Теорема Пойа

Пойа [555] указал способ, как с помощью циклического индекса соответствующей группы перестановок можно перейти от комбинаторного подсчета числа всех конфигураций к подсчету их классов эквивалентности. Воспроизведем в сокращенном виде первоначальный вывод [555] теоремы Пойа. [c.134]

Отметим, что теорема Пойа позволяет получить только рекуррентные формулы для коэффициентов ряда (159). Функция (159) является основой подсчета числа изомеров для широкого спектра химических соединений, главным образом ациклических. [c.138]

Третья теорема по д.о бия, или теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает [c.73]

Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы по-видимому, оно [c.131]

Другой интересный результат — это теорема Пойа о том, что из всех плоских областей, имеющих данную площадь, круглый диск обладает наименьшей усредненной присоединенной массой [c.211]

Проанализированные в книге феноменологические подходы касаются главным образом термодинамических аспектов изомерии и вопросов подсчета числа изомеров. В разработку некоторых вопросов, в частности термодинамических, автор внес определенный вклад (в списке литературы его работы составляют 5%). Особенно интересным представляется материал по перечислению изомеров, основанный на теореме Пойа. Мощный аппарат Пойа до сих пор не входил в широко известные курсы и, как нам кажется, должен привлечь внимание широкого читателя. [c.7]

Рис. 20. Иллюстрация использования теоремы Пойа при построении производящих функций для подсчета числа изомеров полностью замещенного бутадиена (два типа заместителей X, Y) и замещенного бензола (один тип заместителя, обозначенного звездочкой).

В отличие от теоремы Пойа техника итерационного подсчета не носит общего характера — для каждого типа задач нужно находить свои особые рекуррентные формулы. Сейчас в литературе имеются такие формулы для некоторых гомологических рядов (см. обзор [23]), в том числе для классического ряда алкапов [561]. Итерационный подсчет по сравнению с теоремой Пойа имеет простую математическую структуру, основывается только на комбинаторных соображениях (а не на сочетании комбинаторики с теорией групп). С другой стороны, расчеты по рекуррентным формулам легко реализуются на ЭВМ [23]. [c.142]

В настоящее время в литературе имеется [23] сравнительно много результатов подсчета числа изомеров как с помощью теоремы Пойа, так и на основе итерационного подхода. Подсчет изомеров в ациклических рядах обсуждается в работе Рида [562], а для циклических соединений — в статье Балабана [563]. Все больше подсчетов в последнее время проводится на ЭВМ отметим, например, программы для подсчета числа изомеров алканов [564] и координационных соединений [565]. Кроме подсчета на ЭВМ проводится также исчерпывающее конструирование возможных изомеров— см., например, процедуру [566] для ациклических структур, или программу [567] для генерации как циклических, так и ациклических изомеров. Программы этого типа важны для поиска молекулярной структуры, согласующейся с экспериментальными данными [568]. [c.142]

Приложение В. Теорема Пойа [c.70]

Пусть X не более чем счетно. Сейчас Са ((Г/) = ((С )> меры . р заданы на борелевских множествах пространства Доказательство спектральной теоремы по существу не отличается от случая одного оператора и не использует большинство построений 1. [c.240]

Подсчет числа изомеров, получающихся при размещении заместителей определенных типов на данном скелете, — это довольно элементарное применение теоремы Пойа. Очень важно ее использование при подсчете числа изомеров в гомологических рядах. Например, для подсчета алкильных радикалов СпН2 +1 найдена [555] следующая производящая функция [c.138]

Перед появлением теоремы Пойа преобладало скептическое отношение к возможности общего решения проблемы подсчета или хотя бы получения аналитических формул для произвольной конкретной задачи. Поэтому изучались возможности решения этих конкретных задач итерационным методом с помощью рекуррентных формул. Итерационный подход мы проиллюстрируем на примере первого исследования такого типа рассмотрим проведенный Хенце и Блером [560] подсчет числа изомеров спиртов nH2n+iOH. [c.139]

Уравнения (164)—(170) представляют собой искомые рекуррентные формулы для определения числа изомерных спиртов СпН2п+10Н. Зная число изомеров для п = 1, 2,. .. N, можно легко провести расчеты для п = N + 1 и дойти таким образом до произвольного члена гомологического ряда. Отметим, что величины Тц в уравнении (163), естественно, соответствуют коэффициентам разложения производящей функции для алкильных радикалов [см. формулу (158)], полученной с помощью теоремы Пойа. [c.141]

Если При использовании теоремы Пойа подходящим образом выбрать элементы группы перестановок, то можно учесть некоторые типы стереоизомерии [562] и даже нежесткость молекул [569—571], приближаясь таким образом к физической реальности. Если мы хотим рассматривать энан-тиомерные формы как разные изомеры, то при подсчете нужно исключить соответствующую перестановку и перейти к группе перестановок меньшего порядка. Аналогично можно подсчитать цис- и транс-изомеры, допускающие только такие перестановки, при которых одновременно изменяется положение всех рассматриваемых заместителей. С помощью такого подхода подсчет изомерных структур обобщен на некоторые типы стереоизомерии [562]. Пойа [558] рассматривает три типа групп перестановок группы пространственной формулы, приводящие к числу стереоизомеров, расширенные группы пространственной формулы, приводящие к числу стереоизомеров, уменьшенному на число пар оптических изомеров, и, наконец, группы структурной формулы, дающие число структурных изомеров. Например, в случае циклопропана порядки группы пространственной формулы, расширенной группы пространственной формулы и группы структурной формулы равны соответственно 6, 12 и 48. В табл, 25 сопоставлены результаты подсчета числа структурных и стереоизомеров в ациклических рядах [562]. [c.144]

В случае нежестких молекул хорошо известно [119], что симметрия задачи не может быть описана правильно, если использовать точечную группу симметрии идеализированной жесткой структуры. Для корректного описания необходимо добавить элементы симметрии, реализующиеся вследствие внутримолекулярного движения. Поэтому при подсчете числа изомеров нежестких молекул с помощью теоремы Пойа нужно использовать группу перестановок, учитывающую не только операции соответствующей точечной группы симметрии, но и каждую перестановку, обусловленную внутренними степенями свободы [571]. Эти дополнительные перестановки понимаются, согласно Лонге-Хиггин-су [119], как перестановки, реализуемые без перехода через непреодолимые (при данных условиях) барьеры. Для перечисления нежестких соединений было предложено [571] расширение теоремы Пойа на основе метода обобщенного сплетающего произведения. Группа обобщенного сплетаю- [c.144]

Элементарный пример подсчета числа изомеров в случае нежесткого скелета — результаты, полученные для циклогексана [569, 570]. Наиболее стабильная структура этой молекулы имеет симметрию (рис. 4). Если в теореме Пойа использовать группу перестановок, соответствующую точечной группе симметрии то мы получим результаты, противоречащие экспериментальным данным [569, 570]. В то же время эмпирически установлено, что правильное число изомеров может быть получено [569, 570], если рассматривать плоскую структуру. молекулы (проекцию Хеуор-та), несмотря на то, что при этом игнорируется реальная структура циклогексана. Для плоской структуры подсчет изомеров проводится в рамках точечной группы симметрии Dвй Объяснение этому факту дали Леонард с сотр. [569]. Точечная группа не учитывает операции, отвечающие нежесткости молекулярного скелета циклогексана. Было показано [569], что адекватное описание симметрии циклогексана достигается введением нового элемента симметрии (обозначим его который представляет собой комбинацию вращения вокруг оси шестого порядка со скачкообразным переходом из одной формы кресла в другую. Операция [c.145]

В. Томсон и писал о чрезвычайно важной теореме. По ней отношение дР1дТ)у11т должно иметь одно и то же значение для всех веществ ([Ш], т. I, стр. 188). [c.215]

Если не постоянное изэнтропическое движение примыкает к постоян-но.му движению вдоль некоторой линии то вдоль этой линии должен быть слабый разрыв. По теореме 6.2 линия должна быть характеристикой. В силу изэнтропичности движения линия Ji может быть только звуковой характеристикой, например С+. Так как она принадлежит находящемуся по одну сторону от нее постоянному решению, то вдоль этой характеристики С+ все величины и, р, р постоянны. Согласно первой части теоремы по другую сторону от С+ движение есть простая волна. [c.152]

Приведенная теорема по существу обобщает теорему 1.3 на неполуограниченные операторы А. Следующее утверждение обобщает ее на случай, когда неясно существование сильного решения задачи Коши (1.15). [c.394]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология