Вычисление производных критерия оптимизации

Обычно применяемый алгоритм вычисления производных критерия оптимизации по варьируемым переменным с помощью соответствующих разностей [c.29]

Вычисление производных критерия оптимизации при закрепленных выходных переменных схемы. Этот случай был описан [c.207]

VII. Вычисление производных критерия оптимизации. [c.2]

Оценивая перспективы применения метода Ньютона, следует отметить, что его широкое практическое использование начнется лишь после того, как на основе развитых алгоритмических методов будут созданы программы для ЭВМ, позволяющие для схем произвольной структуры вычислять значения вторых производных критерия по поисковым переменным только на основе знания математических моделей отдельных блоков, и информации о структуре ХТС, т. е. программы, аналогичные вышеупомянутым программам вычисления первых производных. Поскольку трудно предположить, что такие программы будут созданы в ближайшие годы, основное применение найдут квазиньютоновские методы первого порядка. Как мы уже отмечали, эффективность этих методов с увеличением размерности задач должна уменьшаться. Однако, есть обстоятельство, которое позволяет существенно повысить эффективность квазиньютоновских методов при оптимизации больших систем либо сама структура ХТС приводит к тому, что гессиан целевой функции имеет сильно разреженную структуру (большое число нулевых элементов), либо же с помощью специального приема удается получить модифицированный критерий, гессиан которого будет иметь сильно разреженную структуру. В связи с этим рассмотрим квазиньютоновские методы минимизации функций, имеющих сильно разреженные гессианы. Развитие этих методов началось в самое последнее время. Также как и в главе П1 мы здесь рассмотрим квазиньютоновские методы 1-го и [c.169]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ КРИТЕРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ [c.130]

Выше были описаны два основных метода вычисления производных критерия оптимизации метод разностей и метод сопряженного процесса. Остановимся на вопросах сравнения этих методов. При сопоставлении метод разностей будет рассматриваться только в основной модификации, когда для вычисления частных производных критерия каждой варьируемой переменной дается малое приращение и соответствующее число раз полностью просчитывается основной процесс. Учет структуры схемы позволяет сократить время вычисления производных (см. стр. 137 сл.), однако при этом теряется простота программной реализации, что, по-видимому, является основным достоинством данного метода. [c.163]

В случае с. х.-т. с. с замкнутой топологической структурой при вычислении производных критерия разностным методом возникают новые, весьма значительные, осложняющие моменты. Поясним это следующим. Задачу оптимизации статического режима с.х.-т. с. [c.165]

В этой главе основные вопросы автоматизации программирования задач анализа с. х.-т. с. рассмотрены на примере автоматизированной программы оптимизации сложных схем посредством применения методов первого порядка (использующих значение и градиент оптимизируемой величины). В каждом таком методе можно выделить три части 1) расчет критерия оптимизации, 2) вычисление производных критерия по варьируемым переменным и 3) стратегию поиска (собственно алгоритм оптимизации). Проблемы автоматизации программирования, связанные с третьей частью, значительных трудностей не представляют. Части 1 и 2 заслуживают большего интереса, поэтому на них мы и остановимся в дальнейшем. [c.267]

Итак, для определения производных критерия оптимизации замкнутой схемы необходимо рассчитать частные производные ряда величин разомкнутой схемы. Определение этих величин не требует проведения итерационных процедур. В этом состоит основное преимущество данного подхода. Кроме того, при вычислении производных в разомкнутой схеме можно воспользоваться зонами влияния [3, с. 136], что может также существенно сократить число вычислений. Правда, использование этого подхода требует решения системы линейных уравнений. Покажем, что используя информацию, полученную на первом уровне (см. рис. 20), можно еще более повысить эффективность этого метода. Будем исходить из предположения, что для решения системы (И, 6) на первом уровне (см. рис. 20) используется квазиньютоновский метод QNM. Обозначим через Н предельное значение матрицы Я [см. соотношение (II, 101)]. Матрица Я аппроксимирует обратную матрицу Якоби системы (II, 6), в пределе можно ожидать, что матрица Я стремится к обратной матрице Якоби этой системы, т. е. что будет выполняться равенство [c.133]

Оптимизация накладывает большие требования на расчет целевой функции, т. е. на расчет схемы. Все итерационные процессы, необходимые для вычисления критерия Р [в нашем случав решение уравнений (11,115) и системы (11,116)1, желательно выполнять с высокой точностью. Последнее становится особенно важным при вычислении производных разностным методом. [c.61]

Обсудим теперь вопросы вычисления производных функции критерия оптимизации Р по варьируемым параметрам при применении двух изложенных подходов. [c.206]

Программа РОСС, выполненная на языке АЛГОЛ-60, предназначена для расчета статических режимов и оптимизации сложных схем произвольной структуры при вычислении частных производных критерия с помощью метода сопряженного процесса (см. главу VII). [c.268]

В заключение отметим, что при традиционном подходе к решению задачи оптимизации среднее число обращений к расчету разомкнутой схемы, приходящееся на одно вычисление критерия оптимизации (включая разностные оценки производных), колеблется в пределах для метода простой итерации — от 70 до 100, а для квазиньютоновских методов — от 4 до 9. [c.139]

Безградиентные методы, кроме того, по характеру наиболее пригодны для оптимизации действующих промышленных и лабораторных установок в условиях отсутствия математического описания объекта оптимизации. Неизбежные погрешности при измерениях величин, характеризующих значение целевой функции для действующего объекта, могут привести к существенным ошибкам в определении направления движения к оптимуму с помощью градиентных методов, поскольку при расчетах производной как разности значений критерия оптимальности ошибка может достигать сотен процентов даже при небольшой относительной погрешности вычислений значения критерия оптимальности. В таких случаях целесообразнее выполнить несколько измерений критерия оптимальности в одной и той же точке (чтобы найти наиболее вероятное его значение), чем провести столько же замеров в различных точках, необходимых для расчета производных. [c.501]

Однако легко видеть, что прп этом функция uT совпадает с функцией Н, введенной в настоящей главе [см. формулу (VII,5)]. Отсюда мы можем воспользоваться предыдущим выводом.- Итак, для вычисления производных (VII,4) надо решить уравнения сопряженного процесса (VII,7) и (VII,8) с граничными j-словиями (VII,10). При определении производных (VII,25) для всех s, к и фиксированных /, р поступим следующим образом. По формуле (111,80) образ ем функции Ф ,используя, что в данном случае Н = Я - , а критерий оптимизации обозначается через Ф (/ = Ф) [c.186]

В табл. 26 приведены результаты сравнения двух способов вычисления производных целевой функции [критерий (IV, 147) ]. Использовались следующие три метода безусловной оптимизации без-градиентный Гаусса—Зейделя, наиекорейшего спуска и ОРР. Применение метода сопряженного процесса позволяет сократить число вычислений целевой функции приблизительно в четыре раза. Для учета ограничений использовался метод штрафов, при котором проводилась безусловная минимизация функции (IV, 47) для некоторой последовательности значений параметров а, где г —номер итерации метода штрафов (г = О, 1,2,. ..) а = да [c.162]

Остановимся более подробно на задаче построения сопряженного процесса в данном случае и вычисления производных критерия оптимизации по управлениям и. >в блоках с р. п., предполагая, что все выходные перемепиые схемы являются свободными. Используя алгоритм построения сопряженного процесса (см. стр. 178) для схемы, состоящей из блоков, описываемых конечными уравнениями, мы можем построить сопряженный процесс для эквивалентной схемы. Уравнения указанного процесса будут иметь вид (VII,7) и (VII,8) с учетом обозначений (1,8). Производные по независимым переменным будут в блоках с р. п. и с. п. выражаться формулами (VII,И). Рассмотрим теперь подробнее вопрос фактического вьиисления величин 1,. . ., Р-в) по известным значениям = 1,. . ., п ) для блоков с р. п. [c.188]

Расчет сопряженного процесса. Вычисление частных производных критерия оптимизации по независимым переменным методом сопряженного процесса сводится к расчету основного процесса (VII,1) — (VII,3) и сопряженного процесса (VII,36)—(VII,39), (VII, 54), (VII, 55). Сопряженный процесс рассчитывается при известных значениях которые нужно запомнить при расчете основного процесса. Если при этом последний обладал замкнутой топологической структурой, сопряженный процесс также будет обладать замкнутой топологической структурой (поскольку его структура есть инвертированная топологическая структура основного процесса). В данном случае расчет сопряженного процесса можно организовать двумя способами итерационным и безытера-ционным. [c.148]

Модули 1, 2, 3 имеют самостоятельное значение, но могут быть использованы и как подпрограммы для более сложных алгоритмов оптимизации. Модуль 4 представляет собой семейство градиентных методов, для ускорения сходимости которых используют, если это необходимо, первые или вторые производные критерия оптимизации. Алгоритмы 5 используют, если вычисление производных функционала затруднено. Среди алгоритмов 6 очень большую популярность приобрел алгоритм по методу Давндона Флетчера — Пауэлла, хорошо зарекомендовавший себя в многомерных задачах. [c.152]

При применении метода модифицированного сопряженного процесса также возникают определенные трудности, связанные с выбором шагов приращений, и обусловленные ими неточности счета. Однако в данном случае вычисления частных производных разностным методом ограничены отдельными блоками схемы, поэтому шаги приращений можно проанализировать заранее, до решения задачи оптимизации. Кроме того, так как математические зависимости, которые описывают блоки схемы, существенно более просты, чем зависимости, характеризующие всю схему в целом, погрешности округления окажутся меньшими, чем в методе приращений. Согласно изложенному, можно ожидать, что в методе модифицированного сопряженного процесса в целом будет достигнута большая точность в определении частных производных критерия по незаввГсимым переменным, чем в разностном методе. [c.165]

Конкретный вид функции Р Х, Р) следует согласовывать с методами минимизации ее, т. е. учитывать гладкость штрафа, простоту вычисления функций и ее производных, свойства выпуклости и т.д. Уязвимой стороной метода является овражность функции Р Х, р), даже если исходная функция для критерия оптимизации 1 Х) не имела оврагов , что существенно затрудняет задачу поиска оптимальных параметров. Из других приемов сведения к задаче безусловного экстремума упомянем методы уровней и множителей Лагранжа [20]. [c.152]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология