Численное дифференцирование и интегрирование

Применение численных методов для решения ряда практических задач. На практике при обработке экспериментальных данных исследователи зачастую сталкиваются с необходимостью проведения таких операций, как дифференцирование, интегрирование, сглаживание полученных на опыте зависимостей. Применение численных математических методов в сочетании с использованием возможностей современной вычислительной техники позволяет существенно ускорить и повысить точность этих операций. [c.66]

Сочетание уравнения (2.71) с уравнением изотермы Фрумкина (2.45) дает возможность рассчитать зависимость степени заполнения 0 от потенциала ф при различных заданных концентрациях органического вещества сд. Кроме величин Во, Гд " и а, которые можно найти из опытной изотермы адсорбции при ф = 0, проведение такого расчета требует знания адсорбционных параметров С и ф,v, а также зависимости от ф в чистом растворе фона. Последняя находится либо численным дифференцированием электрокапиллярной кривой в растворе фона (оо, Е-), либо численным интегрированием Со, Я-кривой, Параметр С обычно определяют экстраполяцией опытных значений емкости при потенциале максимальной адсорбции ф, (где С, -кривые проходят через минимум, см. рис. 1.11,6) к бесконечно большой концентрации адсорбата, т. е. к 1/сд = 0. Величина <рл может быть найдена экстраполяцией опытных сдвигов потенциала нулевого заряда к 1/сд = 0, а также из значения потенциала максимальной адсорбции. В самом деле, при ф = фт 1п В(ф)/с ф = 0, а потому, как следует из уравнения (2.71), [c.67]

Расчет можно вести либо графическим, либо аналитическим (численным) методом. Поскольку здесь излагается лишь принципиальная основа таких расчетов, то почти полностью опускаются описания очень важных элементов подобной работы. К ним относятся оценка точности полученных экспериментальных результатов и критерий их пригодности для дальнейших расчетов сглаживание экспериментальных данных выбор метода расчета практические приемы графического и численного дифференцирования и интегрирования. По всем [c.28]

Особенность этой системы уравнений состоит в том, что в нее, наряду с измеренными функциями y t), входят интегралы от у 1), которые можно получить численным интегрированием измеренной функции. Причем численное интегрирование, в отличие от численного дифференцирования, приводит к сглаживанию погрешностей эксперимента. [c.270]

Начальные сведения о методе сеток даны в первых двух главах книги. Сначала (глава 1) рассматриваются основные применения метода сеток для функций одного иеременного интерполирование, численное интегрирование и численное дифференцирование, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Численное дифференцирование и интегрирование [c.490]

Другим важным свойством цифровых фильтров является возможность использовать их для дифференцирования и интегрирования сигналов. Операции численного дифференцирования и интегрирования хорошо известны в прикладной математике. Для их осуществления следует только надлежащим образом подобрать коэффициенты для отдельных точек. [c.490]

Очевидно, что в уравнении суммы квадратов разностей вместо и могут быть записаны х%- и х -. Для этого необходимо, чтобы уравнения скоростей реакций при заданном наборе и , были предварительно проинтегрированы. Однако применение стандартных численных методов интегрирования к системам уравнений скоростей, описывающих сложные химические реакции, связан с значительными трудностями. Здесь, во-первых, возможно получение неустойчивых решений вплоть до появления отрицательных значений Хц-. Это обусловлено прежде всего различием в величинах констант 1, 2, , И/, которые могут отличаться одна от другой на 5—10 и более порядков. Во-вторых, интегрирование уравнений скоростей реакций требует значительного увеличения машинного времени, что может быть оправдано только в тех случаях, когда это обусловлено либо алгоритмом применяемого метода для расчета констант, либо большими погрешностями в величинах И f, при отыскании их путем графического дифференцирования кинетических кривых. Предпринимаются попытки преодолеть указанные труд- [c.116]

Величины Fi (г = 0, 1, 2,. . . ) называются опорными функциями. Их значения находятся путем численного расчета по экспериментальной кинетической кривой у = f (г). Например, в полученном уравнении для определения F и F требуется численное дифференцирование. В других случаях для отыскания Fi необходимо проводить численное интегрирование, например J t/dr, J y dx и т. д. Значения констант к находятся либо простым решением алгебраических уравнений, найденных для ряда точек кинетической кривой, либо способом наименьших квадратов. [c.148]

Численное дифференцирование и интегрирование можно осуществлять, например, по соответствующим формулам Лангранжа. [c.84]

Результаты экспериментальных исследований являются основой для дальнейших расчетов различных характеристик, сопоставления с известными моделями процессов, а также для построения новых моделей. Рассмотрим основы статистической обработки данных и некоторые практически важные вопросы использования численных методов для решения часто встречающихся в электрохимии задач (метод наименьших квадратов, интерполирование, численное интегрирование и дифференцирование, численное решение уравнений и т. д.). [c.52]

Наиболее распространенными методами извлечения полезной информации являются различные алгебраические преобразования, сглаживание, корреляционный анализ, свертка, дифференцирование и интегрирование. Предварительно информацию, поступающую с прибора в непрерывном аналоговом виде (например, на самописец), подвергают оцифровке для хранения ее в памяти компьютера. В этом случае выделение полезного сигнала осуществляют численными методами. [c.478]

Для процессов с простой реакцией, когда принятое кинетическое уравнение имеет вполне определенный порядок и легко интегрируется, определение констант и проверку пригодности уравнения проводят обычно с помощью методов, использующих интегральную форму кинетических зависимостей. Если интегрирование уравнений скоростей реакций затруднено, то расчет констант проводится с применением дифференциальных методов. При этом численные значения скорости реакции (в случае получения опытных данных в интегральном виде) находятся путем графического дифференцирования кинетической кривой. [c.115]

Этаны дифференцирования и интегрирования осуществляют методами численного анализа. Обычно применяют графическое дифференцирование функции Д/ (Р) (Р) , а интегрирование ведут с помощью стандартизованных таблиц функции (рР). Производную [c.115]

Численный эксперимент и анализ полученных результатов показали, что операции интегрирования и дифференцирования приближенных функций распределения температуры приводят к небольшим ошибкам в определении полей термоупругих напряжений. [c.374]

Первая составляющая окружных касательных сил, Т1, определялась графическим дифференцированием кривых распределения удельных давлений по длине контакта. График Т1 представлен на рис. 6. Касательные усилия Т2 определялись численным интегрированием разности — ео по длине контакта. Характер изменения показан на рис. 6. [c.57]

Другие физические величины можно выразить в единицах СИ как производные от названных выще путем соответствующего их умножения, деления, интегрирования и (или) дифференцирования без введения каких-либо численных множителей (в том числе умножения на десять). Ниже приведены наиболее распространенные единицы. [c.201]

Триплет — триплетная аннигиляция. Триплет — триплетная аннигиляция наблюдается при увеличении концентрации триплетных молекул. Явление триплет — триплетной аднигиляции наблюдается для антрацена при увеличении его концентрации или увеличении энергии вспыш ки. Осциллограмма гибели триплетов антрацена снимается на длине волны 425 нм. Кинетическая обработка данных проводится методом графн>ческого дифференцирования. Строится зависимость Ig от AD, из которой находится константа первого порядка k и отношение /гг/е. Принимая во зннмание значение е = 6,3-10 , определяется 2- Константы к и 2 могут быть также определены методом численного интегрирования [c.193]

Далее, согласно уравнению (10), поверхностное натяжение дифференцируется по химическому потенциалу. Обе константы интегрирования обычно определяются из независимых измерений Е и у . До недавнего времени интегрирование проводилось графически, се ас для этой цели используются цифровые вычислительные машиньи Точность этой стадии анализа зависит лишь от качества экспериментальных данных. Точность определения поверхностного избытка ограничена операцией дифференцирования в уравнении (10), которую можно также выполнить графически или численными методами. На основе различных соотношений, следующих из урашения (1), были развиты иные методы обработки данных измерения емкости. Обсуждение этих методов не входит в задачу настоящей главы. Здесь достаточно лишь отметить, что в любом варианте такого анализа необходимо двойное интегрирование и одно1фатное дифференцирование. При этом, если интегрирование не приводит к ошибке, то дифференцирование существенно ограничивает точность, с которой могут быть получены значения поверхностных избытков. Подробное описание этих методов можно найти в обзоре Делахея [9]. [c.66]

На висмуте изучена специфическая адсорбция катионов Na+, К , NH4+, Rb+, s+ и анионов С1 , Вг", J, NO3 , N", S N , O N из перечисленных выше растворителей [18, 20, 31—38]. Во всех случаях при варьировании т получаются серии С,ф-кривых, которые сливаются с кривой фона при анодных (кати-он-активные) или катодных (анион-активные системы) потенциалах (рис. 4,а,б). После двухкратного численного интегрирования этих кривых получается зависимость двумерного давления Ag от 1п(тс), графическое дифференцирование которой при различных е дает зависимость заряда специфической адсорбции 81 от S [30]. Для преодоления трудностей, связанных с малой точностью графического дифференцирования А , 1п(/пс)-кривых при низких тс, значения 81 были рассчитаны также по сдвигу потенциала Аф, вызванному специфически адсорбированными ионами при данном е — onst [30]. Хотя последний способ строго оправдан лишь при конгруэнтности изотермы адсорбции по отношению к заряду, в работе [38] специальным теоретическим анализом показано, что ошибка в величине 8ь возникающая из-за отклонения от условий конгруэнтности в этом методе, заметно меньше, чем при графическом дифференцировании Ag, 1п (тс)-кривых при низких тс. [c.106]