Уравнение системы характеристическое

Характеристическое уравнение системы (1,43) имеет вид [c.34]

Здесь р обозначены нули передаточной функции, а рУ — ее полюсы. Эти последние представляют собой корни характеристического уравнения, составленного для решения собственно дифференциального уравнения системы. Как известно, устойчивой является только такая система, у которой полюса (или их вещественная часть, если они комплексные) не положительны. Поэтому первое условие записывается так [c.101]

На рис. .60 и .61 дана частотная зависимость х, е и г" и их графики в комплексной плоскости для полистиролового латекса как типичного примера, а числовые значения произведены в табл. У.8. Результаты по другим системам были аналогичными данным исследования полистиролового латекса, за исключением некоторых колебаний величины дисперсии и характеристической частоты. График комплексной диэлектрической проницаемости в комплексной плоскости удовлетворительно выражается правилом круговой дуги, которое определяется уравнением ( .370). Характеристическая частота /о = 72 То оказалась обратно пропорциональной квадрату диаметра частиц. Величина дисперсии, т. е. e — 6/,, находится в линейной зависимости как от объемной доли суспендированных частиц, так и от их диаметров. [c.397]

В термодинамике функция называется характеристической, если ее значения и значений ее производных разного порядка достаточно для полного описания системы, т. е. для выражения в явной форме любого термодинамического свойства системы. Характеристическими являются функции и, Н, Р, О в том случае, если каждая из них определена в явном виде через вытекающий из фундаментального уравнения следующий набор параметров и (8, V, Х1, Хп,. . ., х ) Н 8, р, х , х ,. . ., х ) Р (Т, V, XI, Х2,. ... Х/,)- С(Т, р, XI, Х2..... Хь). В этом случае сопряженные параметры в уравнениях (2.72) — (2,73) равны первым производным от этих функций (см. 2,74, 2,75), а остальные термодинамические свойства можно вычислить, используя производные разных порядков. [c.91]

Запишем характеристическое уравнение системы [c.150]

Характеристическое уравнение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.3.16), (4.3.17) имеет вид [c.182]

Решим системы уравнений (4.3.74), (4.3.75) с граничными условиями (4.3.76), (4.3.77). Характеристическое уравнение системы получается следующим образом [c.202]

Здесь /4ii Лз, BI и 2 — константы, из которых только две независимы, а А,1 и Яа — корни характеристического уравнения системы (IX, 54) [c.497]

Используя выражения для первого и второго начал термодинамики объемных фаз и системы в целом, выражение для работы (1.2) и учитывая аддитивность объемов, получим фундаментальные уравнения избыточных характеристических функций [c.17]

Устойчивость невозмущенного установившегося движения может быть исследована по характеристическому уравнению системы (4.8) на основании следующих теорем А. М. Ляпунова. [c.107]

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения системы (4.8) первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, каковы бы ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.107]

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы (4.8) первого приближения имеется хотя бы один корень [c.107]

Если характеристическое уравнение системы (4.8) первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет один или несколько корней, вещественная часть которых равна нулю, то устойчивость невозмущенного движения не может быть исследована п > уравнениям первого приближения (критический случай). [c.108]

Предположим, что после гармонической линеаризации нелинейного звена характеристическое уравнение системы можно представить в виде [c.199]

Характеристическое уравнение системы, описываемой диффе- [c.200]

Система асимптотически устойчива, так как собственные значения матрицы А (корни характеристического уравнения системы) расположены слева от мнимой оси плоскости Х. [c.229]

Если можно найти такое е, что при Д0 < е и Дх <е решение задачи (3.26) Д0, Дх - г О, то стационарный режим 0 , x устойчив. Для этого необходимо, чтобы корни характеристического уравнения системы (3.26) имели отрицательные вещественные части, что выполняется при условиях [c.98]

Функции ф1 и Ф2 заменим их выражениями согласно формулам (4.14), учитывая при этом соотношение (22.5) и вводя 1= — и 2 = 12 (чтобы иметь дело с положительными величинами — безразмерными длинами и холодной и горячей частей трубы). После ряда преобразований, которые здесь опущены, получим характеристическое уравнение системы в следующей форме ) [c.179]

При Qp— o или со декремент затухания (или инкремент возрастания) колебаний стремится к нулю. Таким образом, в бесконечности как бы располагается еще одна граница устойчивости. Это можно показать различными способами. Здесь будет дано доказательство этого утверждения путем анализа характеристического уравнения системы (23.7), что позволит попутно осветить еще один вопрос. Возьмем, для примера, диаграмму устойчивости, приведенную на рис. 35, в. Положив 1 = 0, получим / 2 = 0 и равенства (23.7) примут крайне простой вид [c.191]

Используя (27.2), преобразуем характеристическое уравнение системы (27.1) к следующему виду [c.218]

Производя несложные вычисления, найдем пз этого равенства характеристическое уравнение системы [c.328]

Подставив в (2 3.19) р = у2я/ и приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение системы, а именно [c.63]

Из теории автоматического управления известно, что асимптотическая сходимость переходных процессов при эксплуатации установки зависит от ее степени устойчивости. Под степенью устойчивости понимается максимальное значение минимального по модулю отрицательного вещественного корня характеристического уравнения системы. Скорость протока при этом обозначим д. Рациональный режим работы аппарата должен быть выбран между <5 и Si. [c.183]

Для решения системы (2.96) характеристическая функция представляется в виде обратной зависимости у( )> которая подставляется в уравнение баланса. Значение с , полученное из балансового соотношения, подставляется в дифференциальное уравнение системы (2.96), которое легко интегрируется, поскольку переменные при использовании метода характеристической функции всегда разделяются [c.115]

Вернемся к характеристическому уравнению системы с двумя степенями свободы (15.19). Перепишем его в виде [c.492]

Рассмотренное выше решение системы дифференциальных уравнений (7-11) — (7-12) и его анализ выполнены для случая, когда ф = и — цЬ > 0. При этом соответствующая система характеристических уравнений имеет два различных вещественных корня. Однако при противотоке соотношения между параметрами ТТН могут оказаться такими, что ф = и — цЬ = 0. В этом случае система характеристических уравнений имеет два равных вещественных корня, поэтому решения системы дифференциальных уравнений (7-11)—(7-12) с граничными условиями (7-14) будут иметь другой вид, а именно [c.123]

Времена релаксации находят путем решения характеристического уравнения системы [c.217]

Характеристическое уравнение системы (VI, 23) можно записать в форме [c.139]

Характеристическое уравнение системы (VII, 30) представим в форме [c.202]

Решение системы (2.97) состоит в том, что характеристическая функция (у) представляется в виде обратной зависимости (6 ), которая и используется в уравнении баланса. Полученное из баланса значение подставляется в дифференциальное уравнение системы (2.97), в котором переменные интегрирования всегда разделяются [c.130]

Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения системы (3.28) является суммой частных линейно независимых решений при каждом значении корня характеристического уравнения (3.38) [c.225]

Чтобы получить еще одно характеристическое уравнение системы (VI. 18), ( 1. 19), продифференцируем ( 1. 18) по т [c.248]

Расчет производится по методу наименьших квадратов. При расчете вес каждого уравнения выбирается в зависимости от точности измерения соответствующих аналитических характеристик или исходя из априорной информации. Если необходимо упростить вычисления, то из системы выбирается число уравнений, равное числу неизвестных. Наиболее целесообразно выбирать уравнения, соответствующие характеристическим суммам 43, 55, 121, 123, 175, 229, 241, 267. [c.94]

Изотермы адсорбции на промышленных микропористых адсорбентах по классификации С. Брунауера [3] относятся к первому типу, т. е. функция у = F(u) в безразмерных переменных у = а/ао, и = / q является выпуклой в интервале [О, 1]. В настоящее время для аналитического описания экспериментальных изотерм адсорбции известно большое количество уравнений изотермы Фрейндлиха, Лангмюра, БЭТ, Хилла — де-Бура, Фольмера, Кисарова, Дубинина — Астахова и др. Каждое из этих уравнений с той или иной степенью точности отражает равновесные характеристики системы адсорбент — адсорбат. Зачастую одни и те же экспериментальные данные в широком интервале заполнения адсорбционного пространства удовлетворительно описываются различными уравнениями [6], и выбор аналитического вида функции у F(u) определяется либо простотой выражения, либо приверженностью исследователя к тому или иному уравнению, либо возможностью получить какую-то дополнительную информацию об изучаемой системе характеристическую энергию адсорбции, предельный объем микропор, ширину щелевой поры, удельную поверхность адсорбции и т. п. [c.232]

В соответствии с алгебраическим методом исследования гармонически линеаризованных систем (см. параграф 6.8) следус т в характеристическое уравнение системы, описываемой дифференциальным уравнением (12.82), подставить К = <а и затем приравнять нулю вещественную и мнимую части полученного выражения. Выполнив эти операции, имеем [c.339]

Рассмотрено влияние коэффшщента массопередачи Кьа и начальной концентрации зафязнений 8о на стационарные состояния процесса, производительность и степень устойчивости в границах каждой области. Производительность процесса определяется выражением Рз=0(8о-8). Устойчивость процесса исследовалась первым методом Ляпунова исходная математическая модель динамических режимов бьша линеаризована, составлено характеристическое уравнение системы и определены его корни. Под степенью устойчивости понимается значение минимального по модулю корня характеристического уравнения линеаризованной системы процесса БОСВ. [c.185]

Итак, решение поставленной задачи А состоит из двух этапов максимизация функции Н и интегрирование системы характеристических уравнений (VIII.19) с краевыми условиями (VIII.12), (VIII.15). [c.146]

Эти соотношения получаются, если допустить, что система не только невозможна, как это следует из характеристического уравнения, но и полностью неопределенна. Для этого заменяют одну колонку детерминанта А вторыми членами уравнений системы и приписывают dzldt значение одного из корней уравнения (6). (Необходимо быть уверенным в том, что остальные колонн наверняка дают N независимых векторных колонн.) Таким образом, образуют второй детерминант порядка Л - - 1, Аг. Поскольку вторые члены уравнения системы либо равны нулю в уравнении баланса, либо равны дифференциалу одного из переменных, получаем уравнение [c.176]