Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Первый из них (наиболее очевидный, но требующий больших затрат времени) — метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. Это удобно, если требуется проверить конкретное начальное условие или результат, полученный другим методом. Как указывалось выше, метод коллокации применим к модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом и трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом. Но может быть использован и другой вычислительный аппарат. [c.239]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполнения граничных условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы понять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных машинах. [c.227]

Расчет высоты хемосорбционных колонн в настоящее время проводится по уравнению массопередачи, не -посредственное интегрирование которого для процессов хемосорбции является невозможным. Поэтому при расчете хемосорбционных колонн используются такие трудоемкие методы расчета как метод расчета "от тарелки к тарелке" или метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. [c.164]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Проверку термодинамической согласованности данных для тройных систем, как и для бинарных систем, можно производить на основании аналитических зависимостей, являющихся частными решениями дифференциальных уравнений, или путем интегрирования этих уравнений численными методами. Численное интегрирование дифференциальных уравнений для тройной системы потребовало бы громоздких расчетов и большого количества экспериментальных данных, в особенности когда исследования проводятся в широком интервале температур. Поэтому предпочтительным является первый путь. Для тройной системы кислород — аргон — азот составление уравнений облегчается тем, что в результате изучения трех бинарных систем установлен их симметричный характер. [c.51]

Толчком к развитию полуэмпирических теорий второго этапа явилось создание надежных термоанемометрических устройств и накопление к тому времени экспериментального материала по пульсационным характеристикам пограничного слоя. Этому способствовали также достижения в области вычислительной техники и разработка новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. [c.78]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Для ламинарного пограничного слоя как несжимаемой жидкости, так и сжимаемого газа при переменном давлении во внешнем потоке существуют различные методы расчета. Наиболее точные методы основываются на численном интегрировании дифференциальных уравнений и требуют применения вычислительных машин. Для турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости разработаны приближенные, полуэмпирические методы расчета. В случае небольшого градиента давления во внешнем потоке расчет турбулентного пограничного слоя сжимаемой жидкости может быть произведен при условии, что влияние градиента давления учитывается лишь в интегральном соотношении количества движения (59). При этом считается, что профили скорости и температуры, а также зависимость напряжения трения от характерной толщины пограничного слоя имеют такой же вид, как и в случае обтекания плоской пластины. [c.338]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

W --Ttr 7С/-. При очень точных измерениях учитывают отклонение формы, мениска от сферической (особенно, когда применяются широкие капилляры). С этой целью используют результаты численного интегрирования дифференциального уравнения Лапласа (см. с. 32), которые приводятся в таблицах. Метод капиллярного поднятия может давать точность определения поверхностного натяжения до десятых и сотых долей мН/м. [c.37]

Верхняя и нижняя оценки, определяемые неравенствами (81) и (82), обычно весьма близки [ ], а интегралы в формулах (81) и (82) не слишком сложны для расчета, поэтому эти оценки могут быть использованы для получения весьма точных приближений для массовой скорости горения т и это требует меньшей затраты труда, чем применение итерационных методов или численное интегрирование дифференциального уравнения. [c.174]

В настоящее время микрокомпьютеры не обладают достаточной мощностью для быстрого выполнения сложных теоретических расчетов, но их можно использовать для решения более простых задач по расчету молекулярных орбиталей, аналогичных расчетам по простому [10] или расширенному методу Хюккеля [11]. Они особенно удобны для статистического обсчета данных анализов, в котором вычисления просты, но слишком монотонны для выполнения вручную. Микрокомпьютеры также могут быть очень полезны для получения численных решений полиномиальных уравнений, систем линейных уравнений, для точного расчета pH [12] или численного интегрирования дифференциальных уравнений в химической кинетике [13]. [c.90]

На той же машине Минск-32 методом нелинейных оценок с численным интегрированием дифференциальных уравнений и нахождением [Св — в 1, 2. 3, Й4)р были подобраны такие константы k, обеспечивающие минимум остаточной суммы квадратов e, = 0,0108 0,002 л/(моль мия) = 0,182 0,035 л/(моль мин) [c.300]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (67) — (68) или (69) — (70) возможно при помощи разнообразных методов численного интегрирования, при условии, если известны численные значения коэффициентов С . .. Сз. Практически решение потребует огромной вычислительной работы, которую можно облегчить, применяя машинную вычислительную технику. Однако для получения правильных кинетических заключений нет нужды в проведении скрупулезного решения и достаточно будет в первом приближении решения упрощенной задачи. [c.135]

При низких давлениях проверка развитой выше теории радикально-цепного крекинга алканов, начинающегося на стенках и замедленного влиянием продуктов крекинга в объеме, была проведена расчетным путем для газообразных алканов в кандидатской диссертации И. Ф. Бахаревой [203). Для решения нелинейных дифференциальных уравнений (83), (92) и др. был впервые применен метод С. А. Чаплыгина [209], что позволило в отличие от других методов численного интегрирования получать решения в аналитической форме и оценивать погрешность расчета, а также оценить точность метода квазистационарных концентраций [210], широко применявшегося выше и вообще при исследовании разнообразных задач химической кинетики. [c.149]

Если химический процесс состоит из двух или нескольких последовательных реакций, то кинетика его описывается системой дифференциальных уравнений. Решение этой системы в общем случае может быть получено лишь методами численного интегрирования. Могут быть проинтегрированы в квадратурах лишь системы дифференциальных уравнений, описывающих кинетику любой совокупности последовательных реакций первого порядка, а также кинетику двух последовательных реакций, если первая из них является реакцией второго порядка, а вторая — реакцией первого порядка. [c.190]

В общем случае число стадий может быть больше двух. Кинетика последовательных реакций описывается системой дифференциальных уравнений, которая может быть решена лишь методами численного интегрирования. В аналитическом виде получаются решения только для совокупности последовательных реакций первого порядка. [c.264]

Аналитический метод решения гидравлических задач, заключающийся в составлении и интегрировании дифференциальных уравнений движения жидкости, применим лишь для простейших потоков. В большинстве практически важных случаев характер движения жидкостей оказывается настолько сложным, что составить уравнения, точно описывающие движение, не представляется возможным. Обычно в таких случаях в реальное движение вносят упрощения (например, предполагают, что между движущимися частицами жидкости отсутствуют силы трения) и уравнения движения составляют й интегрируют для выбранной упрощенной модели. Если полученные уравнения не могут быть точно проинтегрированы, то их интегрируют численно, или, если позволяет физическое содержание задачи, упрощают (например, линеаризуют), приводя к интегрируемому типу. [c.3]

Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает принципиальных осложнений. Нахождение решений уравнений с частными производными с помощью ЦВМ связано с рядом трудностей. Исходные уравнения обычно преобразуются в конечно-разностные соотношения, решение которых может оказаться неустойчивым при неудачном выборе интервала квантования по времени и пространственным координатам. Иногда уравнения в частных производных преобразуют в обыкновенные дифференциальные уравнения (метод характеристик). Сведения о численных методах интегрирования дифференциальных уравнений можно найти в литературе [14]. [c.65]

Процедура интегрирования. Как указывалось в гл. II, принципиальная трудность при попытке решить дифференциальные уравнения методом численного интегрирования состоит в выборе наиболее целесообразного шага интегрирования. Если шаг интегрирования слишком большой, то в процессе счета будут накапливаться существенные ошибки, особенно для уравнений с малыми постоянными времени. С другой стороны, если взять небольшой шаг интегрирования (для того чтобы преодолеть эту трудность), чрезмерно возрастет время счета. [c.49]

Подстановка в уравнение (2.4.6) какого-либо выражения, определяющего скорость реакции, например (2.4.9), дает систему нелинейных дифференциальных уравнений для / концентраций или 2Ь степеней превращения. Решение этой системы, за исключением простейших случаев, когда его можно найти аналитически, требует привлечения методов численного интегрирования или использования упрощающих предположений, основанных на соображениях, связанных с химическими процессами. [c.86]

Динамический анализ систем с конечным числом степеней свободы, в том числе нелинейных при одинаковой закономерности кинематического возбуждения опор, проводится методами численного интегрирования систем дифференциальных уравнений вида [c.495]

Основная особенность моделей второго приближения заключается в необходимости использования численных методов интегрирования дифференциальных уравнений движения и, следовательно, в применении электронно-вычислительных машин. [c.401]

Дифференциальные уравнения переноса, геометрические и физические характеристики системы, граничные и начальные условия составляют математическое описание процесса. Его можно использовать для расчета конкретного процесса. Такой расчет заключается в интегрировании соответствующего уравнения переноса (или системы уравнений) с учетом перечисленного выше комплекса сведений, характеризующих данный конкретный объект. Вследствие сложности уравнений переноса их интегрирование представляет большие трудности, однако оно возможно за счет упрощения этих уравнений путем исключения из них членов малой значимости и использования методов численного интегрирования с помощью ЭВМ. Принципы таких расчетов для различных процессов изложены в последующих главах. Результатом расчетов является получение числовых значений искомых величия. [c.67]

К третьему направлению можно отнести числовые методы [4, 5]. Например, в работе Ф. А. Бухмана и других [4] излагается метод численного интегрирования систем дифференциальных уравнений химической кинетики для случая, когда некоторые из констант скоростей на много порядков превышают остальные при прочих равных условиях. Метод был применен для численного интегрирования системы ки- [c.5]

Коутецкий и Корыта методом численного интегрирования дали решение нелинейного дифференциального уравнения в частных производных для реакции диспропорционирования, замедленной в последующей стадии, с равновесием, сильно сдвинутым в сторону продуктов реакции. [c.311]

Волпицелли [249] была также предпринята попытка количественно связать конверсию озона с гидродинамикой слоя методом, численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих распределение потока во время цикла пульсации, вместе с уравнением скорости реакции. Первые из упомянутых уравнений основаны на проведенном Волпицелли математическом, анализе, относящемся л началу фонтанирования (см. главу 2), Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данньши некоторое превышение рассчитанных величин происходило, возможно, из-за не вполне обоснованного допущения (необходимого для расчета распределения потока) о том, что плотный слой, окружающий полость, ведет себя как изотропный, в течение всего цикла пульсации. [c.242]

Бивертон и Холт проделали большую работу, обобщив полученные результаты для более сложных структур популяций промысловых рыб, а также для некоторых нестационарных режимов эксплуатации. Попытки введения в модель переменной смертности или зависимости темпа роста от кормовых условий привели или к получению настолько громоздких формул, что практическое использование их становилось невозможным, или заставляло обращаться к численным методам решения дифференциальных уравнений. Последний путь по существу равносилен переходу от непрерывно-непрерывной модели к дискретно-непрерывной, так как все методы численного интегрирования дифференциальных уравнений основаны на замене производных отношениями конечных приращений. [c.25]

Поиск констант для каждого из механизмов производился с таким расчетом, чтобы достигала минимума сумма квадратов отклонений опытных значений концентраций, приведенных на рис. 36, и концентраций, получаемых при численном интегрировании дифференциальных уравнений кинетики, соответствующих данному механизму. Определение координат минимума проводилось методом оврагов Гельфанда—Цетлина [47, 109], подробно описанным выше (стр. 101). [c.158]

Выбор численного метода решения (метод определителей, метод исключений графические методы отделений корней уравнения метод наименьших квадратов, итерационные методы итерационные полиномы методы приближенного вычисления интегралов, метод прямоугольников, трапеций и парабол методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений и др.). Априорная оценка ошибки. Определение величины шагов в ко-нечно-разностных схемах. Определение разрядности чисел. [c.58]

Методом нелинейных оценок с численным интегрированием дифференциальных уравнений и нахождением 2[Св—Св( ь 2. з, 4)] были подобраны константы к, обеспечиваюшие минимум остаточной суммы квадратов [c.153]

Дифференциальное уравнение (5.77) может быть проинтегрировано одним из известных методов численного интегрирования, если известна зависимость между температурой Т парогазовой смеси в ядре потока и температурой Tf поверхности конденсации. Нахождение такой эавигимости, однако, сопряжено с большими трудностями, так как на величину Г/ оказывают влияние многие факторы. [c.171]

Влачопулос исследовал температурное поле численными методами, использовав для этого метод конечных элементов и метод конечных разностей [20, 21 ]. При таком подходе метод конечных элементов применяется для определения поля скоростей, которое в дальнейшем используется для интегрирования методом конечных разностей дифференциального уравнения теплового баланса и для расчета поля температур. Некоторые из полученных этим методом результатов будут изложены ниже (разд. 16.4). [c.595]

Хотя цифровые машины решают дифференциальные уравнения в основном методом последовательных приближений, для сложных систем уравнений существуют более тонкие методы численного интегрирования. Ошибка вычисления существует и при решении на аналоговых вычислительных машинах, и исследователь должен уметь оценивать точность получаемого решения, особенно при Ентегрпрова-нип, где ошибки также интегрируются. [c.39]

Численное интегрирование системы уравнений (3.11) - (3.13) основывается на алгоритме раздельного счета давления, насыщенности и концентрации полимера на каждом временном шаге. Уравнения (3.11) и (3.12) аппроксимируются конечно-разностными соотношениями на обычной прямоугольной эйлеровой сетке. Уравнение (3.13), описывающее перенос полимера по пласту, решается методом частиц в ячейке . Методы численного решения уравнений (3.11) и (3.12) известны и подробно изложены в специальной литературе по численному решению дифференциальных уравнений. Укажем лишь, что уравнение для давления аппроксимируется на стандартном пятиточечном шаблоне, а для расчета насыщенности применяется схема уголок или известная схема Колгана. [c.184]

В.М. Кисаров (Филиал Государственного научно-исследовательско-го", института по промышленной и санитарной очистке газов, Дзер жинск). Известно, что решение дифференциального уравнения диффузии для нелинейной изотермы адсорбции сопряжено с большими математическими трудностями, поэтому при обработке экспериментальных данных часто прибегают к методам численного интегрирования. Задача еще более усложняется, когда кинетика адсорбции зависит также и от скорости внешнего массообмена. Поэтому при обработке результатов опытов по скорости адсорбции паров активными углями из потока газа-носителя (воздуха) в нашей совместной работе с Д. П. Тимофеевым был сделав несколько иной подход к решению задачи, который дал возможность получить следующее приближенное кинетическое уравнение [1, 2] [c.453]

Отметим, что функции и в (I) неотрицательны при неотрицательных значениях аргументов. Дта большинства сложных химических реакций характерен большой разброс величин констант скоростей. Для таких реакций соответствуюпще им системы дифференциальных уравнений (I) относятся к классу так называемых "жестких" систем [3], для которых неприменимы многие известные методы численного интегрирования [ 3 ]. Так методы численного интегрирования, основанные на применении явных разностгшх схем, приводят к очень малым шагам по времени т и поэтому требуют чрезмерных затрат машинного времени даже для ЭВМ с большим быстродействием [3], [4]. [c.28]