Функции распределения случайной величины. Параметры распределения — математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Распределения совокупностей случайных величин подчиняются определенным закономерностям, которые являются следствием вероятностной природы случайного рассеяния. Наиболее общие закономерности для многих вероятностных распределений определяются так называемым нормальным распределением. Вероятностная кривая, соответствующая такому распределению (кривая Гаусса), имеет вид симметричного колокола и описывается только двумя параметрами характеристикой центра — математическим ожиданием исследуемой случайной величины х и дисперсией а . Функция плотности вероятности Цх), описывающая кривую Гаусса, имеет вид [c.61]

Геометрически функция ф(х) может быть представлена любой непрерывной кривой, лежащей целиком не ниже оси абсцисс, нормированной таким образом, что площадь под кривой, ограниченная осью абсцисс, во всей области существования аргумента равна I (рис. 26). Доля площади под кривой, ограниченная осью абсцисс и прямыми х = а и х — Ь, есть вероятность того, что случайная величина принимает значения на интервале [а,6]. Параметры распределения. Наиболее полной характеристикой случайной величины является ее функция распределения. Как правило, это довольно сложный объект. Поэтому в ряде задач при описании случайных величин ограничиваются простыми их характеристиками, а именно, теми или иными параметрами функций распределения. Важнейшими из таких параметров являются математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x) случайной величины X. [c.71]

XIV.6. ФУНКЦИИ И ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ [c.814]

Величина Хо — начальное значение параметра х — всегда случайна, определяется в основном производственными погрешностями и отклонениями от номинальных значений. Эти технологические погрешности приводят к тому, что случайная величина Хо оказывается распределенной по нормальному закону. Обозначим математическое ожидание случайной величины хо через X (номинальное значение) и разложим функцию (4.4.18) в ряд Тейлора в окрестности точки х". Поскольку разброс значений Хд около х (или дисперсия Хо) обычно бывает не велик, то в разложении можно ограничиться только членами первого порядка [c.216]

Параметры распределения случайных величин — постоянные величины, входящие в закон или функцию распределения. (В принципе, постоянными являются только параметры генеральных совокупностей). Параметры при неизвестном законе или функции распределения характеризуют, хотя и не так полно как последние, центр рассеяния — математическое ожидание и интенсивность или степень рассеяния — дисперсию. [c.816]

Аналитические выражения функций распределения содержат одну или несколько постоянных величин, которые называются параметрами распределения. Так, например, нормальное распределение имеет два параметра математическое ожидание, или, как его иначе называют, среднее значение случайной величины и дисперсию распределение Пуассона имеет один параметр, который тождественно равен среднему значению и дисперсии и т. д. Если нам известен закон расиределения случайной величины, то она может быть полностью охарактеризована численными значениями параметров. Одна из задач статистической обработки материала заключается в определении численного значения средней и дисперсии. Поэтому, прежде чем переходить к изучению функций распределения, мы подробно остановимся на рассмотрении некоторых обпщх свойств среднего значения случайной величины и дисперсии. [c.38]

Для оценок искомых параметров производится статистическая обработка данных испытаний. Оценки параметров распределения, полученные по результатам испытаний, называются статистиками. Допустим, что при испытаниях для величины X получен статистический ряд (результаты измерений) х , х ,. .., х,,. В результате обработки экспериментальных данных определена некоторая функция 0, являющаяся функцией случайных реализаций 0 = 0 (Xi, х ,. .., x,i). 0 называется статистикой и является оценкой действительного значения величины X. Статистиками могут быть математические ожидания, дисперсия и др. При выборе конкретной статистики обычно учитывают их состоятельность, эффективность и достоверность. [c.49]

Однако практически часто нет необходимости описывать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие наиболее существенные черты распределения. Эти отдельные числовые характеристики носят название моментов функции распределения. В подавляющем большинстве теоретических и экспериментальных исследований для описания распределений используют лишь два первых момента — математическое ожидание (среднее значение) и центральный второй момент (дисперсия). Полагая, что характер движения элементов жидкости в аппарате является статистическим по природе, важнейшей экспериментальной задачей должна быть оценка функций распределения времени пребывания. С учетом предыдущего эта задача сводится к определению двух наиболее важных числовых характеристик распределения среднего времени пребывания и дисперсии, хотя в общем случае могут определяться моменты и более высокого порядка [12]. [c.67]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Параметры распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Параметры—это постоянные величины, которые входят в закон или функцию распределения. Очевидно, что любое закономер- ное распределение случайной величины требует для своего описания по меньшей мере двух параметров, один из которых характеризует центр рассеяния, т. е. определяет средний уровень значений, а другой—степень рассеяния. Такими параметрами являются математическое ожидание М х) и дисперсия В х) случайной величины х. [c.57]