Частотная оптимальных фильтров

Задача о синтезе оптимальной по статистическому критерию системы (задача об оптимальном фильтре) была рассмотрена как в частотной области для одномерных систем, так и во временной области при описании многомерных систем в пространстве состояний. В результате решения первой задачи Н. Винер предложил общую формулу для определения частотной характеристики оптимального фильтра [c.236]

Точнее, частотная характеристика фильтра, осуществляющего оптимальный линейный прогноз остаточного процесса у(1) по X2(t). — Прим. перев. [c.209]

Оптимальный фильтр с неограниченным запаздыванием имеет прямоугольную частотную характеристику с поло- [c.224]

Используя эти выражения энергетических спектров, из равенства (4.4) для частотной характеристики оптимального фильтра получаем [c.123]

Следует отметить, что все приведенные здесь формулы, определяющие частотную характеристику оптимального фильтра, верны не только для функции fix, у), состоящей из трех или из двух компонент, но и для любого другого поля, состоящего из многих компонент, из которых аномалия f ix, у) является полезной, т.е. помехи fp и f , в свою очередь, могут состоять из нескольких составляющих. Все полученные формулы без особого труда можно распространить и на двухмерные задачи, при этом форма их останется без изменения. Это же относится и к детерминированным и случайным аномалиям. [c.124]

Частотная характеристика оптимального фильтра выделения аномалий является комплексной функцией. Поэтому при ее реализации необходимо учитывать и фазовую характеристику. [c.124]

Модулю частотной характеристики оптимального фильтра [c.124]

Из этого выражения более просто можно определить модуль частотной характеристики оптимального фильтра. Для этого [c.124]

С учетом фазовой характеристики частотную характеристику оптимального фильтра можно записать в следующем виде [c.125]

Для иллюстрации возможностей применения оптимальных фильтров выделения аномалий на рис. 9 показаны кривые частотных характеристик, рассчитанных для некоторых конкретных ситуаций в трехмерном осесимметричном случае [40]. Из рисунка видно, что кривые 4,9, 10 являются частотными характеристиками фильтров, выделяющих полезную аномалию на фо- [c.125]

Поэтому частотную характеристику оптимального фильтра, выделяющего полезную аномалию на фоне случайных помех, можно записать в следующем виде [41] [c.130]

Используя равенства (4.14) и (4,15) и полагая, что при со = = а 0 (со) = О, для частотной характеристики оптимального фильтра (4,13) находим [c.130]

Как видно из рисунка, полученные данные вполне удовлетворительно совпадают с исходными. При этом наибольшее расхождение наблюдается в центральной части кривой - в центральных трех точках. Это объясняется тем, что оптимальный фильтр выделения сигнала обеспечивает минимум средней квадратичной ошибки в среднем на всем интервале счета, а в отдельных точках профиля (в данном случае в центральной части) погрешность может превышать среднюю погрешность выделения аномалии. В случаях, когда необходимо достичь наибольшую точность в центральной амплитудной части кривой, указанный недостаток оптимального фильтра легко преодолеть, уменьшив интервал его счета. С этой целью рассчитан фильтр на малом интервале профиля (от -2 км до 2 км). Частотная характеристика этого фильтра дана на рис. 13, б (кривая 3), пунктирной линией 4 показана частотная характеристика способа усреднения по трем точкам. Данные опробования фильтра показаны на рис. 13, а кружочками. Как видно из рисунка, результат опробования намного лучше в центральной части, а в остальных точках не уступает в среднем данным опробования [c.131]

Результаты, полученные при построении этого рисунка, а также форма частотных характеристик оптимального фильтра указывают на то, что с небольшой погрешностью фильтр [c.132]

Ю,(со)-д/ (о)) Ф((о) ] /ш, где Ф(со) - частотная характеристика оптимального фильтра [c.134]

Это равенство определяет ошибку применения оптимального фильтра в общем случае, когда полезная аномалия коррелируется с помехами. Если аномалия / а(х) и помехи [ (х) не коррелированы, т.е. когда С ап( ) па( ) = О и частотная характеристика оптимального фильтра определяется равенством (4.13), то из формулы (4.25) получим следующее выражение [c.135]

Оценим ошибки оптимального фильтра для спектров полезной аномалии и помех, для которых построена частотная характеристика (4.16). С учетом равенств (4.14), (4.15) из выражения (4.26) после небольших преобразований получим [c.135]

Относительно увеличения значений у в зависимости от величины т следует сказать следующее. В случае, когда полезная аномалия является ограниченным вдоль профиля сигналом, не вся возможная длина кривой (см. рис. 15, а) соответствует оптимальному фильтру (4.13). Дело в том, что частотная характеристика (4.13) соответствует фильтру, вьщеляющему полезную аномалию на фоне некоррелированных помех. А при [c.136]

Рассмотрим частотную характеристику оптимального фильтра в трехмерном осесимметричном случае. В качестве полезной аномалии возьмем аномалию силы тяжести от точечной массы или от шара, спектр которой можно определить из равенства (см. табл. 1) [c.138]

С учетом этих значений Оа(р) и ( (р) для частотной характеристики оптимального фильтра выделения сигнала на фоне случайных помех в осесимметричном трехмерном случае при отсутствии корреляции между аномалией и помехами, полагая, что граничная частота аномалии меньше величины а, найдем [c.138]

Фильтры с прямоугольной формой частотной характеристики усечения спектра и оптимальные фильтры сглаживания рассмотрим более подробно ниже. [c.142]

Фильтр с прямоугольной формой частотной характеристики можно применить и для аппроксимации оптимального фильтра выделения аномалий на фоне случайных помех, и для сглаживания аномалий. В первом случае, сравнивая формулы (4.16) и (4.29), видим, что [c.144]

Что же касается при этом выбора со,, то его значение можно принять равным величине со, при котором значение частотной характеристики оптимального фильтра Ф(со) примерно составит 0,1 от максимальной ее величины. При этом в формуле (4.31) значение п можно ограничить числами 4-7, несколько изменив значения коэффициентов последних одного-двух членов таким образом, чтобы выполнилось равенство [c.144]

После такого ограничения форма частотной характеристики подбирающего фильтра будет несколько отличаться от прямоугольной, но больше приблизится к форме частотной характеристики самого оптимального фильтра. [c.144]

Оптимальные фильтры сглаживания можно строить следующим образом. Из выражений частотных характеристик оптимальных фильтров выделения аномалий на фоне случайных помех (4.16) и (4.28) видно, что при больших значениях (О и р их можно аппроксимировать функциями [c.145]

Выражения (4.38), (4.39), определяющие функции Ф(со) и Ф(р), найдены из частотных характеристик фильтра с прямоугольной формой частотной характеристики (левые части кривых) и оптимального фильтра выделения аномалий на фоне случайных помех (правые части кривых). При этом левые части полученных выражений идеально без искажений пропускают низкочастотные составляющие аномалий, а правые части, построенные с учетом особенностей полезной аномалии и помех, подавляют последние по закону оптимальных фильтров выделения аномалий. [c.146]

Рис. 17. Частотная характеристика оптимальных фильтров сглаживания аномалий

ЭТОМ же рисунке показан график (кривая 2) изменения частотной характеристики оптимального фильтра выделения аномалий на фоне помех (4.16), соответствующего взятым параметрам аномалий, а именно, функции [c.147]

График изменения этой функции, приближенно реализующей частотную характеристику оптимального фильтра сглаживания (4.43), показан на рис. 17 (кривая 3). Как видно из рисунка, она достаточно точно аппроксимирует точную частотную характеристику. Тогда вычислительную схему, соответствующую частотной характеристике (4.46), можно записать в виде [c.148]

В работе В.Н. Страхова и М.И. Лапиной с учетом указанной выше аналогии между сглаживанием и пересчетом на высоту даны рекомендации для определения 2 . Их методику с небольшими изменениями можно применить и к аномалиям, выделенным на фоне случайных помех, но в случае применения оптимальных фильтров вьщеления аномалий для определения 2о лучше всего пользоваться специальной методикой, прямо учитывающей форму частотных характеристик применяемых фильтров. Рассмотрим подробно эту методику. [c.159]

Для определения трансформированных значений аномалии оптимальными фильтрами выделения аномалий на фоне случайных помех рассмотрим их частотные характеристики (4.16) и (4.28), которые для аномалий, соответствующих спектрам [c.161]

Функции Ф, и Ф2 - составляющие приближенных частотных характеристик - такие, что при всех значениях со истинная (точная) частотная характеристика оптимального фильтра Ф((о) меньше или равна приближенной. Поэтому можем записать [c.161]

Подставляя найденные выражения частотных характеристик Ф(й>) и Ф(р), определяемые равенствами (4.74) и (4.75), в формулы (4.68) и (4.69), для трансформированных оптимальным фильтром значений аномалий со спектрами (4.66) и [c.162]

Из формулы (4.80) можно определить го по известному значению произведения тк. Следует отметить, что полученные здесь глубины го и формулы для определения гц из-за применения предельных частотных характеристик оптимального фильтра выделения аномалий на фоне случайных помех также являются предельными. Более точно го можно найти по изложенной методике с использованием точных значений частотных характеристик Ф(со) и Ф(р). [c.164]

Из этого выражения видно, что при / 2 < 2/г, рассматриваемым оптимальным фильтром является способ аналитического продолжения аномалий в области нижнего полупространства на глубину 2/г, - /22, при / 2 > 2//, - способ аналитического продолжения в области верхнего полупространства на высоту 12 - 2/г, и, наконец, при / 2 = 2/г, частотной характеристикой оптимального фильтра является постоянная величина, т.е. для максимизации отношения сигнал/помеха просто нужно умножить суммарную аномалию на величину Сй2/о,. При 2 < 2/г,, т.е. при аналитическом продолжении в нижнее полупространство, происходит увеличение интенсивности и полезного сигнала, и мешающей аномалии. Поэтому максимизация отношения сигнал/помеха происходит из-за более сильного увеличения значений полезной аномалии, чем помехи. [c.177]

Тогда частотная характеристика оптимального фильтра перепишется в следующем виде [c.178]

Частотную характеристику рассматриваемого оптимального фильтра обнаружения аномалий представим в виде ряда, имеющего вид частотной характеристики дискретных вычислительных схем [c.180]

Вторая из указанных выше задач решена Р. Э. Калманом и Р. С. Бьюси, которыми предложен метод определения уравнения оптимального фильтра как для стационарных, так и нестационарных марковских случайные сигналов. Для одномерных систем, испытывающих действие стационарных случайных сигналов, уравнение оптимального фильтра Калмана—Бьюси приводит к такой же частотной характеристике, какую имеет оптимальный фильтр Винера [38]. [c.237]

Однако по практическим и финансовым причинам иногда приходится ограничивать длительность регистрации и получать разрешение меньше оптимального. Например, для на 25 МГц для получения разрешения 1 Гц потребовалось бы 11 ООО (11 К) слов в памяти ЭВМ или при разумной крутизне спада частотной характеристики фильтра около 16 К слов. Для на 94 МГц сравнимое разрешение (без учета фильтра) можно получить при 56 К слов. Таким требованиям можно удовлетворить, используя относительно дорогие вычислительные системы с памятью на магнитных дисках, могущие принимать данные с очень высокой скоростью однако в большинстве установок используются мини-ЭВМ с памятью 8—12/С (точнее, 8192—12 288 слов), причем часть памяти обычно необходимо использовать для хранения программ ЭВМ. Как мы увидим, наибольшая эф ктив-ность преобразования Фурье достигается при числе точек входного сигнала, равном 2", где п целое, о иногда еще более увеличивает требования к памяти. [c.112]

Определение частотной характеристики. Если пользуются способами трансформации, частотные характеристики которых не зависят от характера преобразуемой аномалии (способы аналитического продолжения аномалий, вычисления высших производных и др.), то известна частотная характеристика трансформации Ф и необходимо только в определенных случаях задаваться параметрами трансформации, например, значением высоты или глубины аналитического продолжения аномалий. В других случаях, когда значения частотной характеристики зависят от характера изменения исходной аномалии, ее значения вычисляются в процессе трансформации, например, частотные характеристики оптимальных фильтров выделения аномалий, фильтров сглаживания, адаптивных фильтров и др. [c.76]

Необходимо обратить внимание на то, что общая погреи]ность обсчета хроматограммы часто определяется неверной настройкой интегратора. Поэтому перед началом работы операгср должен тщательно выбрать и задать на панели управления интегратора оптимальные нменно для данного анализа чувствительности по наклону, скорости 1 оррекции дрейфа нулевой линии, границы пропускания аналогового частотного фильтра и т. Д- Ненужное ужесточение этих параметров, как правило, приводит к потере части информации. Например, если установить очень боль1лое значение крутизны сигнала или скорости коррекции дрейф 1 нуля, то резко возрастут потери площади пиков из-за задержки [c.96]

Но гфи таком уширении линии понижается ее высота. Следовательно, отношение высоты пика к амплитуде шума прн умножении ССИ иа не обязательно улучшается. Тщательный анализ проблемы показывает, что чрезмерное уширение линин, т. е. выбор слишком маленькой величины а, понижает чувствительность. В то же время большие величины а не дают заметного эффекта. Существует оптимальный баланс между понижением шума и эффектами уширения линии, достигаемый при а = Т2, т. е. тогда, когда взвешивающая функция удваивает ширину линии в частотном представлеиин. Эта взвешивающая функция известна как согласованный фильтр и является наиболее подходящей для получения лучшей чувствительности (рнс. 2.18). Отметим, что термин согласованный означает согласованность с ССИ по скоростн спада огибающей , так что, если огибающая-экспонента, идеальный согласованный фильтр также экспоненгшальный. [c.47]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология