]

С7Д (отрезок тД - перегретый лед), где Д - вторая бифуркационная точка, она соответствует такому значению температурного параметра 83, выше которого (температура выше 0°) лед ни при каких условиях не будет устойчивым состоянием - происходит скачок на верхнюю ветвь в точку А. [c.59]

Стационарное состояние системы характеризуется равенством притока и расхода переносного компонента. Решение уравнения (1.35) в условиях стационарности Рх х, г/)=0] при различных значениях управляющего параметра а представлено в графической форме на рис. 1.8 там же дана бифуркационная диаграмма процесса х=х а). При а <а<.а2 мембранная система имеет два различных устойчивых стационарнв1х состояния, расположенных на верхней (т. 3) и нижней (т. 1) ветвях бифуркационной кривой, и одно неустойчивое (т. 2) на промежуточном участке этой кривой. Если исходное стационарное состояние расположено на нижней ветви (т. В), то по мере роста а особая точка смещается вправо по фазовой диаграмме при этом происходит монотонное приближение к новому значению концентрации компонента х. При а = аг возможна потеря устойчивости (т. А) и скачкообразный переход А—А в новое состояние с другим значением х. Аналогичный скачок В—В с верхней ветви на нижнюю наблюдается при а = а]. [c.36]

В работах [23, 52] проведен анализ некоторых моделей реакторов с использованием численных методов, построены бифуркационные кривые, позволяюнще судить о числе решений задачи для псевдоожижениого слоя катализатора, а также в неподвижном слое. Критерии устойчивости стационарных решений, доказанные в [1, 3—5, 19, 21, 22, 30(1, позволяют в ряде случаев решать вопрос об устойчивости стационарных решений, соответствующих различным ветвям бифуркационных кривых, не прибегая [c.92]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Очевидно, при а=а, когда критерий эволюции или кинетический потенциал равны нулю, происходит потеря устойчивости, и возможен скачкообразный переход в качественно новое состояние мембранной системы. Зависимость переменных хну от управляющего параметра а называют бифуркационной диаграммой, а состояние при а=а — бифуркационной точкой. На рис. 1.7 показана бифуркационная диаграмма для системы с одной переменной х в бифуркационной точке происходит переход с нижней ветви устойчивых состояний в область неустойчивости, т. е. из области I в области III или V (см. также рис. 1.6). Переходы типа узел — фокус (1- П) возможны на термодинамической ветви состояний, т. е. ао<а< а при этом нарушается лишь монотонный характер приближения к стационарному состоянию, возникают затухающие колебания концентраций. Как отмечалось выше, термодинамический критерий эволюции в виде соотношения (1.24) фиксирует условия, где возможны переходы в новые состояния, но не определяет новую структуру мембраны. Последнее возможно на основе анализа неустойчивости, если известен конкретный вид функций Fx x, у) и Fy(x, у) т. е. описание кинетики в йепи химических превращений в мембране. [c.34]

Помимо фазового перехода второго рода, типичная бифуркационная диаграмма которого показана на рис. 1.1, во всех разделах физических и биологических наук в сверхизобилии встречаются непрерывные переходы, аналогичные фазовым переходам первого рода. Такие переходы характеризуются существованием ветви решения, которая претерпевает бифуркацию в закритической области и является частью петли гистерезиса, изображенной на рис. 1.2. Когда внешний параметр X непрерывно возрастает от нуля, параметр состояния X при Я = Я может скачком [c.24]

Особая точка расположена на неустойчивой ветви кривой F(x,y) = 0. В точках изменения знака производной F (x,y) происходят скачки (точки А и В). В этих точках сменяется характер устойчивости, так как в соответствии со знаком производной F (x,y) ветви С А и BD устойчивы, а ветвь АВ неустойчива. Таким образом, точки Ат В являются бифуркационными. В соответствии со знаком dy/dt = G x, у) изображающая точка системы медленно доходит по ветви С А до точки А. Дальше по кривой F(x, у) =0 изображающая точка двигаться не может, так как ветвь АВ неустойчива. Поэтому система быстро переходит по горизонтальной изоклине AD на устойчивую ветвь кривой F(x,y) = 0. Однако на этой ветви в соответствии со знаком dy/dt = G(x,y) О движение происходит вниз в направлении точки i , которая, так же как и точка А, является бифуркационной. Далее снова следует быстрый горизонтальный скачок ВС. Затем точка движется по ветви СА. Таким образом, система совершает разрывные автоколебания по замкнутой траектории — разрывному предельному циклу ADB . [c.53]

Поведение бифуркационных ветвей. Встанем на точку зрения, согласно которой не происходит допол-пите.т1ьной перенормировки показателя степени потенциала. Тогда построенная ветвь негауссовских автомодельных распределений описывает поведение в окрестности точки r систем, у которых взаимодействие на больших расстояниях бинарное, и потенциал бинарного взаимодействия при d = 1, 2, 3 убывает на бесконечности как Иными словами, прп малых е [c.193]

Сборка белка начинается с чисто случайного, но неизбежного появления на некоторых олигопептидных участках цепи независимых друг от друга необратимых флуктуаций. Уникальные конформационные отклонения рано или поздно приведут к образованию за счет ближних и средних невалентных взаимодействий остатков нескольких жестких локальных структур - нуклеаций, разделенных участками, оставшимися подвижными. Таким образом, первый этап свертывания белковой цепи включает ряд параллельно идущих процессов структурирования отдельных фрагментов и завершается образованием первого промежуточного состояния ( ]). В результате на термодинамической ветви возникла первая бифуркационная точка, являющаяся поворотной в отношении направленности и характера дальнейшего развития событий с этого момента механизм сборки белка становится истинно неравновесным процессом. Далее, также за счет случайно возникающих флуктуаций в специфические взаимодействия вовлекаются удаленные по цепи остатки, принадлежащие разным участкам белка. Их сближенность происходит опять-таки только при определенных и поэтому необратимых флуктуациях. Структурная стабилизация возникает здесь за счет пространственной комплементарности избирательно контактирующих конформационно жестких фрагментов. [c.465]

Зависимости ЛДб ) совпадают с предсказанными всюду, за исключением окрестности сопряжения ст. с. 2 и 3 или, в случае множественности ст. с. — окрестности сопряжения ст. с. 1 и 3. Это объясняется тем, что при конечном /сз кривая 3 имеет петлеобразный характер, а при > оо вторая ветвь петли сливается с прямой 5. В сечении РР на рис. 2.3 это проявляется в том, что зависимости Л для ст. с. 2 и 3 сопрягаются между собой переходом через комплексную область на интервале (1,27, 1,29), чего в асимптотике к оо не наблюдается, так как рассматривается нулевое приближение по е = Ь /Ъ . Таким образом, полученная бифуркационная диаграмма справедлива всюду, за исключением узкого пограничного слоя в окрестности левой бифуркации. [c.164]

Влияние флуктуаций на динамику системы наиболее ярко прояв-X ляется для рассмотренного случая безразличного равновесия. Однако более типична ситуация, характеризующаяся просто множественностью стационарных состояний. Здесь зависимость, например, стационарной скорости реакции ги от какого-либо параметра (для определенности примем температуры Т), имеет 5-образный вид. При бифуркационных значениях Т, Т2 в детерминированной постановке значения ги Т) скачком переходят с одной ветви устойчивых ста- [c.196]

Пусть увеличение параметра а на рис. 8 означает повышение температуры. В точке ее значение равно 0°. При обычных условиях переход "вода - лед" происходит по траектории АофтС. При 0° вода может быть как в жидком (а), так и в твердом (7) состояниях, и кроме того образуется смесь этих состояний (р). Известно, что при охлаждении, соблюдая некоторые предосторожности, можно получить переохлажденную жидкую воду при температуре ниже 0° (отрезок оВ), которая при этих условиях тоже будет в устойчивом состоянии. Но достижение некоторого критического значения температуры а (бифуркационной точки В) обязательно шзовет резкий переход воды в другое устойчивое состояние (лед) - точку с на нижней ветви. Обратный процесс при повышении температуры пойдет по другому пути [c.59]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология