Спектр когерентности

В разд 8 2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной корреляционной функции Мы покажем, что если не применять к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый щум, то при оценивании могут возникать ложные завышенные значения взаимной корреляции В разд 8 3 вводится третье обобщение — взаимный спектр стационарного двумерного процесса Взаимный спектр содержит два различных вида информации, характеризующей зависимость между двумя процессами Информация первого типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот В разд 8 4 оба эти типа информации иллюстрируются на простых примерах [c.77]

Квадрат спектра когерентности. Эту аналогию можно продолжить дальше с помощью соотношения (8 1 9) для автоковариации [c.111]

Квадрат спектра когерентности [c.115]

Квадрат спектра когерентности двумерного процесса можно теперь получить, подставляя (8 4.17) в (8 4 10) В результате получим [c.116]

Рис 89 Теоретический спектр когерентности двумерного процесса авторегрессии (8 1 20). [c.117]

При а = а квадрат спектра когерентности равен [c.117]

Соответствующий спектр когерентности имеет вид [c.118]

Наиболее важную отличительную черту этого спектра когерентности составляет большой пик на частоте приблизительно [c.118]

Практическое использование квадрата коэффициента когерентности. Спектр когерентности полезен на практике, поскольку он является безразмерной мерой корреляции двух временных рядов, зависяшей от частоты Таким образом, его следует предпочесть взаимному амплитудному спектру, зависящему от масштаба измерений Х 1) и Х2 1) Следовательно, свойства взаимной корреляции двух временных рядов можно описать с помощью квадрата спектра когерентности фазового спектра ф12(/). В разд 9 2 [c.119]

В разд 9 4 2 мы увидим, что, перед тем как проводить взаимный спектральный анализ, необходимо отфильтровать временные ряды. В настоящем разделе мы исследуем влияние такой предварительной фильтрации на спектр когерентности и на фазовый спектр. [c.119]

Следовательно, после фильтрации спектр когерентности остался тем же самым [c.120]

В разд 9 2 выводятся выражения для дисперсий и ковариаций сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров Показано, что эти дисперсии и ковариации зависят как от неизвестного теоретического спектра когерентности, так и от способа сглаживания, влияние которого можно учесть [c.123]

Выбор функций для критерия. Обсуждение в разд 84 4 наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для частотного критерия корреляции двух временных рядов можно было бы использовать случайные функции, соответствующие выборочному спектру когерентности К. 2Ц) и выборочному фазовому спектру 12(/). Заметим, однако, что [c.127]

Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов [c.127]

Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спектра когерентности и фазового спектра Эта последняя матрица выводится в следующем разделе [c.138]

Сглаженные оценки взаимного амплитудного и фазового спектров и квадрата спектра когерентности [c.138]

Как показано в разд 8 4 4 для описания корреляции двух случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их взаимным амплитудным и фазовым спектрами Однако удобнее взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр [c.138]

Дисперсия сглаженной оценки спектра когерентности и его квадрата [c.140]

Полученными формулами мы воспользуемся в следующем разделе при выводе доверительных интервалов для фазового спектра и спектра когерентности. [c.140]

Доверительные интервалы для квадрата спектра когерентности и для фазового спектра [c.141]

В этом разделе мы обсудим некоторые практические применения формул, выведенных в разд. 9 2 2, и используем их при построении доверительных интервалов для спектра когерентности и фазового спектра [c.141]

Из формул (9.2.17) — (9 2 20) видно, что дисперсии этих оценок зависят от фактора сглаживания //Г, которым можно управлять с помощью стягивания окна, и от спектра когерентности двух процессов Л 1(0 и А г(0 [c.141]

Рис. 9 4, Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некоррелированных процессов авторегрессии первого порядка

Рис. 9 6 Средние сглаженные спектры когерентности двумерного процесса

На рнс. 9 о доказана сглаженная выборочная оценка квадрата когерентности /С 2 при = 16 для исходных и профильтрованных рядов (способ фильтрации описан в разд. 8 2 2) Мы видим, что фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в разд 8 2 2 выводом о том, что фильтрация может привести к существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляционной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когерентности будет объяснено в разд. 9.3 3. [c.149]

Теоретические спектр когерентности и фазовый спектр даются формулами (8 4 19) и (8 4 20) соответственно Квадрат теоретического спектра когерентности изображен на рис 9 6 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности при = 4, 8 и 16 Видно, что ири = 4 и 8 имеется значительное смещение, причем пик смещен при 1 = 4 приблизительно на 0,1 гц, а при = 8 на 0,05 гц При = 16 наблюдается хорошее согласие между и а при Ь = 32 теоретический и сглаженный спектры уже почти неразличимы Следовательно, для этого процесса оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение при Ь = 16 [c.150]

Теоретические спектры когерентности и фазы, полученные с помощью методов, изложенных в разд 8 4 3, имеют вид [c.153]

Теоретический спектр когерентности построен на рис 9 12 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности при = 16, 24 и 32 Видно, что эти средние сглаженные спектры заметно отличаются от теоретического даже при = 32 и что это отличие нельзя приписать недостаточной гладкости теоретического спектра Причина в том, что смещение появляется из-за большой задержки между входом и выходом, как было предсказано в разд 9 2 1 [c.155]

При I = 8 средний сглаженный спектр когерентности приблизительно равен нулю, как можно было бы предвидеть, поскольку задержка между двумя рядами пре- [c.155]

Рис 914 Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности линейного процесса (8 1 22) (N = 100, до выравнивания). [c.156]

В последнем разделе было показано, что при оценивании спектра когерентности может получаться значительное смещение, особенно когда имеется большая относительная задержка рядов, В настоящем разделе мы вычислим смещение спектральных оценок когерентности и фазы и покажем, что это смещение можно существенно уменьшить с помощью выравнивания Выравнивание заключается в центрировании взаимной корреляционной функции таким образом, чтобы ее наибольшее абсолютное значение приходилось на нулевое запаздывание. [c.157]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

Ф1(/). Заметим, однако, что если /11(и) =к2 и), то фl(f) = ф2(f) и фазовый спектр не меняется в результате фильтрации Следовательно, если оба входных процесса подвергаются одинаковой фильтрации, то взаимный амплитудный спектр умножается на а спектр когерентности и фазовый спектр остаются неизменными. Остаточный спектр (гл. 10) для отфильтрованных данных изменится при фильтрации так же, как и автоспектр (/), т е остаточный спектр для отфильтрованных данных будет равен остаточному спектру для исходных данных, умноженному на [c.120]

Кроме того, мы видим, что во всех случаях, кроме (9 2 17), дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится к нулю. В действительности дисперсии оценок взаимного амплитудного п фазового спектров стремятся к бесконечности, когда коэффициент когерентности обращается в нуль Этого следовало ожидать, так как малые значения когерентности соответствуют большому уровню щумов и, следовательно, неэффективной оценке. Таким образом, мы получаем важный практический вывод- выборочные свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спектров могут зависеть в большей степени от спектра когерентности, которым мы не можем распоряжаться, чем от находящегося в нашем распоряжении фактора сглаживания //Г. [c.141]

Доверительные интервалы для спектра когерентности. Из свойства ковариаций (9 2.21) следует, что оценки фазы и когерентности некоррелированы, и, следовательно, доверительные интервалы для соответствующих спектров можно строит по отдельности. Формула (9 2 18) для дисперсии величины К 2 1) похожа, если не учитывать эффект сглаживания, на формулу для дисперсии обычного коэффициента корреляции Поэтому можно применить 2-пре-образовапне Фишера [3] Таким образом, с помощью (3.2 28) получаем, что оценка [c.141]

Возвраи ,аясь к исходным величинам, получаем 95%-ный доверительный интервал для ( ,22, 0,87) Для практических целей удобней построить график преобразованного спектра когерентности У и затем нанести на этот график постоянный доверительный интервал (9 2 23) Примеры преобразований коэффициента когерентности будут приведены в разд 9 3 [c.142]

Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимною спектрального анализа искусственных двумерных временных рядов с известными спектрами Мы сравним теоретические спек1ры и сглаженные выборочные оценки спектра когерентности (9 3 12) и фазового спектра (9 3 11). Влияние ширины полосы частот окна иа дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, срав швая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов Во всех численных примерах э(ого раздела для сглаживания г.спользуется окно Тьюки [c.146]

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а, = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,9, = 100 Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд 82 1 Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен нулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой На рис 9 4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при I = 4, 8, 16 и 40 [c.147]

В разд. 9 1 2, при уменьшении полосы частот окна сглаженный спектр когерентности стремится к 1 на всех частотах, так как выборочная оценка спектра когерентности по песглаженным данным тождественно равна 1 на всех частотах. [c.149]

На рис. 9 7 показаны теоретический и средние сглаженные фазовые спектры процесса (8 1 20) при = 4, 8 и 16 Превосходное согласие между ф)2 и ф12 получается при = 8, а при = 16 средний сглажечный фазовый спектр уже неотличим от теоретического Поэтому для оценки фазового спектра потребовалось бы еще меньшее значение Ь, чем для оценки спектра когерентности В табл П9 1 приведены значения выборочных авто- и взаимной корреляционных функций, сосчитанные по реализации процесса (8 1 20) из М = [c.151]

Рис. 9 9 Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двумерного процесса авторегресии (8 120) (Л/= 100).

Примеры этого раздела иллюстрируют то общее положение, что хорошие выборочные оценки фазового спектра можно получить и в тех случаях, когда спектр когерентности оценивается плохо В следующем разделе мы покажем, что обычнв можно значительно улучшить выборочные оценки спектров когерентности и фазы с помощью выравнивания двух рядов. [c.157]