Дисперсия предсказанных значений

В зависимости от вида функционала различают А — оптимальные планы, минимизирующие сумму диагональных элементов (след) дисперсионной матрицы D — оптимальные планы, минимизирующие определитель дисперсионной матрицы Е — оптимальные планы, минимизирующие максимальное собственное значение дисперсионной матрицы G — оптимальные планы, обеспечивающие наименьшую по всем планам максимальную дисперсию предсказанных значений наблюдаемой переменной в допустимой области X и др. В случае нормального распределения критерии , X) и соответствуют уменьшению доверительной области для параметров. [c.210]

Оптимальные планы. Среди различных известных критериев оптимальности планов важнейшими являются требования /)- и С-оптимальности /)-Оптимальным называется план, минимизирующий объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов уравнения регрессии. Свойство С-оптимальности обеспечивает наименьшую максимальную величину дисперсии предсказанных значений отклика в области исследования. Симплекс-решетчатые планы обладают свойствами О- и (/-оптимальности только при построении полиномов второго и неполного третьего порядка. Планы Шеффе более высокого порядка не являются Д-оптимальными. О-оптимальная симплексная решетка для полинома третьего порядка была построена позднее Кифером. Если рассмотреть множество планов с координатами точек [c.297]

Так как- симплекс-решетчатый план является насыщенным, дисперсию предсказанного значения определяют по результатам повторных измерений. Но можно проверить адекватность уравнения регрессии, сопоставив расчет по этому уравнению с результатом эксперимента в дополнительно исследуемых проверочных точках, причем одной из них обычно является точка симплекса с координатами х = х и =. .. = Хр , причем [c.41]

При проведении эксперимента исследователь может предъявлять к мат. модели разл, требования получение определенных оценок ее параметров обеспечение желаемых предсказательных св-в и т.п. Это приводит к необходимости выбора спец. планов, подчиненных поставленным требованиям (критериям). Среди критериев, удовлетворяющих первому требованию, наиб, общим является О-критерий, соответствующий обобщенной дисперсии всех оценок параметров мат. модели. Кроме иего применяют 1-критерий, отвечающий средней дисперсии оценок параметров -кри-терий, соответствующий длине макс. оси эллипсоида рассеяния оценок параметров критерий ортогональности, обеспечивающий независимость определения параметров модели, и т.д. Среди критериев, удовлетворяющих второму требованию, особенно часто используют (5-критерий, отвечающий макс. дисперсии предсказанных значений ф-ции отклика б-критерий, соответствующий среднему значению дисперсий предсказанных значений критерий ротатабельности, отвечающий дисперсии оценки предсказанных значений отклика во всех точках, равноудаленных от центра плана, и др. [c.559]

Кифером предложен ряд критериев оптимальности планов. Все эти критерии, как и критерий )-оптимальности, фактически сводятся к некоторым требованиям, предъявляемым к виду ковариационной, а следовательно, и информационной матрицы. Так, план называется А-оптимальным, если его ковариационная матрица имеет наименьший след (сумму диагональных элементов). Л-Оптимальный план позволяет минимизировать среднюю дисперсию оценок параметров. План называется Е-оптимальным, если максимальное характеристическое значение соответствующей ему ковариационной матрицы оценок параметров минимально. Это значит, что -оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния оценок параметров. План называется О-оптимальным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии предсказанных значений у в области планирования и, следовательно, обеспечивает отсутствие в области планирования точек, в которых точность оценки поверхности отклика слишком низкая. [c.199]

Разумеется, что суммирование в уравнении (1.11) ведется по всем веществам, кроме исследуемого (свойство которого подлежало определению). Затем вычисляют дисперсию предсказанного значения по формуле [c.27]

По формуле (1.12) находим дисперсию предсказанного значения [c.30]

Исследования показали, что математическая модель первого порядка не адекватно описывает процесс дозирования, в связи с чем для создания модели было использовано ротатабельное планирование второго порядка. Ротатабельным называется такой план в котором оценка погрешности (дисперсии) предсказанного значения у независима от вращения плана, причем сами дисперсии равны на одинаковых расстояниях от центра плана (нулевой уровень). [c.43]

Полученные результаты с учетом большой величины дисперсии предсказанного значения сТу = 5,8 позволяют считать оптимизацию законченной и рекомендовать следующие значения параметров [c.10]

Из формулы (4.17) следует, что дисперсия предсказанного значения параметра оптимизации зависит только от радиуса сферы. [c.55]

Наличие ротатабельности устраняет второй недостаток классического регрессионного анализа — неравномерность распределения дисперсии в изученной области факторного пространства. Дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации оказываются одинаковыми для всех точек, расположенных на сфере с радиусом р. [c.56]

Расчет дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации в случае уравнений регрессии, полученных по пассивным планам, — задача крайне трудная вследствие сложности ковариационной матрицы и неравномерности распределения дисперсии в факторном пространстве. Эта задача существенно упрощается при использовании ротатабельных планов. Для планов первого порядка типа полного факторного эксперимента и дробных реплик, имеющих диагональную ковариационную матрицу, дисперсия предсказанного значения параметра оптимизации [c.86]

Для ротатабельных планов дисперсия предсказанного значения параметра оптимизации одинакова в любой точке сферы. Поэтому можно проводить вычисления в точках, находящихся на одной из осей факторов, приняв х, — р. Учитывая это, а также принимая во внимание зависимость (4.63), из уравнения (4.90) получаем [13] [c.87]

Воспользовавшись формулами (4.51) и (4.90), вычислим дисперсию предсказанного значения параметра оптимизации в точках, максимально удаленных от середины изученной области натурального факторного пространства. Меняя длину звездного плеча, рассмотрим, как будет меняться дисперсия о у) в двух точках Л и 5 с координатами (221, 222, 223, [c.87]

Элементы ковариационной матрицы и дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации для двухфакторного плана [c.88]

ТО дисперсия предсказанных значений будет [28] [c.90]

На рис. 4.7 приведены кривые зависимостей дисперсий предсказанного значения параметра оптимизации от расстояния до центра эксперимента для О-оптимальных планов и некоторых [c.94]

Расчет дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации сделаем для точки, соответствующей значению у = = 99,28% по формуле (4.91). [c.129]

Точность предсказания отклика неодинакова в различных точ-Ki X симплекса. Дисперсию предсказанного значения отклика з-можно определить по закону накопления ошибок. Покажем это на примере полинома второго порядка для трехкомпонентной смеси. При этом предположим, что Хг определяются без ошибок, дисперсия воспроизводимости 5,/ во всех точках плана одинакова и значения откликов являются результатом усреднения Пг н п- параллельных опытов в соответствующих точках си.мплекса. Тогда дисперсии у и г] равны [c.260]

ЩИ1 объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов уравнения регрессии. Свойство О-оптимальности обеспечивает наименьшую-максимальную величину дисперсии предсказанных значений отклика и области исследования. Симплекс-решетчатые планы обладают свойствами О- и О-оптимальности только при построении полиномов второго и неполного третьего порядка. Планы Шеффе более высокого порядка не являются )-оптимальными [45]. )-Оптималь-ная симплексная решетка для полинома третьего порядка была построена позднее Кифером [48]. Если рассмотреть множество планов с координатами точек [c.281]

Указанный 1 5етод был принят для построения матрицы планирования эксперимента. Полуреплику достраивали до полного факторного эксперимента путем добавления нулевых точек в центре плана. Отсюда и происходит название — центральное композиционное планирование. Ротатабельным называется такой план, в котором дисперсии предсказанного значения у независимы от вращения плана. При этом сами дисперсии равны на равных расстояниях от центра плана, для чего звездное плечо аз выбирается из условия инвариантности плана к вращению. Значение звездного плеча можно взять по таблицам из работы (1], как это сделано было выше. Исходя из приведенных положений, построена [c.81]

Принцип рототабельности предполагает минимум дисперсии предсказанного значения выходного параметра в любой точке факторного пространства при равенстве дисперсий в точках, расположенных на одинаковом расстоянии от центра плана [31 ]. Это требование эквивалентно независимости дисперсии выходного параметра от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами. [c.218]

При рототабельном планировании на экспериментальные точки в центре плана возлагается дополнительная миссия — сделать дисперсию предсказанного значения внутри области экспериментирования постоянной и не зависящей от расстояния до центра плана. [c.232]

Кифером предложен ряд критериев оптимальности планов. Все эти критерии, как и критерий й-оптимальности, фактически сводятся к некоторым требованиям, предъявляемым к виду ковариационной, а следовательно, и информационной матрицы. Так, план называется А-оптимальным, если его ковариационная матрица имеет наименьший след (сумму диагональных элементов), -Оптимальный план позволяет минимизировать среднюю дисперсию оценок параметров. План назьшается Е-оптимальным, если максимальное характеристическое значение соответствующей ему ковариационной матрицы оценок параметров минимально. Это значит, что 5-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния оценок параметров. План называется О-оптималъным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную дисперсию предсказанных значений у в области планирования и, следовательно, обеспечивает отсутствие в области планирования точек, в которых точность оценки поверхности отклика слишком низкая. Боксом и Дрейпером предлагается еще один критерий оптимальности планов, позволяющий минимизировать систематическое и общее смещение, возникающее при аппроксимации поверхности отклика полиномом более низкого порядка, чем это требуется для адекватного описания, [c.197]

В случае, когда основная цель эксперимента — поиск экстремума поверхности отклика, очень существенным является вопрос о величине дисперсии предсказанных зачений регрессионной функции в заданной области. Оказалось, что если ввести некоторое обобщение понятия плана, то О-оптимальный план будет совпадать с планом, минимизирующим максимальную дисперсию предсказанного значения параметра оптимизации в заданной области планирования. Такой план называется [c.89]

G-оптимальным, ему соответствует наименьшее максимальное значение в области планирования дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации. Если регрессионная функдия записана в виде [c.90]

Дисперсия предсказанного значения параметра оптимиза ции и квадратичное отклонение [c.129]