Размерность системы

Понятие меры завершенности химических реакций и химических инвариантов. Для снижения размерности системы дифференциальных уравнений кинетической модели, т. е. для представления ее в виде совокупности дифференциальных и алгебраических уравнений, вводится понятие химических инвариантов, которые являются линейными функциями от концентраций компонентов реакции и постоянны как в области нестационарного, так и стационарного протекания реакции. Химические инварианты изменяются только в случае, если в реакционной системе появляются новые химические реагенты или видоизменяются структурные виды. Химические инварианты для системы кинетических дифференциальных уравнений являются ее первыми интегралами. Следовательно, используя т = рГ Л химических инвариантов, удается понизить размерность системы дифференциальных уравнений на т, что существенно уменьшит время расчетов на ЭВМ. Аналогично если кинетическая модель представляется в виде системы нелинейных алгебраических уравнений, то совокупность т химических инвариантов также позволит снизить ее порядок па т. Отсюда следует, что для идентификации кинетической модели не обязательно анализировать изменения концентраций всех N химических реагентов, можно ограничиться анализом только N — [c.243]

Сокращение размерности системы линейных алгебраических уравнений даёт возможность ускорить счёт и расширить круг решаемых задач. [c.75]

Блок 7, в котором формируются частные контрольные требования, играет особую роль во всем анализе и определяющую для последующих этапов. Сокращение размерности системы (3.2) на основе ограничений блока 6 М = [c.109]

Системы типа (3.79) можно решать точными, приближенными либо численными методами. Точными называются методы, позволяющие получать решение аналитически, т. е. в замкнутом виде через элементарные функции, либо в виде квадратур от элементарных функций. В химической кинетике, к сожалению, эффективное точное решение ПКЗ осуществимо в очень специальных случаях — когда процесс не слишком сложен, порядок всех элементарных стадий не выше первого, не очень высока размерность системы и т. д. [c.174]

Решение осложняется наличием кратных корней, вероятность появления которых заметно растет с увеличением размерности системы. Целесообразно поэтому предварительно понизить размерность решаемой системы, используя законы сохранения. В такого рода способах не возникает проблемы ограничения шага из соображений устойчивости решения, но существует ограничение, определяемое требованием эквивалентности исходной (3.79) и линеаризованной (3.91) систем. Как показывают практические расчеты [58], это более слабое ограничение, и шаг для не очень сложных кинетических моделей может быть увеличен в несколько (10 -4- 100) раз против обычного. Однако для высокой степени жесткости , большой размерности модели, а также в областях резкого изменения поведения решения это ограничение начинает играть существенную роль, и выигрыш хотя и сохраняется, но становится не очень большим. [c.179]

В этой группе методов предварительные процедуры (понижение размерности системы, линеаризация и т. д.) в целом аналогичны описанным. Различия начинаются на стадии решения линеаризованной системы (3.91), которое можно попытаться получить не в замкнутом виде, а прямой численной процедурой, учитывающей особенности поведения решения уравнений химической кинетики [125]. Иной подход к решению системы (3.91) предложен в работе [46], где решение (3.91) ищется в виде обрезанного [c.181]

Основная трудность расчета состоит в жесткости системы уравнений (7.357) — (7.365), обусловленной различной величиной собственных значений матрицы коэффициентов. Поскольку размерность системы определяется числом тарелок в колонне и числом компонентов разделяемой смеси, которые могут быть достаточно большими, то от эффективности метода решения системы дифференциальных уравнений зависит и эффективность всего алгоритма проектирования установки. [c.389]

Так как размерность системы га=3, можно сделать вывод, что система по каналу массообмена плохо управляема. Таким образом, с точки зрения управляемости канал гидродинамики является предпочтительным. [c.428]

При построении кинетической модели и проведении опытных исследований скорости сложной реакции встречаются значительные трудности, обусловленные увеличением размерности системы и взаимосвязанностью отдельных стадий процесса. [c.467]

Проведенные расчеты показали, что ортогональные полиномы Якоби аппроксимируют ближайшее к нулю собственное число с точностью 10 уже при N = 7. С ростом N точность последующих собственных значений возрастает, при этом возрастает и размерность системы. Число N варьировалось от 3 до 15. Наилучшая аппроксимация наблюдалась при а = = 0., [c.123]

При краевых условиях другого вида условия трансверсальности соответствующим образом видоизменяются. Впрочем, в данном случае вследствие увеличения размерности системы (VI 1,1) задачу обычно можно свести к задаче с краевыми условиями (VII,13). [c.181]

Правильным выбором разрываемых потоков можно существенно понизить размерность системы нелинейных уравнений, к которой сводится задача расчета статических режимов сложных схем. При этом вместо одной системы (111,7), (П1,8), (111,9) порядка 3/га можно решать две независимые системы нелинейных уравнений (111,11) и (111,10) каждая порядка т. Вторая задача, конечно, является несравненно более простой. [c.33]

Математические описания основного и сопряженного блоков можно упростить (уменьшить размерность системы дифференциальных уравнений), если учесть, что при т реакциях ж т< п в действительности только т переменных являются независимыми, а остальные выражаются через них. При этом для простоты примем дополнительно (такое предположение часто оправдывается на практике), что можно не учитывать изменение объема реакционной смеси. Как можно показать, математические описания (УП,83)—(УП,86) в данном случае эквивалентны соответственно следующим математическое описание основного блока [c.155]

В методе Ньютона с разностной аппроксимацией матрицы Якоби можно выделить два этапа на каждом шаге это сбор информации для построения аппроксимации матрицы Якоби и собственно поиск. На первом этапе поочередно даются приращения всем аргументам функции / (х), причем функция / (х) вычисляется в (л + 1) точках, и вычисляются элементы матрицы Якоби с помощью уравнения (II, 21). Второй этап — это собственно поиск, при котором в начале определяется направление поиска с помощью выражения (II, 15), а затем делается шаг в этом направлении. Благодаря тому, что эти два этапа разделены, на каждом шаге приходится вычислять функции / (х) Б (л + 1)-й точке. В этом заключен большой недостаток метода, особенно существенный, когда размерность системы (II, 8) велика. [c.31]

Последовательный подход. Вначале рассмотрим эту проблему применительно к последовательному подходу. Здесь уменьшение размерности задачи расчета ХТС достигается методами структурного анализа [47]. При этом решаются следующие задачи 1) в схеме выделяются комплексы — совокупности блоков охваченных обратными связями [3, с. 33] 2) определение внутри каждого комплекса оптимальной с точки зрения какого-либо критерия совокупности итерируемых переменных (II, 5). Обычно совокупность итерируемых переменных (II, 5) выбирается из условия, чтобы их суммарная размерность была минимальной. Положительные и отрицательные стороны такого выбора переменных (II, 5) обсуждаются в работе [3, с. 85]. Отметим здесь, что применительно к квазиньютоновским методам это более или менее оправдано, поскольку, как мы уже отмечали, можно считать при применении этих методов, что число итераций растет пропорционально размерности системы нелинейных уравнений. Уменьшаются требования и к размеру памяти, поскольку приходится хранить одну или две матрицы размерности fix/г. При использовании ориентированного на уравнения подхода так же, как и в предыдущем случае определяются комплексы, а внутри комплексов — оптимальные совокупности разрываемых потоков [48 17 18, с. 258]. [c.61]

Используем теперь ту же самую гипотетическую схему, что и при рассмотрении свойства 3, для сравнения последовательного подхода с параллельным, при котором используется квазиньютоновский метод с блочной аппроксимацией. В дальнейшем будем называть этот подход параллельным методом. При использовании последовательного метода в сочетании с любым квазиньютоновским методом 2-го рода потребуется п шагов (здесь п — суммарная размерность разрываемых потоков) для определения решения системы (II, 3), (I, 6) при этом потребуется 2п ячеек памяти для хранения матриц Я, и /С . При параллельном методе, как мы видели, для определения решения системы (II, 3), (I, 6) потребуется т шагов т — размерность одного потока). Это очень интересный факт. В данном случае число итераций определяется не общей размерностью системы, которая может быть очень большой (в данном случае она равна 2Ыт), а максимальной размерностью потока (блока). Причем при усложнении структуры ХТС (увеличение числа обратных связей) величина п может существенно возрасти, что в свою очередь приведет к увеличению числа итераций при использовании последовательного метода. В то же время при параллельном подходе число итераций будет определяться только размерностью т одного потока, независимо от сложности структуры ХТС. Конечно, эти выводы верны только для линейных систем, однако подобное свойство рассмотренных методов может проявиться и при решении систем, близких к линейным. Параллельный метод потребует 2Ыт ячеек памяти, поскольку в каждом блоке для определения необходимо использовать две матрицы см. выражения (II, 103), (II, 104). Отсюда ясно, что при т < п и применении параллельного метода число итераций будет меньше. При этом параллельный метод будет требовать меньшего объема памяти,I если ту 2М < п. [c.70]

Сложности анализа, возникающие при увеличении размерности системы как по зависимым, так и по независимым переменным, вынуждают нас искать упрощений. Они будут рассмотрены в следующем разделе. [c.118]

Если сделано п шагов в режиме "сетка", где п — размерность системы уравнений (зто означает, что на новом шаге интегрирования в уравнении (5.40) используется якобиан, полученный на предыдущих шагах. Таким образом, при решении уравнения (5.40) в режиме "сетка" не пересчитывается оператор С (Л)), или величина глобальной ошибки превышает заданное значение, то переходим к выполнению п. 2, в противном случае — к выполнению п. 4. [c.145]

Каждая компонента x(i) определяет различные свойства системы. Число N называется размерностью системы. [c.22]

Колебания представляют собой специфические решения динамических систем. Эти решения можно не только получить, но и установить некоторые различия между ними. Одним из факторов, приводящих к различным решениям, является размерность системы. (Ниже рассмотрены различные формы основных колебательных решений для разных размерностей.) Показано, что при увеличении размерности увеличиваются также возможности получения разнообразных колебательных решений. [c.67]

Размерность системы нелипейнглх уравнений, описывающих процесс ректификат,ИИ в сложных [разделительных системах, можно уменьшить, если значения энтальпий и , и // , разложить в ряд Тейлора в окрестности 7 и офаничиться лин 11ными членами. При этом будем иметь [c.64]

Метод является эффективным для понижения размерности системы линейных алгебраических уравнений путём разбиения на подсистемы меньшей размерности. При этом время расчёта значительно сокращается, так как решение системы и-ой размерности значите.ньно дольше решения двух подсистем размерности т и п-т. Как показали расчётные исследования, наиболее эффективно принимать т=п12 за счёт возможности использования при этом метода прогонки при решении подсистем линейных алгебраических уравнений размерности п/2. [c.77]

Этот расчёт можно значительно ускорить, если при преобразовании в методе Гаусса (или прогонки) матрицы [А] к треугольному виду преобразовывать не один столбеи свободных членов, а сразу п столбцов для всех п систем. Был выполшш расчёт 10 систем линейных уравнений размерности 10 отдельным и совместным решением. Расчёт показал, что время, затраченное на решение н последнем случае в 5 раз меньше. С увеличением размерности системы эффект ускорения счита становится ещё большим. [c.121]

Методы структурной оптимизации. Они предполагают на первом этапе определение способов реализации химического производства (выбор альтернативных способов ведения процесс на отдельных стадиях) и создание на их основе некоторой интегрально-гипотетической технологической схемы, включающей все возможные варианты распределения материальных и энергетических ресурсов. Оптимизация ведется по специально определенным структурным параметрам распределения потоков, значения которых обычно задаются в диапазоне от О до 1 и характеризуют разделение или разветвление некоторого выходного потока. Конечные значения параметров и определяют технологическую схему. Нулевые значения отдельных из них свидетельствуют об отсутствии соответствующей связи аппаратов. С математической точки зрения задача синтеза представляет собой решение систем нелинейных уравнений, соответствующих описанию отдельных элементов (подсистем), и уравнений, отражающих структурные взаимосвязи между этими элементами (подсистемами). Основными методами решения являются методы нелинейного программирования. В виду высокой размерности системы уравнений поиск оптимального решения (технологической схемы) представляет определенные трудности вследствие многоэкстремальности и нелинейности задачи. [c.438]

Решение расширенной задачи идентификации предполагает по данным наблюдения векторов и (<), у 1) (и, если возможно, № (), V (i)) опреде.т1ение структуры уравнений состояния, т. е. размерности системы (5.1), (5.2) нахождение вектора неизвестных параметров а f) и оценку вектора переменных состояния х (г). Все перечисленные вопросы связаны между собой и поэтому [c.282]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

Сложность решения задачи для группы месторождений обусловлена н личием ограничений (2), (3) и размерностью системы (5). Даже в том случа. когда Фо1=0 и Фо2=0, требуется определить оптимальные темпы закачки и отбор газа, удовлетворяющие названным ограничениям. При большом п, т.е. есл число месторождений в группе велико, то интегрирование систем (5) и уравн ний для сопряженных уравнений становится затруднительны.м. В связи с эти важным является исследование структуры решения оптимизационной задачи ее параметризации, что значительно облегчает построение оптимальной стратб гии. [c.219]

У рассмотренных подходов имеется один недостаток — на каждом шаге приходится решать систему линейных уравнений (IV, 135), поэтому может оказаться целесообразным использовать их только в случае, когда число активных ограничений в каждой точке будет мало, а следовательно, будет мала размерность системы линейных уравнений (IV,135). Правда, указанный недостаток имеет и положительную сторону. Действительно, решение системы (IV, 135) на каждом шаге гарантирует ортогональность векторов рх нормалям к гиперплоскостям, входящим в базис, что не дает возможности накапливаться ошибкам округления и приводить к нарушению этой ортогональности, как это может происходить при применении методов Гольдфарба и Муртага — Саджента. [c.156]

Имея в виду допущения, которые необходимы для обоснования разделения, отметим, что ни метод Галеркина, ни различные методы коллокации не требуют никаких ограничений на начальные условия и промежуточные состояния. Единственное неудобство, которое возникает при использовании связанных уравнений, состоит в увеличении размерности системы, что в свою очередь ведет к увеличению объема вычислений, обусловленному повышением порядка матриц. [c.172]

Далее, к уравнениям (VIII, 23) применяется методика коллокации. Детали решения совершенно аналогичны, но вследствие того, что размерность системы удвоена, можно ожидать, что вычисления дадут более строгие области. Это подтверждается рис. VII1-22, на котором представлены результаты, полученные для той же системы и параметров, которые были использованы для рис. VIII-21. [c.210]

Согласно гипотезе универсальности, предложенной в 1972г. К. Вильсоном, если различные по природа системы характеризуются одинаковыми размерностями физической системы d и одинаковыми размерностями параметра порядка н, то они ведут себя одинаково а Критическом состоянии. Иными словами, величины d п являются критериями, позволяющими разнести ФП по классам универсальности. С использованием методов теории пол я Вильсон и Фишер строго доказали, что размерности А, обладают свойством универсальности, т.е. зависят только от размерности системы и симметрии параметра порядка. Переходы с одинаковой размерностью параметра порядка относятся к одному классу универсальности. Совершенно различные физические явления обнаруживают поразительную аналогию межд , собой, например, ФП в жидких растворах, бинарных сплавах, анизотропных ферро- и антиферромагнетиках, ориентационные ФП в кристаллах ряда неорганических солей входят н [c.24]

Следовательно, оптимальной по быстродействию при отсутствии ограничений на число уровней является структура в виде бинарного дерева, и это хорошо согласуется с результатами, известными из теорш алгоритмов и баз даншк. Однако, характер зависимости С от / показывает, что самый большой выигрыш дает переход от одноуровневой к двухуровневой структуре, переход к трехуровневой структуре сопровождается гораздо меньшим эффектом, а дальнейшее наращивание числа уровней очень слабо улучшает значение критерия. Кроме того, в действительности при увеличении числа уровней в системе возрастают затраты на передачу информации между уровнями, которые вместе с друхими факторами снижают оперативность иерархической системы. Поэтому весьма вероятно, что в реальной системе зависимость О от / имеет минимум в области значений от двух до четырех, в зависимости от обпхей размерности системы. [c.95]

Ситуации, входящие в набор 8з, называются эталонными. В отличие от набора 8,= 8ь 8г,..., 8 типовых ситуаций, набор 88= 8ь 82, 8п) (п<=М) эталонных ситуаций не содержит нечетко равных при заданном пороге равенства сгпуаций. Это способствует уменьшению размерности системы и не снижает эффективности модели диагностирования в пределах достоверности, Офаничиваемых порогом равенства. [c.178]

Непосредственная реализация приведенной математической модели традиционными методами численного интегрирования весьма затруднительна ввиду высокой размерности системы уравнений, неудобной формы представления, нелинейности, невозможности корректной постановке начальных и граничных условий при наличии зоны охлаждения и для многоходовых по трубному пространству аппаратов. Последнее связано с тем, что длина пути интегрирования по пространственной координате ( ) не определена без решения задачи проектного расчета. Не определенным является вследствие этого и положение точки охл. Для многоходовых эппаратов неизвестно начальное рас- [c.81]

Первый ИЗ них связав с минимизацией стоимостных затрат на СИ, а второй - с минимизацией вариаций информативных координат ХТП и показателей качества продукции, возрастающей с увеличением размерности системы управления. Очевидно, что оба указанных фактора находятся в определенном противоречии, требующим принятия компромиссного решения. Для сложных систем трудность нахождения такого решения усугубляется сильной взаимосвязью координат обьектов, вследствие чего существекиую роль играет распространение погрешностей измерения отдельных переменных в системе. [c.91]

Метод Ньютона — универсальная основа для разработки алгоритмов гидравлического расчета. Присущая ему линеаризация системы уравнений на каждом шаге вычиашгельного процесса позволяет эффективно использовать особенности топологической структуры расчетной схемы цепи и многократно обращаться к линейным преобразованиям к контурным или узловым величинам. Это резко снижает размерность системы уравнений, которую фактически надо решать, и дает возможность для компактного представления к обработки исходной к промежуточной информации путем сетевой интерпретации вычислительных и логических операций. Кроме того, линеаризация позволяет использовать богатейший опыт алгоритмизации расчетов линейных электрических цепей. [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология