Дисперсия в планировании экспериментов

Методы дисперсионного анализа и тесно связанного с ним планирования эксперимента в настоящее время довольно щироко применяются ДЛЯ рещения прикладных задач в химии и химической технологии. Дисперсионный анализ использует свойство аддитивности дисперсии изучаемой случайной величины и дает возможность разложить ее на компоненты, обусловленные действием независимых факторов. Основные положения дисперсионного анализа даются в данной главе без доказательств. Приведены алгоритмы обработки наблюдений для однофакторного и двухфакторного анализов. Рассмотрены методы планирования экспериментов по схеме латинского, греко-латинского, гипер-греко-латинского квадратов и латинских ку- [c.118]

Для такого многомерного случая требуется та же априорная информация, что и для одной неизвестной константы, а именно матрица ошибок для начальных концентраций частиц базиса и дисперсии измеряемой величины (например, логарифма равновесной концентрации одной из частиц). Рассчитав по пробным значениям равновесный состав, мы можем оценить информационную матрицу по алгоритму типа, описанного в [11], преимуществом которого является расчет необходимых производных аналитическими методами, а не через конечные приращения. Конфлюентные поправки к измеряемой величине, введенные з работе [И], для задачи планирования эксперимента не нужны, что существенно упростит алгоритм. Для измерений других типов требуются и другие алгоритмы, и если аналитических методов расчета производных для них не разработано, приходится применять конечные приращения. [c.174]

В зависимости от характера задачи в качестве величины, подлежащей оптимизации, выбираем одну из принятых в общей теории планирования эксперимента [1], например определитель информационной матрицы или какой-либо диагональный элемент матрицы ошибок — оценку дисперсии наиболее интересующей нас константы. [c.174]

Матрица планирования включает серию опытов, поэтому дисперсия всего эксперимента, т. е. дисперсия воспроизводимости, является результатом усреднения дисперсий всех опытов [c.72]

Таблица 7. Значения факторов, матрица планирования, средние результаты эксперимента и их дисперсия [58]

Следует хотя бы очень кратко остановиться на важнейшем статистическом методе исследования — дисперсионном анализе. Суть анализа заключается в разбиении общей дисперсии результатов на составляющие, обусловленные влиянием тех или иных исследуемых факторов, и далее — в исследовании значимости дисперсий факторов по сравнению с дисперсией воспроизводимости, связанной со случайным рассеянием результатов. Простейшим видом дисперсионного анализа является оценка однородности двух дисперсий по -критерию (см. гл. 4). Для более сложных случаев (изучение влияния одного или многих факторов на общее рассеяние результатов) широко используются методы дисперсионного анализа [56, 63, 64, 67] и разработаны стандартные программы для ЭВМ. Методы дисперсионного анализа являются неотъемлемой частью большинства методов статистического планирования экспериментов и применяются также для оценки регрессионных моделей [56]. [c.98]

В предыдущем параграфе мы рассматривали такое планирование эксперимента, при котором одна и та же проба анализировалась в разных лабораториях и суммарная дисперсия разлагалась последовательно на отдельные составляющие. При такой постановке опыта мы получали информацию относительно ошибок, относящихся к какой-то одной пробе. Значительно более полную информацию о данном аналитическом методе можно получить в комплексном методе исследования, когда несколько проб будут анализироваться в нескольких лабораториях. При таком планировании эксперимента результаты анализа располагаются так, как это показано в табл. 7.15. [c.227]

В аналитической работе очень важно заранее выбрать нужное число параллельных определений при сравнительном изучении двух дисперсий. Допустим, что при планировании эксперимента мы задаемся риском а не принять нулевую гипотезу тогда, когда она верна (квадратичные ошибки равны) и риском р принять нулевую гипотезу тогда, когда а /сТз = Л. В этом случае, допуская, что Д = /2, число параллельных определений найдем, пользуясь формулой [c.338]

При исследовании химико-технологического процесса после рассмотренных ранее этапов выбора функций отклика, параметров и интервалов варьирования, кодирования переменных и определения матрицы планирования составляется таблица рабочего плана экспериментов. Для этого для каждого опыта вместо знаков плюс и минус подставляют натуральные значения переменных, находя их по формулам (II-I74) и (П-175). В соответствии с таблицей и ставят в случайном порядке все необходим-ые опыты, фиксируя наблюдаемые значения функции отклика у,. Для оценки дисперсии воспроизводимости некоторые опыты повторяют или же специально ставят не менее трех параллельных опытов в центре плана. По результатам измерения у рассчитывают далее коэффициенты регрессии по уравнению (11-177) при этом параллельные опыты можно заранее усреднять либо учитывать их в отдельности, соответственно изменяя и величину N. Затем по найденному регрессионному уравнению, подставляя в него кодированные значения параметров, вычисляют для каждого опыта у и по разности ее с экспериментально найденной величиной yj определяют дисперсию адекватности [c.436]

В соответствии с требованиями регрессионного анализа дисперсии строк матрицы должны быть однородными. Для неоднородных дисперсий математические методы планирования эксперимента неприменимы. Однородность дисперсий проверяется по критерию Кохрена С [c.370]

Для определения уравнения регрессий воспользуемся ротатабельным планом второго порядка [15] (см. табл. 2.2). Число опытов в матрице планирования для ге=5 равно 32. Ядро плана представляет собой полуреплику 2 1 с генерирующим соотношением х =Х1Х2ХзХ4. По эксперименту в центре плана определяется дисперсия воспроизводимости 5 о р=4,466 с числом степеней свободы /1=5. На основе табл. 2.2. по методу наименьших квадратов рассчитываются коэффициенты уравнения регрессии второго порядка и их ошибки. Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента (2.24). Табулированное значение критерия Стьюдента для уровня значимости 17=0,05 и числа степеней свободы /х=5 равно ,(/)=2,57. После отсева незначимых коэффициентов, для которых -отношение меньше табулированного, получаем уравнение регрессии в безразмерной форме [c.96]

Полагалось iV = 4, и длительность подачи каждого равна 30 с при линейной скорости газа-носителя 80 мл/мин и при Т = == 100° С. В качестве индикатора был выбран пропилен, а испытываемого катализатора — СКН-35. Полагали дополнительно, что каждый у( ) 7,5 мл и Ф (М v), Т) = det М (f) 4 Минимизацию Ф проводили методом случайного поиска по наилучшей пробе. Оптимизация входного индикаторного сигнала позволила на два порядка увеличить детерминант информационной матрицы для трех оцениваемых констант Кц, к , Одф. При этом существенно уменьшились и их дисперсии, что свидетельствует об эффективности излагаемой процедуры планирования адсорбционных экспериментов [75, 76]. [c.165]

Поскольку выбор метода планирования зависит от экспериментатора, рассмотрим составление такого плана постановки эксперимента, который позволит получить минимальную дисперсию а1.. [c.26]

Такой подход допустим при поиске экстремума вблизи минимума S, но он может оказаться безрезультатным при плохих начальных оценках. На это было обращено внимание при выполнении вычислительных работ [12, 131. В связи с этим выполнены исследования по оптимальному размещению опытных точек таким образом, чтобы минимизировать дисперсии коэффициентов. Следует отметить, что планирование кинетических экспериментов трудно осуществлять по одному критерию (например, по наимень-щей дисперсии подбираемых констант для одной модели), так как приходится учитывать одновременно возможность использования альтернативной другой модели, точность результатов, простоту экспериментирования и др. Предложенные ранее [9, 10, 13] планы для минимизации дисперсии коэффициентов или одновременного осуществления такой минимизации и выбора лучшей модели (дуальная задача) не получили распространения в исследовательской работе. [c.44]

Для критерия Фишера число степеней свободы остаточной дисперсии = N - Ь. Сопоставляется полученное значение с табличным значением Рт, приведенным в приложении 5.2) если Р]<Рт, то уравнение адекватно описывает экспериментальные данные. При противоположном результате необходимо дальнейшее исследование процесса путем составления матрицы планирования второго порядка, проведения по ней экспериментов, получения и анализа уравнения регрессии (дополнительные задачи выполняются как УИРС или курсовая работа). [c.58]

Число критериев уточняющего планирования весьма велико, а в литературе отсутствуют рекомендации относительно области применения того или иного критерия. Чаще других обсуждается и используется /)-оптимальное планирование. Между тем, попытка применить Д-критерий для уточнения кинетической модели реакции каталитического гидрирования фенола на палладии [126] показала, что иногда обобщенная дисперсия снижается не столько за счет уменьшения диагональных элементов дисперсионной матрицы, сколько из-за возрастания коэффициентов корреляции между параметрами. Поэтому была поставлена задача сравнить различные критерии планирования методом математического эксперимента. [c.224]

При химико-технологических исследованиях, особенно в производственных условиях, часто ошибочно полагают, что выполнение многократных измерений не окупает сделанных затрат, и считают, что лучше сделать измерения, например, для трех различающихся условий (точек), а не три параллельные измерения в одной и той же точке. При этом нередко оказывается, что из-за большой погрешности эксперимента измерения в разных точках фактически совпадают. В то же время такое планирование исследования оставляет само значение погрешности неизвестным. Иногда в разных точках данные различаются по значениям, но эти значения находятся в одном доверительном интервале. В связи с этим нужно помнить, что информация о распределении результатов, а также о значениях дисперсий исследуемой величины, методов и средств измерения является одним из важнейших результатов, получаемых в эксперименте. Чем сложнее изучаемое явление, тем важнее данные о соответствующих дисперсиях. [c.177]

Задачи планирования в общем виде, связанные с некоторыми требованиями к дисперсионной матрице [4], очень сложны и во многих случаях практически неразрешимы. Однако одиим из мол1ентов планирования эксперимента может быть поиск практически доступных экспериментальных условий, снижающих дисперсии контролируемых переменных и величин У - Такой поиск может быть легко осуществлен любым исследователем, свободно владеющим обыкновенными законами распространения ошибок. [c.11]

Из сравнения полученных результатов следует, что при новом плане выполнения экспериментов дисперсия результатов оказывается вдвое меньше, чем при традиционном методе, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Таким образом, рациональное планирование измерений позволяет обеспечить необходимую точность результатов при минимальных (или допустимых) затратах. В связи с этим очевидна необходимость применения некоторых объективных методов, которые позволяют оптимальным образом организовать измерительный эксперимент. [c.41]

Производственные условия не позволяли осуществить полный факторный эксперимент, который при принятых нами пяти управляемых факторах (диаметр сопла а, уровень стекломассы в ванне Н и др.) и изменении их на двух уровнях потребовал бы проведения 2 опытов, не считая их повторения для уменьшения величины дисперсии. Поэтому было решено провести эксперимент, используя дробное факторное планирование 2 , которое потребовало проведения всего восьми опытов. [c.149]

Учитывая необходимость сокращения числа экспериментов и малую дисперсию критериев оптимизации (а =0,06 =0,163), был реализован план 2 без дублирования опытов. Матрица планирования, результаты эксперимента и определения коэффициентов представлены в таблице 1. [c.15]

Оптимизируемым параметром данного фотометрического метода является величина оптической плотности раствора в качестве факторов, влияющих на протекание реакции комплексооб-разования, рассматриваются концентрация тиомочевины, кислотность раствора и время развития окраски. Выбирают центр планирования (нуль отсчета) и задают верхний и нижний уровни варьирования факторов. Составляют матрицу планирования эксперимента и, следуя принятым условиям эксперимента, готовят растворы и измеряют их оптическую плотность. По критерию Кохрена проверяют однородность дисперсий, рассчитывают коэффициенты уравнения регрессии и с помощью критерия Стьюдента устттлшаюгт их значимость. [c.150]

Для изучения процесса очистки дизельных топлив от сераор-ганических соединений нами были использованы классические методы экспериментирования и математические методы планирования эксперимента. На первом этапе исследования проведено сопоставление результатов, полученных ранее классическим методом [31, с результатами спланированного эксперимента, которые оказались идентичными, а рекомендации по оптимальным условиям совпали. Использование планирования эксперимента дало возможность получить математическое описание процесса и определить элемент неопределенности (дисперсию). [c.153]

Указанный 1 5етод был принят для построения матрицы планирования эксперимента. Полуреплику достраивали до полного факторного эксперимента путем добавления нулевых точек в центре плана. Отсюда и происходит название — центральное композиционное планирование. Ротатабельным называется такой план, в котором дисперсии предсказанного значения у независимы от вращения плана. При этом сами дисперсии равны на равных расстояниях от центра плана, для чего звездное плечо аз выбирается из условия инвариантности плана к вращению. Значение звездного плеча можно взять по таблицам из работы (1], как это сделано было выше. Исходя из приведенных положений, построена [c.81]

Исследовалось влияние ряда факторов на выход п-ИПБК. Оценка их влияния проводилась методом планирования эксперимента [7, 8]. Уровни варьирования переменных были выбраны на основании предварительных исследований. Функцией отклика У — служил выход п-ИПБК. Предварительно была проведена серия опытов для проверки воспроизводимости и на их основе вычислена оценка дисперсии воспроизводимости 5 . [c.63]

Вклад, вносимый случайной методической ошибкой, может быть оценен путем разложения дисперсии на отдельные компоненты так, как это делается обычно в дисиер-снонном анализе. Для рассматриваемого нами планирования эксперимента мы можем написать [c.271]

Нами для исследования степени загрязнения щелочными металлами поверхности кремниевых пластин, а также структур 3102—31 и 31п/к —ВЮз—31 был применен метод пламенной фотометрии, позволяющий определять натрий и калий с пределом обнаружения 2 10 ° и 10 г соответственно. Исследования проводили на спектрофотометре фирмы Регк1п-Е1тег (мод. 403) с использованием пламени пропан—бутан—воздух. Травление поверхности 31 проводили смесью плавиковой и азотной кислот, поверхность ЗЮд — 5%-ный НР. При поиске оптимальных условий анализа применяли математическое планирование эксперимента методом Бокса—Уилсона. Параметром оптимизации выбрана интенсивность излучения линий натрия и калия. При выборе условий возбуждения изучали влияние следующих факторов давление воздуха (давление пропан—бутана), размер щели спектрофотометра, скорость распыления раствора, расстояние края горелки от оптической оси. Была состав. ена матрица полного факторного эксперимента тина 2. Однородность дисперсии параметра оптимизации проверяли по критерию Кохрена, адекватность модели по / -критерию Фишера. После подсчета коэффициентов регресии коэффициент первого фактора оказался незначимым. Математическая обработка результатов опытов (подсчет коэффициентов регрессии, движение по градиенту) позволила получить наилучшие значения размера щели, расстояния края горелки от оптической оги, расхода раствора. [c.233]

На первом этапе для получения искомых зависимостей использовалось 1)-оптимальное планирование эксперимента. Как известно, Д-оптимальный план минимизирует абобщенную дисперсию или объем элипсоида рассеяния оценок параметров. Эксперименты (вычисления на ЭВМ по тарельчатой модели) были проведены по /З-оптимальному непрерывному плану для шести факторов [10]. [c.12]

Число опытов в матрице планирования для к = 5 равно 32. Ядро плана представляет собой полуреплику 2 с генерирующим соотношением = х хзх4. Величину звездного плеча а—2 определяем по табл. 45. Переход от натуральных переменных z к безразмерным х проведен по формуле (V.3). По эксперименту в центре плана определяем дисперсию воспроизводимости sio np 4,47 с числом степеней свободы /воспр -ло-1-5. [c.196]

Таблица дисперсионного анализа показывает, как можно разделить на четыре группы обшие суммы квадратов отклонений, причем остаточные источники рассеяния составляют оценку ошибки, через которую неучтенные источники рассеяния проверяют при помощи / -критерия. Таким образом, дисперсии, возникающие вследствие различий между методами или лабораториями, можно проверить на статистическую значимость. Можно сравнить две схемы планирования — факториальный план и латинский квадрат, оба для 16 экспериментов, 2 -факторное планирование позволяет получить единичную оценку влияния каждой из четырех переменных и шесть парных взаимодействий. Остальные пять степеней свободы можно считать оценками для ошибки эксперимента. Планирование по методу латинского квадрата позволяет получить три оценки влияний каждого из трех переменных, но не дает возможности оценить влияния взаимодействий. [c.598]

Факторное планирование расчетов (цифровых экспериментов), где дисперсия воспроизводимости опытов на ЭЦВМ авос практически равна нулю, не следует смешивать с. методом планирования физических экспериментов, где Ствос всегда отлична от нуля. [c.106]

Сделаем прежде всего краткие комментарии к выбору множества узлов аппроксимации х, (/ = 1, 2,. .., /с и = 1, 2,. .., JV) или плана Dx цифровых экспериментов. К сожалению, матрицы планирования, специально предназначенные для планирования расчетов, в литературе не разработаны. Однако для их выбора можно привлечь следующие простые соображения. Как известно [19], Ь-оптимальные насыщенные планы достаточно экономичны и минимизируют дисперсию суммарного рассеяния откликов, вычисленных по уравнению регрессии по отношению к экспериментальным значениям математических ожиданий. Это рассеяние содержит две составляющие случайную ошибку воспроизводимости отклика в эксперименте Хвос и так называемую ошибку неадекватности модели ад. Последняя возникает вследствие того, что аппроксимирующий полином (4.31) содержит конечное число членов, т.е. неточно аппроксимирует истинную поверхность отклика > m=/m(x), если она криволинейна. [c.107]

В случае, когда основная цель эксперимента — поиск экстремума поверхности отклика, очень существенным является вопрос о величине дисперсии предсказанных зачений регрессионной функции в заданной области. Оказалось, что если ввести некоторое обобщение понятия плана, то О-оптимальный план будет совпадать с планом, минимизирующим максимальную дисперсию предсказанного значения параметра оптимизации в заданной области планирования. Такой план называется [c.89]

Информация о точках с максимальной погрешностью не только указывает на недостатки проведенной серии экспериментов, но и дает позитивные рекомендации. Оказывае ЕСя, что дополнительный эксперимент выгоднее всего поставить-именно в точке с максимальной дисперсией присоединяя именно этот результат к результатам предыдущих опытов, получаем максимально возможное улучшение точности оценок, коэффициентов Ь. Отметим, что аналогично можно получить рекомендацию по планированию серии из "нескольких допшг- кительных экспериментов. [c.94]

Критерий рототабельностн плана обеспечивает равенство дисперсий предсказывания уравнения регрессии на равны расстояниях р от центра планирования. Реализация плана эксперимента в соответствия с табл. 14 позволяет обеспечить постоянство дисперсии предсказывания уравнения регрессии в интервале 0 р 1, т. е. в диапазоне варьирования независимых леременных 1. Зависимость среднего времени до появления отказа в функции / и определяется в виде полинома второго порядка [c.77]

Методы кибернетики в химии и химической технологии (1971) -- [ c.195 , c.196 , c.200 , c.205 , c.207 , c.212 , c.213 , c.217 ]

Методы кибернетики в химии и химической технологии (1971) -- [ c.195 , c.196 , c.200 , c.205 , c.207 , c.212 , c.213 , c.217 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология